Eksponentialfunksjoner er en av de viktigste funksjonstypene i Matematikk 1T. De brukes når en størrelse endrer seg med en fast prosent eller en fast faktor for hvert like lange tidssteg. Det kan handle om renter i økonomi, befolkningsvekst, verdifall, medisin i kroppen, halveringstid, bakterievekst eller utvikling i en modell.
Kjernen er at variabelen står i eksponenten. En vanlig modell er f(x)=a·b^x. Tallet a er startverdien, mens b er vekstfaktoren. Når b>1 har vi vekst. Når 0<b<1 har vi nedgang. Denne enkle formen kan forklare svært mange praktiske situasjoner, men den krever at du leser oppgaven nøyaktig og tolker tallene riktig.
For å se forskjellen mellom funksjonstypene kan du sammenligne med /ressursbank/artikler/lineaere-funksjoner-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/andregradsfunksjoner-forklart-enkelt. I en lineær funksjon øker verdien med samme antall hver gang. I en eksponentialfunksjon ganges verdien med samme faktor hver gang.
Grunnformen f(x)=a·b^x
Når vi skriver f(x)=a·b^x, betyr det at vi starter med a og ganger med b for hvert steg x øker. Hvis x er antall år, ganges verdien med b for hvert år. Hvis x er antall timer, ganges verdien med b for hver time. Dette gjør modellen fleksibel, men det betyr også at enhetene i oppgaven må tas på alvor.
Startverdien finner du ved å sette x=0. Da får vi f(0)=a·b^0=a, fordi b^0=1. Derfor er grafens skjæring med y-aksen lik startverdien. I praktiske oppgaver betyr det ofte beløpet, massen, antallet eller verdien ved starttidspunktet.
Vekstfaktoren b forteller hvordan verdien endrer seg. En økning på 6 prosent gir b=1,06. En nedgang på 6 prosent gir b=0,94. En dobling gir b=2, og en halvering gir b=0,5. Mange feil i 1T skyldes at elever blander prosent og vekstfaktor.
Fra prosent til vekstfaktor
Ved prosentvis økning bruker vi formelen vekstfaktor = 1 + p/100. Ved 12 prosent økning blir vekstfaktoren 1,12. Ved 3,5 prosent økning blir vekstfaktoren 1,035. Vi legger altså prosentdelen til 1, fordi den opprinnelige verdien fortsatt er med.
Ved prosentvis nedgang bruker vi formelen vekstfaktor = 1 - p/100. Ved 20 prosent nedgang blir vekstfaktoren 0,80. Ved 7 prosent nedgang blir den 0,93. Det er ofte lurt å skrive en kort setning i løsningen: «Verdien beholder 93 prosent hvert år, derfor er vekstfaktoren 0,93.»
Hvis oppgaven sier at noe øker med 8 prosent per måned, må x måles i måneder. Hvis du vil bruke år som variabel, må modellen endres. Dette er en typisk kilde til feil i modelleringsoppgaver.
Hvordan grafen ser ut