Asymptoter er rette linjer som en graf nærmer seg. I Matematikk R1 brukes asymptoter særlig når du arbeider med rasjonale funksjoner og grafskisser. Temaet virker ofte teknisk, men kan oppsummeres med tre hovedspørsmål: Finnes det x-verdier der funksjonen ikke er definert? Hva skjer med funksjonen når x nærmer seg slike verdier? Hva skjer med grafen når x går mot svært store positive eller negative verdier?
Du kan også øve videre med flere forklaringer i ifingo sin ressursbank, for eksempel /ressursbank/artikler/matematikk-r1, /ressursbank/artikler/funksjonsdrofting og /ressursbank/artikler/asymptoter.
Den korte definisjonen
En asymptote er en linje som grafen til en funksjon nærmer seg. Det betyr ikke nødvendigvis at grafen aldri kan krysse linjen. Det betyr heller ikke at linjen er en del av grafen. Asymptoten er en hjelpelinje som beskriver grafens oppførsel.
Det finnes tre typer du vanligvis møter i R1. En vertikal asymptote har likningen x = a. En horisontal asymptote har likningen y = b. En skrå asymptote har likningen y = ax + b, der a ikke er 0. Vertikale asymptoter handler om hva som skjer nær en bestemt x-verdi. Horisontale og skrå asymptoter handler ofte om hva som skjer når x blir veldig stor eller veldig negativ.
Vertikal asymptote
En vertikal asymptote er en loddrett linje x = a. Den oppstår ofte i rasjonale funksjoner der nevneren blir null. Men du må være forsiktig: ikke alle nullpunkter i nevneren gir vertikal asymptote. Hvis faktoren som gjør nevneren null også finnes i telleren og forkortes bort, får du vanligvis et hull i grafen, ikke en asymptote.
Eksempel: f(x)=1/(x-2). Nevneren blir null når x=2, og ingenting kan forkortes bort. Når x nærmer seg 2, blir funksjonsverdiene veldig store positive eller negative. Derfor er x=2 en vertikal asymptote. Eksempel: g(x)=(x^2-4)/(x-2). Her faktoriserer vi telleren til (x-2)(x+2). Faktoren x-2 forkortes bort. Da er x=2 et hull, ikke en vertikal asymptote.
Husk at en vertikal asymptote skrives som x = a. Ikke skriv y = a når du mener en vertikal asymptote. Linjen x = a er loddrett fordi alle punktene på linjen har samme x-verdi.
Horisontal asymptote
En horisontal asymptote er en vannrett linje y = b. Den beskriver hva grafen nærmer seg når x går mot uendelig eller minus uendelig. For rasjonale funksjoner kan du ofte finne horisontal asymptote ved å sammenligne graden i teller og nevner.