Ubestemte og bestemte integraler, integrasjonsteknikker, areal under kurver og volum av omdreiningslegemer.
Integrasjon
Integrasjon er den inverse operasjonen av derivasjon. Vi skiller mellom det ubestemte integralet (antideriverte) og det bestemte integralet (areal under kurve).
3A Ubestemte integraler – grunnregler 3B Bestemte integraler og arealer 3C Substitusjon 3D Delvis integrasjon
3A · Ubestemte integraler – grunnregler
📌 Grunnintegraler
- \(\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)\)
- \(\int e^x\,dx = e^x + C\)
- \(\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)
- \(\int \cos x\,dx = \sin x + C\)
- \(\int \sin x\,dx = -\cos x + C\)
[answer: Hva er integralet av 3x^2 dx? Svar uten konstantledd. | x^3 | Bruk potensregelen: integral av x^n er x^(n+1)/(n+1). Integral av 3x^2 er 3·x^3/3 = x^3.]
3B · Bestemte integraler og arealer
Det bestemte integralet \(\int_a^b f(x)\,dx\) beregnes via analysens fundamentalsetning:
📌 Fundamentalsetningen
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
der \(F\) er en antiderivert av \(f\).
✅ Eksempel
Beregn \(\int_0^2 x^2\,dx\).
$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$ [answer: Beregn det bestemte integralet fra 0 til 1 av 2x dx. | 1 | F(x) = x^2. F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1]
3C · Substitusjon
Substitusjon er integrasjonens svar på kjerneregelen. Sett \(u = g(x)\), da er \(du = g'(x)\,dx\):
$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$
✅ Eksempel
Beregn \(\int 2x\cdot e^{x^2}\,dx\).
Sett \(u = x^2\), \(du = 2x\,dx\):
$\int e^u\,du = e^u + C = e^{x^2} + C$ [answer: Bruk substitusjon: integral av 3x^2 * e^(x^3) dx. Hva er svaret uten konstantledd? | e^(x^3) | Sett u = x^3, du = 3x^2 dx. Integral av e^u du = e^u = e^(x^3).]
3D · Delvis integrasjon
Delvis integrasjon er integrasjonens svar på produktregelen:
📌 Delvis integrasjon
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Velg \(u\) som lett lar seg derivere og \(dv\) som lett lar seg integrere.
🧩
Sjekk deg selv
[answer: Hva er integralet av e^x dx? Svar uten konstantledd. | e^x | Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.] [answer: Beregn det bestemte integralet fra 0 til pi av sin(x) dx. | 2 | F(x) = -cos(x). F(pi) - F(0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2]