Ubestemte og bestemte integraler, integrasjonsteknikker, areal under kurver og volum av omdreiningslegemer.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
Integrasjon er derivasjon baklengs: å finne funksjonen når du kjenner vekstfarten. Det bestemte integralet gir dessuten arealet under en graf — et kraftig verktøy i fysikk og økonomi.
1 Det ubestemte integralet
Regel
\[\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)\]Konstanten \(C\) er med fordi den deriverte av en konstant er 0.
Eksempel 1
\(\int(3x^2-2x+1)\,dx=x^3-x^2+x+C\).
2 Det bestemte integralet og areal
\(\int_a^b f(x)\,dx\) er arealet mellom grafen og x-aksen fra \(a\) til \(b\). Regel
\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\]der \(F\) er en antiderivert av \(f\).
Eksempel 2
\(\int_0^2 2x\,dx=\big[x^2\big]_0^2=2^2-0=4\).
✍ Prøv selv
a) \(\int(4x^3)\,dx\)\quad b) \(\int_1^3 2x\,dx\).
Vis løsning
a) \(x^4+C\). b) \([x^2]_1^3=9-1=8\).
📌 Sammendrag
- \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\).
- \(\int_a^b f\,dx=F(b)-F(a)\) = arealet under grafen.
🧪 Test deg selv
- \(\int 3x^2\,dx\)? Svar \(x^3+C\).
- \(\int_0^3 2x\,dx\)? Svar 9.