Separable differensiallikninger, lineære førsteordens DL, modellering av vekst og henfall.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-08-03
En differensiallikning er en likning der den ukjente er en funksjon, og likningen forteller noe om funksjonens vekstfart \(y'\). De beskriver alt som utvikler seg over tid — befolkning, avkjøling, radioaktivt henfall.
1 Hva er en differensiallikning?
Mens en vanlig likning har en tallverdi som løsning, har en differensiallikning en funksjon som løsning. \(y'=2x\) har løsningen \(y=x^2+C\) (integrer).
Eksempel 1
Løs \(y'=6x^2\). Integrer: \(y=2x^3+C\).
2 Eksponentiell vekst: \(y'=ky\)
Regel
Når vekstfarten er proporsjonal med mengden selv, \(y'=ky\), er løsningen \[y=Ce^{kx}\]der \(C\) er startverdien og \(k\) er vekstraten.
Eksempel 2 — befolkning
En befolkning på 5000 vokser med \(y'=0{,}03y\). Løsning: \(y=5000\,e^{0{,}03x}\).
Etter 10 år: \(y=5000\,e^{0{,}3}\approx5000\cdot1{,}35=6750\). Merk
Positiv \(k\) gir vekst, negativ \(k\) gir henfall (f.eks. avkjøling eller radioaktivitet).
✍ Prøv selv
Løs \(y'=4y\) med \(y(0)=2\).
Vis løsning
\(y=2e^{4x}\).
📌 Sammendrag
- Differensiallikning: en likning i \(y\) og \(y'\), med en funksjon som løsning.
- Enkle typer løses ved integrasjon.
- \(y'=ky\) gir \(y=Ce^{kx}\) — eksponentiell vekst/henfall.
🧪 Test deg selv
- Løs \(y'=2x\). Svar \(y=x^2+C\).
- Løsning av \(y'=0{,}05y\)? Svar \(y=Ce^{0{,}05x}\).