Andregradsfunksjoner er et kjerneemne i Matematikk 1T. De dukker opp når vi arbeider med grafer, algebra, likninger, ulikheter og praktiske modeller. En andregradsfunksjon kan skrives på formen f(x)=ax²+bx+c, der a, b og c er tall, og a ikke er 0. Det er leddet ax² som gjør funksjonen til en andregradsfunksjon. Grafen til en slik funksjon kalles en parabel.
Det første du bør legge merke til, er fortegnet til a. Hvis a er positiv, vender parabelen oppover og har et bunnpunkt. Hvis a er negativ, vender parabelen nedover og har et toppunkt. Dette er en enkel regel, men den hjelper deg å forstå både grafen og praktiske oppgaver. Hvis en modell beskriver høyden til en ball, vil a ofte være negativ fordi ballen først går opp og deretter ned. Hvis en modell beskriver en kostnad som først synker og senere øker, kan a være positiv.
Se også /ressursbank/artikler/hva-er-funksjoner, /ressursbank/artikler/grafdrofing-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/likninger-med-andregrad for mer trening i funksjoner, grafer og algebra.
Normalform og betydningen av tallene
Normalformen f(x)=ax²+bx+c er den formen du møter oftest. Tallet a bestemmer om grafen vender opp eller ned, og hvor smal eller bred parabelen er. Jo større absoluttverdi a har, desto smalere blir grafen. Konstantleddet c viser hvor grafen skjærer y-aksen, fordi f(0)=c.
Tallet b påvirker hvor symmetriaksen og toppunktet eller bunnpunktet ligger. Det er viktig å ikke tenke at b bare flytter grafen sidelengs alene. Plasseringen bestemmes av forholdet mellom b og a. Derfor bruker vi formelen x=-b/(2a) når vi skal finne x-verdien til toppunktet eller bunnpunktet.
Parabel og symmetriakse
En parabel er symmetrisk. Det betyr at venstre og høyre side speiler hverandre rundt en loddrett linje. Denne linja kalles symmetriaksen. For f(x)=ax²+bx+c er symmetriaksen x=-b/(2a). Når du har funnet symmetriaksen, kan du sette x-verdien inn i funksjonen for å finne toppunktet eller bunnpunktet.
Eksempel: La f(x)=x²-6x+5. Her er a=1 og b=-6. Symmetriaksen er x=-(-6)/(2·1)=3. Vi finner funksjonsverdien: f(3)=9-18+5=-4. Bunnpunktet er derfor (3,-4). Grafen vender oppover fordi a er positiv.
Nullpunkter
Nullpunktene er punktene der grafen skjærer x-aksen. De finnes ved å løse f(x)=0. For andregradsfunksjoner betyr dette at du løser en andregradslikning. Noen ganger kan du faktorisere. Andre ganger må du bruke andregradsformelen eller digitalt verktøy.
For f(x)=x²-6x+5 løser vi x²-6x+5=0. Uttrykket faktoriseres til (x-1)(x-5)=0. Dermed er nullpunktene x=1 og x=5. Legg merke til at symmetriaksen x=3 ligger midt mellom 1 og 5. Dette er en nyttig kontroll.