Normalfordeling, konfidensintervaller, hypotesetesting og sentralgrenseteoremet.
Statistikk og sannsynlighet
Vi ser på den normalfordelingen, et av de viktigste verktøyene i statistikk, og læreren grunnlaget for hypotesetesting.
5A Normalfordelingen 5B Standardnormalfordelingen og z-verdier 5C Sentralgrenseteoremet 5D Konfidensintervaller og hypotesetesting
5A · Normalfordelingen
En normalfordelt variabel \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) har tetthetsfunksjon:
$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
Grafen er symmetrisk og klokkeformet med topp i \(\mu\).
📌 68-95-99,7-regelen
- 68 % av verdiene ligger innenfor \(\mu \pm \sigma\)
- 95 % av verdiene ligger innenfor \(\mu \pm 2\sigma\)
- 99,7 % av verdiene ligger innenfor \(\mu \pm 3\sigma\)
[answer: Omtrent hvor mange prosent av verdiene i en normalfordeling ligger innenfor én standardavvik fra gjennomsnittet? | 68 | 68-95-99,7-regelen: 68% innenfor ±1σ.]
5B · Standardnormalfordelingen og z-verdier
Standardnormalfordelingen er \(Z \sim N(0, 1)\). En hvilken som helst normalfordeling kan standardiseres:
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
z-verdien forteller hvor mange standardavvik \(X\) er fra gjennomsnittet.
[answer: X er normalfordelt med middelverdi 50 og standardavvik 10. Hva er z-verdien for x = 70? | 2 | z = (70 - 50) / 10 = 20/10 = 2] [answer: X er normalfordelt med middelverdi 100 og standardavvik 15. Hva er z-verdien for x = 85? | -1 | z = (85 - 100) / 15 = -15/15 = -1]
5C · Sentralgrenseteoremet
Sentralgrenseteoremet sier at gjennomsnittet av \(n\) uavhengige, identisk fordelte variabler med middelverdi \(\mu\) og varians \(\sigma^2\) er tilnærmet normalfordelt for stort \(n\):
$\bar{X} \sim N\!\left(\mu,\, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
5D · Konfidensintervaller
Et \(95\,\%\)-konfidensintervall for populasjonsgjennomsnittet (kjent \(\sigma\)) er:
$\bar{x} \pm 1{,}96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 🧩
Sjekk deg selv
[answer: Hva er middelverdi og varians for standardnormalfordelingen? Skriv på formen mu=a og sigma^2=b. | mu=0 og sigma^2=1 | Standardnormalfordelingen er N(0,1) per definisjon.] [answer: Omtrent hvor mange prosent av verdiene i en normalfordeling ligger innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet? | 95 | 68-95-99,7-regelen: 95% innenfor ±2σ.]