Eksponentiallikninger er likninger der den ukjente står i eksponenten. I Matematikk R1 er dette et nøkkeltema fordi det knytter sammen potenser, logaritmer, eksponentiell vekst, modeller og funksjoner. Et enkelt eksempel er 2^x=8. Her ser vi at 8=2^3, og derfor er x=3. Et mer typisk R1-eksempel er 1,07^x=2, der svaret ikke er et pent heltall. Da bruker vi logaritmer: x=log(2)/log(1,07).
Dette sammendraget gir deg de viktigste reglene, metodene og kontrollspørsmålene. Bruk det som repetisjon før prøve eller eksamen. Les gjerne mer om logaritmer i /ressursbank/artikler/logaritmer-kort-sammendrag-for-elever og funksjonsdrøfting i /ressursbank/artikler/viktige-begreper-om-funksjonsdrofting.
Kjerneidéen
Når x står i eksponenten, kan vi ikke løse likningen med vanlig «flytt x alene»-tenkning. Vi må bruke egenskapene til potenser og logaritmer. Hovedideen er: Hvis vi kan skrive begge sider med samme grunntall, sammenligner vi eksponentene. Hvis vi ikke kan det, bruker vi logaritmer.
Eksempel med samme grunntall: 3^(x+2)=81. Siden 81=3^4, får vi 3^(x+2)=3^4. Da må x+2=4, så x=2.
Eksempel med logaritmer: 5^x=18. Ta logaritmen på begge sider: log(5^x)=log(18). Bruk regelen log(5^x)=xlog(5). Da får du xlog(5)=log(18), og x=log(18)/log(5).
De viktigste potensreglene
Du bør kunne disse reglene godt: a^m\cdot a^n=a^(m+n), a^m/a^n=a^(m-n), (a^m)^n=a^(mn), a^0=1 og a^(-n)=1/a^n. Disse reglene brukes når vi omskriver uttrykk før vi løser likningen.
Husk at reglene ikke gjelder på samme måte for addisjon. a^m+a^n er vanligvis ikke a^(m+n). For eksempel er 2^3+2^3=8+8=16, mens 2^6=64. Dette er en svært vanlig feil.
Metode 1: Samme grunntall
Denne metoden er rask og elegant. Den brukes når begge sider kan skrives som potenser med samme grunntall. Eksempel: 4^x=32. Skriv 4 som 2^2 og 32 som 2^5. Da får du (2^2)^x=2^5, altså 2^(2x)=2^5. Dermed er 2x=5, og x=2,5.
Metoden bygger på at eksponentialfunksjonen a^x er én-til-én når a er positivt og ulikt 1. Det betyr at a^m=a^n bare når m=n.
Metode 2: Logaritmer
Når samme grunntall ikke passer, bruker vi logaritmer. Standardformen er a^x=b. Da er x=log(b)/log(a), der a>0, a ikke er 1, og b>0.
Eksempel: 1,04^x=1,5. Da er x=log(1,5)/log(1,04). Dette kan tolkes som hvor lang tid det tar før en størrelse blir 1,5 ganger så stor ved 4 prosent vekst per tidsenhet.
Viktig: Hvis likningen er c\cdot a^x=b, må du først dele på c. Eksempel: 200\cdot1,08^x=500. Først får du 1,08^x=2,5. Deretter er x=log(2,5)/log(1,08).