Periodiske funksjoner, derivasjon og integrasjon av sinus og cosinus, modellering av svingninger.
Trigonometriske funksjoner
Trigonometriske funksjoner er periodiske funksjoner som beskriver svingninger, bølger og sirkulære bevegelser. I R2 utvider vi det vi lærte i R1 med sammensatte funksjoner, derivasjon, integrasjon og modellering av virkelige fenomener som lyd, lys, tidevann og elektriske vekselstrømmer.
1. Repetisjon: Enhetssirkelen og radianer
I R2 brukes alltid radianer som vinkelmål. Sammenhengen er $180° = \pi$ radianer.
Sentrale verdier (memoriser!)
| Vinkel (rad) | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $\pi/6$ | $1/2$ | $\sqrt{3}/2$ | $\sqrt{3}/3$ |
| $\pi/4$ | $\sqrt{2}/2$ | $\sqrt{2}/2$ | $1$ |
| $\pi/3$ | $\sqrt{3}/2$ | $1/2$ | $\sqrt{3}$ |
| $\pi/2$ | $1$ | $0$ | udef. |
2. Den generelle sinusfunksjonen
$f(x) = A \sin(k(x - c)) + d$
- $A$ – amplitude (halve avstanden mellom topp og bunn)
- $k$ – vinkelfrekvens; perioden er $T = \frac{2\pi}{k}$
- $c$ – faseforskyvning (horisontal)
- $d$ – likevektslinje (vertikal forskyvning)
Eksempel 1 – Tolkning
Funksjonen $f(x) = 3\sin(2(x - \pi/4)) + 5$ har amplitude $3$, periode $\pi$, faseforskyvning $\pi/4$ til høyre, og svinger om linja $y = 5$.
3. Sentrale identiteter
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$
$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$
$\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$
$\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$
4. Derivasjon av trigonometriske funksjoner
$(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Med kjerneregelen: $(\sin u(x))' = u'(x) \cdot \cos u(x)$
Eksempel 2 – Kjerneregel
Deriver $f(x) = \sin(3x^2 + 1)$.
Sett $u = 3x^2 + 1$, da er $u' = 6x$. Vi får:
$f'(x) = 6x \cdot \cos(3x^2 + 1)$
5. Integrasjon av trigonometriske funksjoner
$\int \sin x\, dx = -\cos x + C$
$\int \cos x\, dx = \sin x + C$
$\int \sin(kx)\, dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$
6. Trigonometriske likninger
Likningen $\sin x = a$ (med $|a| \le 1$) har løsninger:
$x = \sin^{-1}(a) + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \sin^{-1}(a) + 2\pi n$
Eksempel 3 – Modell
Tidevannet i en havn modelleres ved $h(t) = 1{,}5 \sin(\frac{\pi}{6} t) + 3$, der $t$ er timer etter midnatt og $h$ er høyde i meter.
a) Periode: $T = 2\pi / (\pi/6) = 12$ timer.
b) Maks høyde $= 3 + 1{,}5 = 4{,}5$ m, oppnås når $\sin(\frac{\pi}{6}t) = 1$, dvs. $t = 3$ (kl. 03:00). …