Separable differensiallikninger, lineære førsteordens DL, modellering av vekst og henfall.
Differensiallikninger
En differensiallikning er en likning som inneholder en ukjent funksjon og dens deriverte. De beskriver endringsrater og brukes i fysikk, økonomi og biologi.
4A Begreper og klassifisering 4B Separable differensiallikninger 4C Lineær vekst og eksponensiell vekst 4D Modellering og initialverdibetingelser
4A · Begreper og klassifisering
En differensiallikning av første orden inneholder bare \(y' = \dfrac{dy}{dx}\) (ikke høyere deriverte).
Den generelle løsningen inneholder en integrasjonskonstant \(C\). En partikulær løsning bestemmes av en initialverdibetingelse som \(y(0) = y_0\).
4B · Separable differensiallikninger
En separabel DL kan skrives som \(\dfrac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)\). Vi separerer og integrerer begge sider:
$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$
✅ Eksempel
Løs \(\dfrac{dy}{dx} = 2xy\).
$\frac{dy}{y} = 2x\,dx \implies \ln|y| = x^2 + C \implies y = Ae^{x^2}$ [answer: Hva er den generelle løsningen av dy/dx = y? Svar på formen y = Ce^(ax). | y=Ce^x | Separerer: dy/y = dx. Integrerer: ln|y| = x + C. Løser: y = Ce^x.]
4C · Eksponensiell vekst og henfall
Differensiallikningen \(y' = ky\) beskriver eksponensiell vekst (\(k > 0\)) eller henfall (\(k < 0\)):
📌 Løsning
$y' = ky \implies y(t) = y_0 e^{kt}$
der \(y_0 = y(0)\) er startverdien.
[answer: En bakteriekultur vokser med 10% per time. Utgangsantallet er 1000. Hva er antallet etter 1 time (rund til nærmeste heltall)? | 1100 | 1105 | Med enkel 10% vekst: 1000·1.1 = 1100. Med eksponensiell vekst: 1000·e^0.1 ≈ 1105.]
4D · Modellering
Newtons avkjølingslov: \(\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{omg}})\). Løsningen er \(T(t) = T_{\text{omg}} + (T_0 - T_{\text{omg}})e^{-kt}\).
🧩
Sjekk deg selv
[answer: Hva er ordenen til differensiallikningen y'' + 3y' + 2y = 0? | 2 | Ordenen er bestemt av den høyeste deriverte. Her er det y'' (andre deriverte), så orden = 2.] [answer: Løs y' = 3y med y(0) = 2. Hva er y(0)? | 2 | Initialverdibetingelsen sier direkte at y(0) = 2.]