Matematisk logikk, bevis og induksjon

Hopp til hovedinnholdIfingo › Matematikk › R2 › Matematisk logikk, bevis og induksjon Matematikk R2 · Kapittel 3

Matematisk logikk, bevis og induksjon

Lær å lese, analysere og utvikle matematiske bevis. Kapittelet bygger en presis vei fra utsagn og kvantorer til direkte bevis, kontraposisjon, motsigelse, moteksempler og matematisk induksjon.

19 undervisningsseksjoner 57 kontrollerte modelløsninger 114 øvingsoppgaver 20 eksamensnære oppgaver Hvorfor bevis?

Fra svar til begrunnelse

I R2 er det ikke alltid nok å finne et riktig tall eller et riktig uttrykk. Du skal kunne forklare hvorfor en sammenheng må gjelde, hvilke vilkår som brukes, og hvor et argument eventuelt bryter sammen.

Bevisarbeid trener presisjon, generalisering, kildekritisk matematisk tenkning og muntlig forklaring. De samme ferdighetene brukes i funksjonsanalyse, trigonometri, rekker, integrasjon og romgeometri.

Dette lærer du

Etter kapitlet kan du

• tolke utsagn, kvantorer, implikasjoner og ekvivalenser
• velge mellom direkte bevis, kontraposisjon, motsigelse og tilfeller
• bruke definisjoner, moteksempler og restklasser presist
• analysere første ugyldige trinn i et argument
• gjennomføre komplette induksjonsbevis
• forklare bærende idé og dokumentere digitale kontroller

Offisiell forankring

Kompetansen dette kapitlet trener

Kapittelet er utviklet for å støtte kompetansemålet om å analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene og utvikle egne bevis.

Kontroller alltid den gjeldende formuleringen og vurderingsinformasjonen hos Utdanningsdirektoratet.

Forkunnskaper

Dette bør du kunne fra før

Algebra

Faktorisering, brøkregning, potenser og likningsomforming.

Tall

Partall, oddetall, delelighet, primtall og rest ved divisjon.

Funksjoner og vektorer

Derivasjon, skalarprodukt, norm og enkel rekursjon.

Innhold

1. 1. Utsagn, sannhetsverdi og definisjonsområde
2. 2. Kvantorer og negasjon
3. 3. Implikasjon, nødvendig og tilstrekkelig betingelse
4. 4. Ekvivalens og lovlige omforminger
5. 5. Definisjoner, aksiomer, setninger og vilkår
6. 6. Eksempler, moteksempler og generalisering
7. 7. Bevisarkitektur og bærende idé
8. 8. Direkte bevis
9. 9. Paritet, delelighet og modulær tenkning
10. 10. Kontrapositivt bevis
11. 11. Motsigelsesbevis
12. 12. Bevis ved tilfeller, eksistens og entydighet
13. 13. Geometriske og visuelle bevis
14. 14. Analyse av elevbevis og feilsøking
15. 15. Digitale verktøy: kontroll er ikke bevis
16. 16. Induksjonsprinsippet
17. 17. Induksjon for summer, produkter og rekker
18. 18. Induksjon for rekursive formler, delelighet og ulikheter
19. 19. Eksamensføring, muntlig forklaring og egne bevis

Metodekart

Velg bevisstrategi ut fra strukturen

Metoden bestemmes ikke av hva du liker best, men av hvordan forutsetningen og konklusjonen er formulert.

Direkte bevis

Start med forutsetningene og bygg en gyldig kjede fram til konklusjonen.

Passer når: Når definisjoner og algebra peker naturlig framover.

Kontraposisjon

Bevis ¬Q→¬P i stedet for P→Q.

Passer når: Når negasjonen av konklusjonen gir en enkel paritets- eller restklassebeskrivelse.

Motsigelse

Anta at påstanden er falsk og utled en umulighet.

Passer når: Når en negert påstand gir sterke strukturelle konsekvenser.

Tilfeller

Del området i uttømmende muligheter og bevis hvert tilfelle.

Passer når: Når paritet, fortegn eller restklasser dekker alle objekter.

Moteksempel

Finn ett objekt som oppfyller forutsetningen, men ikke konklusjonen.

Passer når: Når en universell påstand skal avkreftes.

Eksistens og entydighet

Bygg en kandidat, kontroller den, og vis at to kandidater må være like.

Passer når: Når oppgaven spør om nøyaktig én løsning eller ett objekt.

Induksjon

Kontroller startverdien og bevis overgangen fra k til k+1.

Passer når: Når påstanden gjelder heltallsindekser og har en naturlig trinnstruktur. Et godt bevis gjør både logikken og matematikkens hovedidé synlig. Diagnostisk start

Kan du skille kontroll fra bevis?

Ta stilling til påstanden «n²+n er partall for alle heltall n».

Et program tester 10 000 verdier uten avvik. Er påstanden bevist?

Nei. Testen støtter hypotesen, men dekker bare et endelig område.

Hva er en bærende idé som kan gi et bevis?

Faktoriseringen n²+n=n(n+1). To påfølgende heltall inneholder alltid ett partall.

Seksjon 1 av 19

Utsagn, sannhetsverdi og definisjonsområde

Et bevis begynner med en presis påstand. Du må vite hva variablene betyr, hvilket område de tilhører, og om setningen faktisk kan være sann eller usann.

Kjernepoeng: Avklar utsagn, variabler og definisjonsområde før du argumenterer. Skille utsagn fra åpne uttrykk og kommandoerDefinisjonsområdet kan endre sannhetsverdienSannhetsverdien til en sammensatt påstand Modell 1 begrepsanalyse Seksjon 1

Skille utsagn fra åpne uttrykk og kommandoer

Oppgave: Klassifiser setningene: A: «2+3=5». B: «x²=9». C: «For alle reelle x er x²≥0». D: «Løs likningen x²=9».

Bærende idé: Et utsagn må ha en bestemt sannhetsverdi. En fri variabel gjør setningen åpen, mens en kommando ikke påstår noe.

Fullstendig løsning

1. A har ingen fri variabel og er sant, derfor er A et sant utsagn.
2. B avhenger av x. Uten verdi eller kvantor er B en åpen setning, ikke et ferdig utsagn.
3. C har både kvantor og definisjonsområde. Kvadratet av et reelt tall er ikke-negativt, så C er sant.
4. D er en instruksjon. Den kan utføres, men er verken sann eller usann.

A: sant · B: åpen setning · C: sant · D: kommando

A og C er utsagn; A og C er sanne. B er åpen, og D er en kommando.

Vanlig feil: Å kalle enhver matematisk setning for et utsagn uten å kontrollere frie variabler. Sensorblikk: En sterk besvarelse begrunner klassifikasjonen med sannhetsverdi, variabler og kvantorer. Skille utsagn fra åpne uttrykk og kommandoer. Hvert trinn må følge gyldig fra det forrige. Programmatisk eller symbolsk kontroll

result = ((2+3==5) and all(x*x >= 0 for x in [-3,-1,0,2,5])) print('A og C består kontrollen')

Kontrollen tester representanter for C, men den generelle begrunnelsen er at x²≥0 for alle reelle x.

Kontrollutskrift: A og C består kontrollen

Seksjon 2 av 19

Kvantorer og negasjon

Ordene «for alle» og «det finnes» bestemmer hva som må vises. Når en påstand negeres, bytter kvantoren type, og den matematiske egenskapen negeres samtidig.

Kjernepoeng: Negasjonen av «for alle» er «det finnes minst én som ikke», og omvendt. Oversette mellom tekst og kvantorerNegere en universell påstandKvantorenes rekkefølge betyr noe Modell 4 konstruktivt eksistensargument Seksjon 2

Oversette mellom tekst og kvantorer

Oppgave: Skriv setningen «Alle heltall har et heltall som er én større» med symboler, og vurder sannhetsverdien.

Bærende idé: Finn først hva som velges fritt, og hva som kan velges avhengig av det første tallet.

Fullstendig løsning

1. «Alle heltall» gir den ytre kvantoren ∀n∈ℤ.
2. For hvert n skal det finnes et heltall m. Det gir ∃m∈ℤ.
3. Egenskapen er m=n+1.
4. Velg konkret m=n+1. Siden n er heltall, er også n+1 heltall.

∀n∈ℤ ∃m∈ℤ: m=n+1

Påstanden skrives ∀n∈ℤ ∃m∈ℤ: m=n+1, og den er sann.

Vanlig feil: Å bytte kvantorenes rekkefølge og dermed kreve ett fast m som skal være én større enn alle heltall. Sensorblikk: Forklar hvilket vitne du velger for m, og at valget kan avhenge av n. Oversette mellom tekst og kvantorer. Hvert trinn må følge gyldig fra det forrige. Programmatisk eller symbolsk kontroll

result=all(isinstance(n+1,int) for n in range(-100,101)) print('kontrollert for 201 heltall')

Endelig testing støtter formuleringen. Det generelle argumentet er at heltall er lukket under addisjon.

Kontrollutskrift: kontrollert for 201 heltall

Seksjon 3 av 19

Implikasjon, nødvendig og tilstrekkelig betingelse

En implikasjon P→Q sier at Q må følge når P er oppfylt. Den sier ikke automatisk at P følger av Q. …