Matematikk S2 · Kapittel 1

Følger og rekker – komplett Ifingo-oppgaveside

Denne siden bygger opp S2 kapittel 1 med rekursive og eksplisitte følger, aritmetiske og geometriske rekker, uendelige rekker, sigma-notasjon, induksjon, renter, sparing og annuitet. Oppgavene er med forklart steg for steg.

📘 GeoGebra & Python-guide
Fag
Matematikk S2
Kapittel
1 · Følger og rekker
Antall oppgaver
63
Nivå
VG3 · LK20

Innhold

Innhold: eksempler og oppgaver, full trinnvis løsning, fasit, regler, vanlige feil, sensorpunkt, høy måloppnåelse, SVG-illustrasjoner, Python-kode der det passer og Ifingo-lærer-knapp.

Eksempler – forklart

Oppgave Eksempel 1Rekursiv følge

Oppgave Eksempel 1 – Rekursiv følge

En følge er gitt ved a₁=4 og aₙ₊₁=aₙ+7. Finn a₂, a₃, a₄ og forklar mønsteret.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi starter med a₁=4. Deretter legger vi til 7 hver gang: a₂=11, a₃=18, a₄=25. Dette er en aritmetisk følge fordi differansen er konstant.
Fasit
a₂=11, a₃=18, a₄=25.
Regel/huskeregel
Rekursiv definisjon forteller hvordan neste ledd lages fra forrige ledd.
Vanlige feil
Å starte på feil ledd eller legge til differansen én gang for mye.
Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig bruk av startverdi og rekursjonsformel.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave Eksempel 2Eksplisitt formel

Oppgave Eksempel 2 – Eksplisitt formel

Finn en eksplisitt formel for følgen 5, 9, 13, 17,...
Vis løsning
Trinnvis løsning
Differansen er 4. Første ledd er 5. For en aritmetisk følge er aₙ=a₁+(n-1)d. Derfor er aₙ=5+(n-1)4=4n+1.
Fasit
aₙ=4n+1.
Regel/huskeregel
Aritmetisk følge: aₙ=a₁+(n-1)d.
Vanlige feil
Å skrive aₙ=a₁+nd i stedet for a₁+(n-1)d.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at n=1 gir første ledd.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave Eksempel 3Geometrisk følge

Oppgave Eksempel 3 – Geometrisk følge

Følgen er 3, 6, 12, 24,... Finn aₙ.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Kvotienten er 6/3=2. Første ledd er 3. For geometrisk følge er aₙ=a₁·kⁿ⁻¹. Derfor er aₙ=3·2ⁿ⁻¹.
Fasit
aₙ=3·2ⁿ⁻¹.
Regel/huskeregel
Geometrisk følge har konstant kvotient mellom to naboledd.
Vanlige feil
Å bruke differanse i stedet for kvotient.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt vekstfaktor.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave Eksempel 4Aritmetisk rekke

Oppgave Eksempel 4 – Aritmetisk rekke

Finn summen av de 20 første leddene i 7+11+15+...
Vis løsning
Trinnvis løsning
Her er a₁=7, d=4 og n=20. Først finner vi a₂₀=7+19·4=83. Summen er S₂₀=n(a₁+aₙ)/2=20(7+83)/2=900.
Fasit
S₂₀=900.
Regel/huskeregel
Aritmetisk sum: Sₙ=n(a₁+aₙ)/2.
Vanlige feil
Å bruke antall mellomrom som antall ledd.
Sensor ser etter
Sensor ser etter både siste ledd og sumformel.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave Eksempel 5Geometrisk rekke

Oppgave Eksempel 5 – Geometrisk rekke

Finn summen 2+6+18+...+1458.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Dette er geometrisk med a₁=2 og k=3. Vi finner n ved 2·3ⁿ⁻¹=1458, altså 3ⁿ⁻¹=729=3⁶, så n=7. Summen er S₇=2(3⁷-1)/(3-1)=2186.
Fasit
S=2186.
Regel/huskeregel
Geometrisk sum: Sₙ=a₁(kⁿ-1)/(k-1), k≠1.
Vanlige feil
Å bruke aritmetisk sumformel på geometrisk rekke.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt antall ledd.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave Eksempel 6Uendelig geometrisk rekke

Oppgave Eksempel 6 – Uendelig geometrisk rekke

Finn summen av 12+6+3+1,5+...
Vis løsning
Trinnvis løsning
Kvotienten er k=1/2. Siden |k|<1, konvergerer rekken. Summen er S=a₁/(1-k)=12/(1-1/2)=24.
Fasit
S=24.
Regel/huskeregel
Uendelig geometrisk rekke har sum a₁/(1-k) når |k|<1.
Vanlige feil
Å bruke formelen når |k|≥1.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at konvergensbetingelsen nevnes.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave Eksempel 7Annuitetslån

Oppgave Eksempel 7 – Annuitetslån

Et lån på 120 000 kr betales med 12 like avdrag. Renten per termin er 1 %. Sett opp nåverdilikningen.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Nåverdien av terminbeløpet x er x/1,01+x/1,01²+...+x/1,01¹². Likningen er 120000=x·(1-1,01⁻¹²)/0,01.
Fasit
120000=x·(1-1,01⁻¹²)/0,01.
Regel/huskeregel
Annuitet er en geometrisk rekke av diskonterte betalinger.
Vanlige feil
Å bruke 1,01¹² i teller uten diskontering.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt økonomisk tolkning.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave Eksempel 8Sparing med faste innskudd

Oppgave Eksempel 8 – Sparing med faste innskudd

Du setter inn 800 kr hver måned i 24 måneder. Månedlig rente er 0,4 %. Finn sluttverdien.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Første innskudd forrentes lengst. Sluttverdien er 800(1,004²⁴-1)/(1,004-1) dersom innskudd skjer ved periodestart/slutt avhengig av avtale. Ved slutten av hver måned blir det 800·(1,004²⁴-1)/0,004≈20 100 kr.
Fasit
Ca. 20 100 kr.
Regel/huskeregel
Sparing med faste beløp kan modelleres som geometrisk sum.
Vanlige feil
Å plassere innbetalingene én periode feil.
Sensor ser etter
Sensor ser etter tydelig antakelse om innbetalingstidspunkt.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgaver 1.1–1.55

Oppgave 1.1Finn ledd i en rekursiv følge

Oppgave 1.1 – Finn ledd i en rekursiv følge

En følge er gitt ved a₁=6 og aₙ₊₁=aₙ+5. Finn a₂, a₃ og a₆.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Legg til 5 for hvert nytt ledd: a₂=11, a₃=16. For a₆ trenger vi fem økninger fra a₁: a₆=6+5·5=31.
Fasit
a₂=11, a₃=16, a₆=31.
Regel/huskeregel
Ved konstant økning d: aₙ=a₁+(n-1)d.
Vanlige feil
Å legge til d n ganger i stedet for n−1 ganger.
Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig indeksbruk.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.2Fra rekursiv til eksplisitt

Oppgave 1.2 – Fra rekursiv til eksplisitt

Følgen er gitt ved a₁=9 og aₙ₊₁=aₙ−3. Finn en formel for aₙ.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Differansen er d=-3. Da er aₙ=9+(n-1)(-3)=12-3n.
Fasit
aₙ=12−3n.
Regel/huskeregel
Aritmetisk følge kan skrives eksplisitt med aₙ=a₁+(n−1)d.
Vanlige feil
Å glemme parentesen rundt n−1.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at formelen gir a₁=9.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.3Geometrisk vekst

Oppgave 1.3 – Geometrisk vekst

En følge starter med 4 og hvert ledd er tre ganger forrige ledd. Finn a₅.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Formelen er aₙ=4·3ⁿ⁻¹. Derfor er a₅=4·3⁴=324.
Fasit
a₅=324.
Regel/huskeregel
Geometrisk følge: aₙ=a₁·kⁿ⁻¹.
Vanlige feil
Å regne 4·3⁵ i stedet for 4·3⁴.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt eksponent.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.4Sjekk om følgen er aritmetisk

Oppgave 1.4 – Sjekk om følgen er aritmetisk

Avgjør om 14, 21, 28, 35,... er aritmetisk, og finn d.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Differansen mellom naboledd er 21−14=7, 28−21=7 og 35−28=7. Den er konstant.
Fasit
Ja, d=7.
Regel/huskeregel
Aritmetisk betyr konstant differanse.
Vanlige feil
Å sjekke bare de to første leddene uten å se mønsteret.
Sensor ser etter
Sensor ser etter begrunnelse.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.5Sjekk om følgen er geometrisk

Oppgave 1.5 – Sjekk om følgen er geometrisk

Avgjør om 5, 15, 45, 135,... er geometrisk, og finn kvotienten.
Vis løsning
Trinnvis løsning
15/5=3, 45/15=3 og 135/45=3. Kvotienten er konstant.
Fasit
Ja, k=3.
Regel/huskeregel
Geometrisk betyr konstant forhold mellom naboledd.
Vanlige feil
Å bruke differansen 10, 30, 90.
Sensor ser etter
Sensor ser etter kvotient og konklusjon.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.6Finn ukjent ledd

Oppgave 1.6 – Finn ukjent ledd

I en aritmetisk følge er a₁=12 og d=8. Hvilket ledd er 140?
Vis løsning
Trinnvis løsning
aₙ=12+(n−1)8. Løs 12+8n−8=140, altså 8n+4=140, 8n=136 og n=17.
Fasit
140 er ledd nr. 17.
Regel/huskeregel
Sett aₙ lik ønsket verdi og løs for n.
Vanlige feil
Å svare n=16 fordi man teller differanser feil.
Sensor ser etter
Sensor ser etter likningsoppsett.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.7Finn første ledd

Oppgave 1.7 – Finn første ledd

En aritmetisk følge har a₈=43 og d=5. Finn a₁.
Vis løsning
Trinnvis løsning
a₈=a₁+7d. Dermed 43=a₁+35, så a₁=8.
Fasit
a₁=8.
Regel/huskeregel
aₙ=a₁+(n−1)d kan løses for ukjent a₁.
Vanlige feil
Å bruke 8d i stedet for 7d.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt antall sprang.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.8Geometrisk baklengs

Oppgave 1.8 – Geometrisk baklengs

I en geometrisk følge er a₄=81 og k=3. Finn a₁.
Vis løsning
Trinnvis løsning
a₄=a₁·3³=27a₁. Dermed 81=27a₁, så a₁=3.
Fasit
a₁=3.
Regel/huskeregel
Fra a₁ til a₄ er det tre multiplikasjoner.
Vanlige feil
Å dele på 3 fire ganger.
Sensor ser etter
Sensor ser etter indeksforståelse.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.9Eksplisitt formel fra to ledd

Oppgave 1.9 – Eksplisitt formel fra to ledd

En aritmetisk følge har a₃=18 og a₁₀=53. Finn aₙ.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Fra ledd 3 til ledd 10 er det 7 sprang. Differansen er (53−18)/7=5. Siden a₃=a₁+2d, får vi 18=a₁+10, altså a₁=8. Dermed aₙ=8+5(n−1)=5n+3.
Fasit
aₙ=5n+3.
Regel/huskeregel
Bruk avstand i indeks: a_m−a_n=(m−n)d.
Vanlige feil
Å dele på 10 i stedet for 7.
Sensor ser etter
Sensor ser etter differanse fra indeksavstand.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.10Geometrisk formel fra to ledd

Oppgave 1.10 – Geometrisk formel fra to ledd

En geometrisk følge har a₂=10 og a₅=80. Finn kvotienten og aₙ.
Vis løsning
Trinnvis løsning
a₅/a₂=k³=80/10=8. Dermed k=2. Siden a₂=a₁·2=10, er a₁=5. Formelen er aₙ=5·2ⁿ⁻¹.
Fasit
k=2, aₙ=5·2ⁿ⁻¹.
Regel/huskeregel
For geometriske følger er a_m/a_n=km−n.
Vanlige feil
Å bruke k=8 direkte.
Sensor ser etter
Sensor ser etter rot/eksponentforståelse.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.11Aritmetisk sum

Oppgave 1.11 – Aritmetisk sum

Finn summen av de 30 første leddene i følgen 4, 9, 14,...
Vis løsning
Trinnvis løsning
a₃₀=4+29·5=149. S₃₀=30(4+149)/2=2295.
Fasit
S₃₀=2295.
Regel/huskeregel
Sₙ=n(a₁+aₙ)/2.
Vanlige feil
Å summere differansen i stedet for leddene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter siste ledd og sumformel.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.12Geometrisk sum

Oppgave 1.12 – Geometrisk sum

Finn summen av de 8 første leddene i 3+6+12+...
Vis løsning
Trinnvis løsning
a₁=3 og k=2. S₈=3(2⁸−1)/(2−1)=3·255=765.
Fasit
S₈=765.
Regel/huskeregel
Sₙ=a₁(kⁿ−1)/(k−1).
Vanlige feil
Å bruke n−1 i sumformelen.
Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig n i formelen.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.13Antall ledd i rekke

Oppgave 1.13 – Antall ledd i rekke

Hvor mange ledd er det i rekken 6+10+14+...+82?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Aritmetisk med a₁=6, d=4. Løs 82=6+(n−1)4. Da er 76=4(n−1), n−1=19 og n=20.
Fasit
20 ledd.
Regel/huskeregel
Finn n før du bruker sumformel.
Vanlige feil
Å tro at 82/4 gir antall ledd.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt likning.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.14Sum med ukjent antall ledd

Oppgave 1.14 – Sum med ukjent antall ledd

Finn summen 6+10+14+...+82.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Fra forrige oppgave er n=20. S₂₀=20(6+82)/2=880.
Fasit
880.
Regel/huskeregel
Aritmetisk sum bruker første og siste ledd.
Vanlige feil
Å bruke siste ledd som antall ledd.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at n er funnet først.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.15Uendelig rekke

Oppgave 1.15 – Uendelig rekke

Finn summen 20+10+5+2,5+...
Vis løsning
Trinnvis løsning
Kvotienten er 1/2. Siden |k|<1, er summen 20/(1−1/2)=40.
Fasit
40.
Regel/huskeregel
Uendelig geometrisk sum: S=a₁/(1−k).
Vanlige feil
Å stoppe etter noen ledd og kalle det eksakt sum.
Sensor ser etter
Sensor ser etter konvergensbegrunnelse.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.16Konvergens eller divergens

Oppgave 1.16 – Konvergens eller divergens

Avgjør om 5+6+7,2+8,64+... har en endelig sum.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Kvotienten er 6/5=1,2. Siden |1,2|>1, vokser leddene, og rekken har ikke endelig sum.
Fasit
Divergerer.
Regel/huskeregel
Uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når |k|<1.
Vanlige feil
Å bruke formelen a₁/(1−k) ukritisk.
Sensor ser etter
Sensor ser etter betingelsen |k|<1.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.17Desimal som brøk

Oppgave 1.17 – Desimal som brøk

Skriv 0,272727... som brøk.
Vis løsning
Trinnvis løsning
La x=0,272727... Da er 100x=27,272727... Trekker vi fra x, får vi 99x=27. Dermed x=27/99=3/11.
Fasit
3/11.
Regel/huskeregel
Periodiske desimaltall kan løses med forskyvning.
Vanlige feil
Å runde av i stedet for å finne eksakt brøk.
Sensor ser etter
Sensor ser etter algebraisk metode.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.18Rentes rente

Oppgave 1.18 – Rentes rente

Du setter 15 000 kr i banken til 4 % årlig rente. Hvor mye har du etter 10 år?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Beløpet følger geometrisk vekst: K=15000·1,04¹⁰≈22 203.
Fasit
Ca. 22 203 kr.
Regel/huskeregel
Rente p % gir vekstfaktor 1+p/100.
Vanlige feil
Å bruke 15000+10·0,04 i stedet for rentes rente.
Sensor ser etter
Sensor ser etter vekstfaktor.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.19Sparing med årlige innskudd

Oppgave 1.19 – Sparing med årlige innskudd

Du setter inn 6000 kr ved slutten av hvert år i 8 år. Renta er 3 %. Finn sluttverdien.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Sluttverdien blir 6000(1,03⁸−1)/(1,03−1)≈53 340 kr.
Fasit
Ca. 53 340 kr.
Regel/huskeregel
Fast sparing gir geometrisk sum av forrentede innskudd.
Vanlige feil
Å forrente siste innskudd én periode for mye.
Sensor ser etter
Sensor ser etter tydelig antakelse om innbetalingstidspunkt.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.20Annuitetslån

Oppgave 1.20 – Annuitetslån

Et lån på 250 000 kr nedbetales med 20 like terminbeløp. Rente per termin er 0,8 %. Finn terminbeløpet.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Nåverdi: 250000=x(1−1,008⁻²⁰)/0,008. Dermed x=250000·0,008/(1−1,008⁻²⁰)≈13 569 kr.
Fasit
Ca. 13 569 kr per termin.
Regel/huskeregel
Annuitetsformel bygger på geometrisk rekke.
Vanlige feil
Å bruke rente i prosent direkte som 0,8 i stedet for 0,008.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt diskontering.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.21Rekursiv modell i praktisk situasjon

Oppgave 1.21 – Rekursiv modell i praktisk situasjon

En bakteriekultur starter med 1200 bakterier og øker med 18 % per time. Skriv rekursiv modell og finn antallet etter 5 timer.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Rekursivt: a₀=1200 og aₙ₊₁=1,18aₙ. Etter 5 timer: a₅=1200·1,18⁵≈2749.
Fasit
Ca. 2749 bakterier.
Regel/huskeregel
Prosentvis vekst gir multiplikasjon med vekstfaktor.
Vanlige feil
Å legge til 18 hver gang i stedet for 18 %.
Sensor ser etter
Sensor ser etter modell og enhet.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.22Aritmetisk modell i praktisk situasjon

Oppgave 1.22 – Aritmetisk modell i praktisk situasjon

En elev leser 18 sider første dag og øker med 4 sider per dag. Hvor mange sider leser eleven på dag 12?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Dette er aritmetisk: a₁=18, d=4. a₁₂=18+11·4=62.
Fasit
62 sider.
Regel/huskeregel
Lineær/aritmetisk vekst betyr fast økning.
Vanlige feil
Å multiplisere 18 med 4.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt dagnummer.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.23Total lesemengde

Oppgave 1.23 – Total lesemengde

Bruk situasjonen i forrige oppgave. Hvor mange sider leser eleven totalt de første 12 dagene?
Vis løsning
Trinnvis løsning
S₁₂=12(18+62)/2=480.
Fasit
480 sider.
Regel/huskeregel
Totalen av en aritmetisk følge er en aritmetisk rekke.
Vanlige feil
Å svare med siste dags lesemengde.
Sensor ser etter
Sensor ser etter skille mellom ledd og sum.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.24Finne kvotient fra sum

Oppgave 1.24 – Finne kvotient fra sum

En geometrisk rekke har a₁=5, k=2 og sum Sₙ=315. Finn n.
Vis løsning
Trinnvis løsning
315=5(2ⁿ−1)/(2−1), så 2ⁿ−1=63, 2ⁿ=64, n=6.
Fasit
n=6.
Regel/huskeregel
Løs sumformelen som en likning.
Vanlige feil
Å bruke siste ledd-formelen i stedet for sumformelen.
Sensor ser etter
Sensor ser etter algebraisk løsning.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.25Geometrisk nedgang

Oppgave 1.25 – Geometrisk nedgang

Verdien av en maskin er 180 000 kr og synker 12 % per år. Finn verdien etter 6 år.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Vekstfaktoren er 0,88. V=180000·0,88⁶≈83 609 kr.
Fasit
Ca. 83 609 kr.
Regel/huskeregel
Nedgang p % gir vekstfaktor 1−p/100.
Vanlige feil
Å trekke 12 % av startverdien hvert år lineært.
Sensor ser etter
Sensor ser etter eksponentiell modell.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.26Sum av verdifall

Oppgave 1.26 – Sum av verdifall

En maskin koster 180 000 kr og taper 12 % av gjenværende verdi hvert år. Hvor mye verdi taper den totalt de første 6 årene?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Verdien etter 6 år er 180000·0,88⁶≈83 609. Verditapet er 180000−83609≈96 391 kr.
Fasit
Ca. 96 391 kr.
Regel/huskeregel
Totalt tap = startverdi − sluttverdi.
Vanlige feil
Å summere 12 % av startverdi seks ganger.
Sensor ser etter
Sensor ser etter forståelse av gjenværende verdi.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.27Uendelig sparemodell

Oppgave 1.27 – Uendelig sparemodell

Du får 1000 kr første måned, deretter 80 % av forrige beløp hver måned. Hvor mye får du totalt dersom dette fortsetter uendelig?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Dette er uendelig geometrisk rekke med a₁=1000 og k=0,8. Summen er 1000/(1−0,8)=5000.
Fasit
5000 kr.
Regel/huskeregel
Når |k|<1 kan uendelig rekke ha endelig sum.
Vanlige feil
Å tro at uendelig alltid betyr uendelig stor sum.
Sensor ser etter
Sensor ser etter konvergensforklaring.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.28Sigma-notasjon

Oppgave 1.28 – Sigma-notasjon

Skriv summen 4+7+10+...+31 med sigma-notasjon.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Følgen er aₙ=4+3(n−1)=3n+1. Siste ledd: 3n+1=31 gir n=10. Summen kan skrives ∑ fra n=1 til 10 av (3n+1).
Fasit
∑_{n=1}^{10}(3n+1).
Regel/huskeregel
Sigma-notasjon krever uttrykk, start og slutt.
Vanlige feil
Å la øvre grense være 31 i stedet for 10.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt indeks.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.29Regn ut sigma-sum

Oppgave 1.29 – Regn ut sigma-sum

Regn ut ∑_{n=1}^{12}(2n+3).
Vis løsning
Trinnvis løsning
Dette er 5+7+9+...+27. Summen er 12(5+27)/2=192.
Fasit
192.
Regel/huskeregel
Lineære uttrykk i sigma kan tolkes som aritmetisk rekke.
Vanlige feil
Å sette inn bare n=12.
Sensor ser etter
Sensor ser etter at alle ledd inngår.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.30Sammenlikn rekker

Oppgave 1.30 – Sammenlikn rekker

Hvilken sum er størst: 2+4+8+...+2¹⁰ eller 10+20+30+...+100?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Første sum er geometrisk: 2(2¹⁰−1)/(2−1)=2046. Andre er aritmetisk: 10(10+100)/2=550. Den geometriske er størst.
Fasit
2+4+...+2¹⁰ er størst.
Regel/huskeregel
Geometrisk vekst kan bli mye større enn lineær vekst.
Vanlige feil
Å telle feil antall ledd i 2+4+...+2¹⁰.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt antall ledd og metode.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.31Blandet oppgave med lån

Oppgave 1.31 – Blandet oppgave med lån

Et lån på 100 000 kr skal betales med 10 like årlige beløp, første gang om ett år. Renten er 5 %. Finn beløpet.
Vis løsning
Trinnvis løsning
100000=x(1−1,05⁻¹⁰)/0,05. x≈12 950 kr.
Fasit
Ca. 12 950 kr.
Regel/huskeregel
Nåverdi av annuitet: x(1−(1+r)^−n)/r.
Vanlige feil
Å bruke sluttverdi i stedet for nåverdi.
Sensor ser etter
Sensor ser etter økonomisk modell.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.32Induksjon – aritmetisk sum

Oppgave 1.32 – Induksjon – aritmetisk sum

Vis at 1+2+...+n=n(n+1)/2.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Sjekk n=1: venstre 1 og høyre 1. Anta at formelen gjelder for n=k. Da er 1+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2. Dermed gjelder formelen for k+1.
Fasit
Formelen er vist ved induksjon.
Regel/huskeregel
Induksjon har basissteg og induksjonssteg.
Vanlige feil
Å bare teste noen tall og kalle det bevis.
Sensor ser etter
Sensor ser etter gyldig argumentasjon.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.33Induksjon – geometrisk sum

Oppgave 1.33 – Induksjon – geometrisk sum

Vis at 1+r+r²+...+rⁿ=(rⁿ⁺¹−1)/(r−1), når r≠1.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Basis n=0 gir 1=(r−1)/(r−1). Anta formelen for n=k. Legg til rk+1 og trekk sammen: (rk+1−1)/(r−1)+rk+1=(rk+2−1)/(r−1).
Fasit
Formelen er bevist.
Regel/huskeregel
Geometrisk sum kan bevises med induksjon.
Vanlige feil
Å glemme betingelsen r≠1.
Sensor ser etter
Sensor ser etter algebraisk overgang.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.34Delvis sum og grenseverdi

Oppgave 1.34 – Delvis sum og grenseverdi

For rekken 1/3+1/9+1/27+... finn Sₙ og grenseverdien.
Vis løsning
Trinnvis løsning
a₁=1/3, k=1/3. Sₙ=(1/3)(1-(1/3)n)/(1-1/3)=1/2(1-(1/3)n). Når n går mot uendelig, går (1/3)n mot 0. Summen blir 1/2.
Fasit
Sₙ=1/2(1-(1/3)n), S=1/2.
Regel/huskeregel
Delvis sum nærmer seg uendelig sum når |k|<1.
Vanlige feil
Å si at siste ledd blir lik summen.
Sensor ser etter
Sensor ser etter grenseargument.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.35Praktisk modell med trapper

Oppgave 1.35 – Praktisk modell med trapper

En tribune har 18 seter på første rad, 22 på andre rad og 26 på tredje rad. Det er 30 rader. Hvor mange seter er det totalt?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Aritmetisk rekke med a₁=18, d=4. a₃₀=18+29·4=134. S₃₀=30(18+134)/2=2280.
Fasit
2280 seter.
Regel/huskeregel
Rader med fast økning modelleres aritmetisk.
Vanlige feil
Å multiplisere første rad med antall rader.
Sensor ser etter
Sensor ser etter praktisk modell.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.36Praktisk modell med virusdeling

Oppgave 1.36 – Praktisk modell med virusdeling

En video deles først til 8 personer. Hver person deler videre til 3 nye personer. Hvor mange får videoen i løpet av 6 runder?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Antall i rundene er 8, 24, 72,... geometrisk med k=3. Totalt etter 6 runder: S₆=8(3⁶−1)/(3−1)=2912.
Fasit
2912 personer.
Regel/huskeregel
Spredning med fast multiplikator er geometrisk.
Vanlige feil
Å bare finne sjette runde og ikke totalen.
Sensor ser etter
Sensor ser etter skille mellom rundeledd og samlet sum.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.37Uendelig desimal

Oppgave 1.37 – Uendelig desimal

Skriv 0,1363636... som brøk.
Vis løsning
Trinnvis løsning
La x=0,1363636... Først flytt én desimal: 10x=1,363636... Deretter 100 ganger dette: 1000x=136,363636... Trekk: 990x=135. Dermed x=135/990=3/22.
Fasit
3/22.
Regel/huskeregel
Ved blandet periodisk desimal må vi flytte forbi ikke-periodisk del.
Vanlige feil
Å behandle 0,13 som hele perioden.
Sensor ser etter
Sensor ser etter riktig forskyvning.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.38Kombinert aritmetisk og geometrisk

Oppgave 1.38 – Kombinert aritmetisk og geometrisk

En lønn er 320 000 kr og øker med 18 000 kr hvert år. En annen lønn er 280 000 kr og øker med 4 % hvert år. Når er den andre størst?
Vis løsning
Trinnvis løsning
Sett opp A(n)=320000+18000n og G(n)=280000·1,04n. Prøv verdier eller bruk CAS. Rundt n=20 er G≈613 000 og A=680 000, fortsatt lavere. Rundt n=28 er G≈839 000 og A=824 000. Den andre blir størst etter omtrent 28 år.
Fasit
Etter ca. 28 år.
Regel/huskeregel
Lineær og eksponentiell vekst kan sammenliknes numerisk.
Vanlige feil
Å sammenlikne bare startverdiene.
Sensor ser etter
Sensor ser etter modell og vurdering av løsning.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.39Feilsøking i formel

Oppgave 1.39 – Feilsøking i formel

En elev skriver at summen av 5+8+11+...+50 er 50(5+50)/2. Forklar feilen og finn riktig sum.
Vis løsning
Trinnvis løsning
Feilen er at 50 er siste ledd, ikke antall ledd. Finn n: 50=5+(n−1)3 gir 45=3(n−1), n=16. Riktig sum er 16(5+50)/2=440.
Fasit
440.
Regel/huskeregel
I sumformelen er n antall ledd.
Vanlige feil
Å forveksle siste ledd og antall ledd.
Sensor ser etter
Sensor ser etter presis feilforklaring.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.40Python og rekker

Oppgave 1.40 – Python og rekker

Lag et lite program som summerer de 25 første leddene i følgen aₙ=3n+2.
s = 0
for n in range(1, 26): s += 3*n + 2
print(s)
Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi bruker en løkke fra 1 til 25 og legger hvert ledd til en sumvariabel.
Fasit
Summen blir 1050.
Regel/huskeregel
Programmering kan kontrollere reknearbeid med rekker.
Vanlige feil
Å starte løkka på 0 uten å justere formelen.
Sensor ser etter
Sensor ser etter tydelig kode og riktig resultat.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 1.41Python geometrisk sum

Oppgave 1.41 – Python geometrisk sum

Lag program som finner første n der 5+5·1,1+... overstiger 1000.
s = 0
ledd = 5
n = 0
while s <= 1000: s += ledd ledd *= 1.1 n += 1
print(n, s)
Vis løsning
Trinnvis løsning
Vi summerer ledd til summen passerer 1000. Hvert nytt ledd multipliseres med 1,1.
Fasit
Første n kan finnes med løkke; programmet gir kontrollert svar.
Regel/huskeregel
Løkker passer når n er ukjent.
Vanlige feil
Å stoppe løkka før siste ledd er lagt til.
Sensor ser etter
Sensor ser etter korrekt while-logikk.
Høy måloppnåelse
Du viser metode, begrunner formelvalg, kontrollerer svaret og tolker resultatet i konteksten.
Oppgave 1.42Finne rente fra sluttverdi

Oppgave 1.42 – Finne rente fra sluttverdi

Du setter inn 20 000 kr. Etter 12 år er beløpet 31 000 kr. Finn årlig rente.
/*ilw*/ #ilw-ov{position:fixed;inset:0;background:rgba(30,20,60,.38);z-index:99998;display:none} #ilw{position:fixed;top:0;right:0;height:100%;width:min(440px,100%);background:#faf8ff;z-index:99999;display:none;flex-direction:column;box-shadow:-12px 0 44px -12px rgba(76,29,149,.45);font-family:Inter,system-ui,sans-serif} #ilw.open,#ilw-ov.open{display:flex} #ilw-hd{display:flex;align-items:center;gap:12px;padding:15px 18px;border-bottom:1px solid #e7dcff;background:#fff} #ilw-hd img{width:42px;height:42px;border-radius:50%;object-fit:cover;object-position:top;background:#6d28d9} #ilw-hd b{font-size:15.5px;color:#1e1b3a;display:block}#ilw-hd s{font-size:12px;color:#6b6688;text-decoration:none} #ilw-x{margin-left:auto;background:none;border:none;font-size:24px;line-height:1;cursor:pointer;color:#8b7fb0} #ilw-ms{flex:1;overflow-y:auto;padding:16px;display:flex;flex-direction:column;gap:11px} .ilw-m{max-width:86%;padding:10px 14px;border-radius:16px;font-size:14px;line-height:1.62} .ilw-u{align-self:flex-end;background:linear-gradient(to right,#662deb,#8757f2);color:#fff;border-bottom-right-radius:5px;white-space:pre-wrap} .ilw-b{align-self:flex-start;background:#fff;border:1px solid #ece7fb;color:#211d40;border-bottom-left-radius:5px} .ilw-b code{background:#f3ecff;padding:1px 5px;border-radius:5px;font-size:13px} .ilw-qa{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;margin:2px 0 4px} .ilw-qa button{font-size:12px;padding:6px 12px;border-radius:999px;background:#f3ecff;border:1px solid #e0d6fb;color:#6d28d9;cursor:pointer;font-family:inherit} .ilw-qa button:hover{background:#e9defb} #ilw-fm{display:flex;gap:8px;padding:12px;border-top:1px solid #e7dcff;background:#fff} #ilw-in{flex:1;padding:10px 15px;border:1px solid #e0d6fb;border-radius:999px;font-size:14px;outline:none;font-family:inherit} #ilw-in:focus{border-color:#8757f2} #ilw-sd{background:#6d28d9;color:#fff;border:none;border-radius:50%;width:40px;height:40px;min-width:40px;cursor:pointer;font-size:15px} #ilw-sd:disabled{opacity:.5} #ilw-ft{font-size:10px;color:#8b7fb0;text-align:center;padding:0 12px 10px;background:#fff}