Eksponentialfunksjoner er en av de viktigste funksjonstypene i Matematikk 1T. De brukes når en størrelse endrer seg med en fast prosent eller en fast faktor for hvert like lange tidssteg. Det kan handle om renter i økonomi, befolkningsvekst, verdifall, medisin i kroppen, halveringstid, bakterievekst eller utvikling i en modell.
Kjernen er at variabelen står i eksponenten. En vanlig modell er f(x)=a·b^x. Tallet a er startverdien, mens b er vekstfaktoren. Når b>1 har vi vekst. Når 0<b<1 har vi nedgang. Denne enkle formen kan forklare svært mange praktiske situasjoner, men den krever at du leser oppgaven nøyaktig og tolker tallene riktig.
For å se forskjellen mellom funksjonstypene kan du sammenligne med /ressursbank/artikler/lineaere-funksjoner-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/andregradsfunksjoner-forklart-enkelt. I en lineær funksjon øker verdien med samme antall hver gang. I en eksponentialfunksjon ganges verdien med samme faktor hver gang.
Eksempel 1: Økning med fast prosent
En nettbutikk har 800 kunder i januar. Antall kunder øker med 12 prosent per måned. Vi lar x være antall måneder etter januar. Startverdien er 800, og vekstfaktoren er 1,12. Modellen blir K(x)=800·1,12^x.
Etter 6 måneder er K(6)=800·1,12^6. Dette er omtrent 1579. Vi kan derfor si at modellen gir omtrent 1580 kunder etter seks måneder. Det er viktig å runde på en måte som passer situasjonen. Antall kunder bør rundes til hele personer.
Hvis oppgaven spør når antallet passerer 2000, kan vi bruke graf, tabell eller logaritmer. Med tabell ser vi at K(7) er omtrent 1768 og K(8) er omtrent 1980, mens K(9) er omtrent 2218. Antallet passerer 2000 etter omtrent 9 måneder hvis vi regner hele måneder.
Eksempel 2: Nedgang med fast prosent
En mobiltelefon koster 9000 kroner. Verdien faller med 22 prosent per år. Telefonen beholder 78 prosent av verdien hvert år, så vekstfaktoren er 0,78. Modellen blir V(x)=9000·0,78^x.
Etter 2 år er V(2)=9000·0,78^2=5475,6. Verdien er omtrent 5476 kroner. Etter 5 år er V(5)=9000·0,78^5, som er omtrent 2601 kroner.
Dette viser eksponentiell nedgang. Verdien synker mye i starten og mindre senere. Prosenten er likevel den samme hvert år. Derfor kan vi ikke bruke en lineær modell med samme kronebeløp i nedgang hvert år.
Eksempel 3: Finne vekstfaktor fra to verdier
Antall brukere på en læringsplattform øker fra 300 til 432 på to måneder. Hvis vi antar eksponentiell vekst med samme vekstfaktor hver måned, kan vi skrive 300·b^2=432. Da er b^2=432/300=1,44, og b=1,2.