Eksponentialfunksjoner er en av de viktigste funksjonstypene i Matematikk 1T. De brukes når en størrelse endrer seg med en fast prosent eller en fast faktor for hvert like lange tidssteg. Det kan handle om renter i økonomi, befolkningsvekst, verdifall, medisin i kroppen, halveringstid, bakterievekst eller utvikling i en modell.
Kjernen er at variabelen står i eksponenten. En vanlig modell er f(x)=a·b^x. Tallet a er startverdien, mens b er vekstfaktoren. Når b>1 har vi vekst. Når 0<b<1 har vi nedgang. Denne enkle formen kan forklare svært mange praktiske situasjoner, men den krever at du leser oppgaven nøyaktig og tolker tallene riktig.
For å se forskjellen mellom funksjonstypene kan du sammenligne med /ressursbank/artikler/lineaere-funksjoner-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/andregradsfunksjoner-forklart-enkelt. I en lineær funksjon øker verdien med samme antall hver gang. I en eksponentialfunksjon ganges verdien med samme faktor hver gang.
Oppgave 1: Finn modellen
En plante er 18 cm høy og vokser med 9 prosent per uke. Lag en modell for høyden etter x uker.
Løsningsforslag
Startverdien er 18. Vekstfaktoren ved 9 prosent økning er 1,09. Derfor blir modellen H(x)=18·1,09^x. Her er x antall uker etter start, og H(x) er høyden i centimeter.
Oppgave 2: Regn ut en verdi
En verdi er gitt ved f(x)=2500·1,06^x. Finn f(7) og forklar svaret.
Løsningsforslag
Vi setter inn x=7: f(7)=2500·1,06^7. Dette er omtrent 3759. Svaret betyr at verdien etter 7 tidssteg er omtrent 3759. Hvis x måles i år, er dette verdien etter 7 år.
Oppgave 3: Verdifall
En sykkel koster 16 000 kroner og synker med 14 prosent i verdi hvert år. Lag en modell og finn verdien etter 4 år.
Løsningsforslag
Sykkelen beholder 86 prosent av verdien hvert år, så vekstfaktoren er 0,86. Modellen er V(x)=16000·0,86^x. Etter 4 år er V(4)=16000·0,86^4, som er omtrent 8749 kroner. Verdien er altså omtrent 8750 kroner.
Oppgave 4: Finn vekstfaktor
En størrelse øker fra 500 til 605 på to år. Anta eksponentiell vekst med lik vekstfaktor hvert år. Finn vekstfaktoren.
Løsningsforslag
Vi skriver 500·b^2=605. Da får vi b^2=605/500=1,21. Dermed er b=1,1. Vekstfaktoren er 1,10, altså 10 prosent økning per år.
Oppgave 5: Tabell eller lineær modell?
Verdiene i en tabell er 40, 52, 67,6 og 87,88. Forklar hvorfor dette tyder på en eksponentialfunksjon.