Denne artikkelen forklarer andregradsfunksjoner gjennom konkrete eksempler. Målet er å vise hvordan du går fra uttrykk til graf, fra graf til tolkning og fra oppgave til metode. I Matematikk 1T er dette viktig fordi oppgavene ofte krever at du kombinerer flere deler av temaet.
En andregradsfunksjon har formen f(x)=ax²+bx+c. Grafen er en parabel. Når a er positiv, vender grafen oppover. Når a er negativ, vender grafen nedover. Konstantleddet c viser skjæringen med y-aksen. Symmetriaksen finner du med x=-b/(2a).
Se også /ressursbank/artikler/hva-er-funksjoner, /ressursbank/artikler/grafdrofing-forklart-enkelt og /ressursbank/artikler/likninger-med-andregrad for mer trening i funksjoner, grafer og algebra.
Eksempel 1: Finn informasjon fra uttrykket
La f(x)=2x²-8x+6. Her er a=2, b=-8 og c=6. Fordi a er positiv, vender grafen oppover. Den har derfor et bunnpunkt. Siden c=6, skjærer grafen y-aksen i (0,6). Dette vet vi før vi har regnet videre.
Symmetriaksen er x=-(-8)/(2·2)=2. For å finne bunnpunktet setter vi x=2 inn i funksjonen: f(2)=2·4-16+6=-2. Bunnpunktet er (2,-2). Det betyr at den minste funksjonsverdien er -2.
Eksempel 2: Nullpunkter ved faktorisering
Vi finner nullpunktene til f(x)=2x²-8x+6 ved å løse 2x²-8x+6=0. Først deler vi på 2 og får x²-4x+3=0. Uttrykket kan faktoriseres til (x-1)(x-3)=0. Da er x=1 eller x=3.
Nullpunktene er (1,0) og (3,0). Siden grafen vender oppover, ligger den under x-aksen mellom nullpunktene og over x-aksen utenfor. Dette kan brukes til å løse ulikheten f(x)<0. Svaret blir 1<x<3.
Eksempel 3: En funksjon uten nullpunkter
La g(x)=x²+2x+5. Her er a=1, så grafen vender oppover. Symmetriaksen er x=-2/(2·1)=-1. Vi finner g(-1)=1-2+5=4. Bunnpunktet er (-1,4).
Siden bunnpunktet ligger over x-aksen, vil grafen aldri skjære x-aksen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkter. Dette er et viktig eksempel fordi det viser at en andregradsfunksjon ikke alltid har to løsninger når vi setter f(x)=0.
Eksempel 4: Praktisk modell
Høyden til en ball kan beskrives med h(t)=-5t²+20t+1, der t er tid i sekunder og h(t) er høyde i meter. Siden a=-5, vender grafen nedover. Derfor har modellen et toppunkt. Toppunktet viser ballens maksimale høyde.
Vi finner tidspunktet for maksimal høyde: t=-20/(2·(-5))=2. Deretter finner vi høyden: h(2)=-5·4+40+1=21. Ballen er altså høyest etter 2 sekunder, og maksimal høyde er 21 meter.