Integrasjon er den motsatte operasjonen av derivasjon. Å integrere betyr å finne en antiderivert, en funksjon som har den opprinnelige som sin deriverte. Brukes blant annet til areal under grafer.

Hva er forskjellen på et bestemt og et ubestemt integral?

Et ubestemt integral gir en generell antiderivert pluss konstanten C. Et bestemt integral har grenser og gir et tall, for eksempel arealet mellom to x-verdier.

Hvorfor må jeg legge til en integrasjonskonstant?

Fordi funksjoner som skiller seg med et konstantledd har samme deriverte. Pluss C tar med alle mulige antideriverte.

Hva er analysens fundamentalteorem?

Det knytter derivasjon og integrasjon sammen: et bestemt integral regnes ut som antiderivert F i øvre grense minus F i nedre grense.

Hvordan regner jeg ut arealet under en graf?

Arealet fra a til b er det bestemte integralet av funksjonen når grafen ligger over x-aksen. Ligger den under, blir integralet negativt og du tar absoluttverdien.

Hvordan finner jeg arealet mellom to grafer?

Integrer differansen mellom øvre og nedre funksjon over intervallet. Finn først skjæringspunktene, som gir grensene.

Hva er variabelskifte?

En teknikk der du bytter ut en kjerne med en ny variabel for å forenkle integralet. Motstykket til kjerneregelen; husk å bytte grensene ved bestemte integraler.

Hva er delvis integrasjon?

Brukes for produkter: integralet av u ganger v-derivert er u ganger v minus integralet av u-derivert ganger v. Velg u og v-derivert så det nye integralet blir enklere.

Når bruker jeg substitusjon versus delvis integrasjon?

Substitusjon når integranden har en funksjon og dens deriverte. Delvis integrasjon for produkter av ulike funksjonstyper, som x ganget med en eksponentialfunksjon.

Hva er delbrøkoppspalting?

Å skrive en rasjonal funksjon som en sum av enklere brøker, slik at du kan integrere ledd for ledd. Brukes når nevneren kan faktoriseres.

Hvordan regner jeg ut volumet av et omdreiningslegeme?

Roteres et område om x-aksen, er volumet integralet av pi ganger funksjonen i andre over intervallet. Metoden summerer tynne sirkelskiver.

Hvordan integrerer jeg eksponential- og logaritmefunksjoner?

Integralet av e opphøyd i x er e opphøyd i x pluss C. Integralet av 1 delt på x er ln av tallverdien til x pluss C. Vanlige standardintegraler i R2.

Hvordan bruker jeg CAS til integrasjon på eksamen?

I CAS integrerer du symbolsk og regner bestemte integraler, areal og volum eksakt. Tillatt på Del 2 når du forklarer oppsettet.

Hva er en vanlig feil ved arealoppgaver?

Å integrere rett over et intervall der grafen skifter fortegn. Del opp ved nullpunktene og bruk absoluttverdi, ellers opphever arealer hverandre.

Hva må jeg kunne om integrasjon til eksamen i R2?

Ubestemte og bestemte integraler, integrasjonsreglene, variabelskifte, delvis integrasjon, delbrøkoppspalting, samt areal og volum, både manuelt og med CAS.

Integrasjon R2 – oppgaver med løsning

Oppgave 1 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (5x^2+5x+1)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=5x^2+5x+1$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 5x^2\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 5x\,dx=\dfrac{5}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 1\,dx=1x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+1x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x² + 5 x + (1)

→

f(x)=5x^2+5x+1

2

Integral(f)

→

\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+1x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x**2 + 5*x + (1)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (5x^2+5x+1)\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+1x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 2 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^2 (1x+5)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^2 (1x+5)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+5x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(2)=\dfrac{1}{2}\cdot2^2+5\cdot2$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^2 (1x+5)\,dx=12$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x + 5

→

f(x)=1x+5

2

Integral(f, 0, 2)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 1*x + 5
print(integrate(f, (x, 0, 2)))

Fasit:

\int_0^2 (1x+5)\,dx=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (4x^2+3x)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=4x^2+3x$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 4x^2\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 3x\,dx=\dfrac{3}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 0\,dx=0$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x² + 3 x + (0)

→

f(x)=4x^2+3x

2

Integral(f)

→

\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x**2 + 3*x + (0)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (4x^2+3x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 4 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^6 (5x+2)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^6 (5x+2)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+2x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^6 f(x)\,dx=F(6)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(6)=\dfrac{5}{2}\cdot6^2+2\cdot6$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^6 (5x+2)\,dx=102$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x + 2

→

f(x)=5x+2

2

Integral(f, 0, 6)

→

102

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x + 2
print(integrate(f, (x, 0, 6)))

Fasit:

\int_0^6 (5x+2)\,dx=102

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 5 · MiddelsUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (3x^2+1x-1)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=3x^2+1x-1$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 3x^2\,dx=1x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 1x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -1\,dx=-1x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=1x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-1x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x² + 1 x + (-1)

→

f(x)=3x^2+1x-1

2

Integral(f)

→

1x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-1x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 3*x**2 + 1*x + (-1)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (3x^2+1x-1)\,dx=1x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-1x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 6 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^5 (4x+6)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^5 (4x+6)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{4}{2}x^2+6x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^5 f(x)\,dx=F(5)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(5)=\dfrac{4}{2}\cdot5^2+6\cdot5$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^5 (4x+6)\,dx=80$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x + 6

→

f(x)=4x+6

2

Integral(f, 0, 5)

→

80

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x + 6
print(integrate(f, (x, 0, 5)))

Fasit:

\int_0^5 (4x+6)\,dx=80

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (2x^2+5x-2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=2x^2+5x-2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 2x^2\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 5x\,dx=\dfrac{5}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -2\,dx=-2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + 5 x + (-2)

→

f(x)=2x^2+5x-2

2

Integral(f)

→

\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + 5*x + (-2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (2x^2+5x-2)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 8 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^4 (3x+3)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^4 (3x+3)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{3}{2}x^2+3x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^4 f(x)\,dx=F(4)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(4)=\dfrac{3}{2}\cdot4^2+3\cdot4$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^4 (3x+3)\,dx=36$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x + 3

→

f(x)=3x+3

2

Integral(f, 0, 4)

→

36

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 3*x + 3
print(integrate(f, (x, 0, 4)))

Fasit:

\int_0^4 (3x+3)\,dx=36

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 9 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (6x^2+3x+2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=6x^2+3x+2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 6x^2\,dx=2x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 3x\,dx=\dfrac{3}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 2\,dx=2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=2x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 6 x² + 3 x + (2)

→

f(x)=6x^2+3x+2

2

Integral(f)

→

2x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 6*x**2 + 3*x + (2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (6x^2+3x+2)\,dx=2x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 10 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^3 (2x+7)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^3 (2x+7)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+7x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(3)=\dfrac{2}{2}\cdot3^2+7\cdot3$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^3 (2x+7)\,dx=30$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x + 7

→

f(x)=2x+7

2

Integral(f, 0, 3)

→

30

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x + 7
print(integrate(f, (x, 0, 3)))

Fasit:

\int_0^3 (2x+7)\,dx=30

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 11 · MiddelsUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (5x^2+1x+1)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=5x^2+1x+1$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 5x^2\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 1x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 1\,dx=1x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+1x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x² + 1 x + (1)

→

f(x)=5x^2+1x+1

2

Integral(f)

→

\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+1x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x**2 + 1*x + (1)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (5x^2+1x+1)\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+1x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 12 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^2 (1x+4)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^2 (1x+4)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+4x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(2)=\dfrac{1}{2}\cdot2^2+4\cdot2$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^2 (1x+4)\,dx=10$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x + 4

→

f(x)=1x+4

2

Integral(f, 0, 2)

→

10

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 1*x + 4
print(integrate(f, (x, 0, 2)))

Fasit:

\int_0^2 (1x+4)\,dx=10

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 13 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (4x^2+5x)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=4x^2+5x$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 4x^2\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 5x\,dx=\dfrac{5}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 0\,dx=0$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x² + 5 x + (0)

→

f(x)=4x^2+5x

2

Integral(f)

→

\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x**2 + 5*x + (0)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (4x^2+5x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 14 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^6 (5x+8)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^6 (5x+8)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+8x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^6 f(x)\,dx=F(6)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(6)=\dfrac{5}{2}\cdot6^2+8\cdot6$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^6 (5x+8)\,dx=138$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x + 8

→

f(x)=5x+8

2

Integral(f, 0, 6)

→

138

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x + 8
print(integrate(f, (x, 0, 6)))

Fasit:

\int_0^6 (5x+8)\,dx=138

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 15 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (3x^2+3x-1)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=3x^2+3x-1$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 3x^2\,dx=1x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 3x\,dx=\dfrac{3}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -1\,dx=-1x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=1x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2-1x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x² + 3 x + (-1)

→

f(x)=3x^2+3x-1

2

Integral(f)

→

1x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2-1x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 3*x**2 + 3*x + (-1)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (3x^2+3x-1)\,dx=1x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2-1x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 16 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^5 (4x+5)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^5 (4x+5)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{4}{2}x^2+5x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^5 f(x)\,dx=F(5)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(5)=\dfrac{4}{2}\cdot5^2+5\cdot5$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^5 (4x+5)\,dx=75$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x + 5

→

f(x)=4x+5

2

Integral(f, 0, 5)

→

75

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x + 5
print(integrate(f, (x, 0, 5)))

Fasit:

\int_0^5 (4x+5)\,dx=75

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 17 · MiddelsUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (2x^2+1x-2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=2x^2+1x-2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 2x^2\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 1x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -2\,dx=-2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + 1 x + (-2)

→

f(x)=2x^2+1x-2

2

Integral(f)

→

\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + 1*x + (-2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (2x^2+1x-2)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 18 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^4 (3x+2)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^4 (3x+2)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{3}{2}x^2+2x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^4 f(x)\,dx=F(4)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(4)=\dfrac{3}{2}\cdot4^2+2\cdot4$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^4 (3x+2)\,dx=32$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x + 2

→

f(x)=3x+2

2

Integral(f, 0, 4)

→

32

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 3*x + 2
print(integrate(f, (x, 0, 4)))

Fasit:

\int_0^4 (3x+2)\,dx=32

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 19 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (6x^2+5x+2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=6x^2+5x+2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 6x^2\,dx=2x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 5x\,dx=\dfrac{5}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 2\,dx=2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=2x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 6 x² + 5 x + (2)

→

f(x)=6x^2+5x+2

2

Integral(f)

→

2x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 6*x**2 + 5*x + (2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (6x^2+5x+2)\,dx=2x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 20 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^3 (2x+6)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^3 (2x+6)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+6x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(3)=\dfrac{2}{2}\cdot3^2+6\cdot3$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^3 (2x+6)\,dx=27$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x + 6

→

f(x)=2x+6

2

Integral(f, 0, 3)

→

27

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x + 6
print(integrate(f, (x, 0, 3)))

Fasit:

\int_0^3 (2x+6)\,dx=27

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 21 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (5x^2+3x+1)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=5x^2+3x+1$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 5x^2\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 3x\,dx=\dfrac{3}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 1\,dx=1x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+1x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x² + 3 x + (1)

→

f(x)=5x^2+3x+1

2

Integral(f)

→

\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+1x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x**2 + 3*x + (1)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (5x^2+3x+1)\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+1x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 22 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^2 (1x+3)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^2 (1x+3)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+3x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(2)=\dfrac{1}{2}\cdot2^2+3\cdot2$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^2 (1x+3)\,dx=8$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x + 3

→

f(x)=1x+3

2

Integral(f, 0, 2)

→

8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 1*x + 3
print(integrate(f, (x, 0, 2)))

Fasit:

\int_0^2 (1x+3)\,dx=8

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 23 · MiddelsUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (4x^2+1x)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=4x^2+1x$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 4x^2\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 1x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 0\,dx=0$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x² + 1 x + (0)

→

f(x)=4x^2+1x

2

Integral(f)

→

\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x**2 + 1*x + (0)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (4x^2+1x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 24 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^6 (5x+7)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^6 (5x+7)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+7x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^6 f(x)\,dx=F(6)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(6)=\dfrac{5}{2}\cdot6^2+7\cdot6$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^6 (5x+7)\,dx=132$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x + 7

→

f(x)=5x+7

2

Integral(f, 0, 6)

→

132

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x + 7
print(integrate(f, (x, 0, 6)))

Fasit:

\int_0^6 (5x+7)\,dx=132

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (3x^2+5x-1)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=3x^2+5x-1$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 3x^2\,dx=1x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 5x\,dx=\dfrac{5}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -1\,dx=-1x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=1x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-1x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x² + 5 x + (-1)

→

f(x)=3x^2+5x-1

2

Integral(f)

→

1x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-1x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 3*x**2 + 5*x + (-1)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (3x^2+5x-1)\,dx=1x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-1x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 26 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^5 (4x+4)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^5 (4x+4)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{4}{2}x^2+4x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^5 f(x)\,dx=F(5)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(5)=\dfrac{4}{2}\cdot5^2+4\cdot5$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^5 (4x+4)\,dx=70$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x + 4

→

f(x)=4x+4

2

Integral(f, 0, 5)

→

70

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x + 4
print(integrate(f, (x, 0, 5)))

Fasit:

\int_0^5 (4x+4)\,dx=70

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (2x^2+3x-2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=2x^2+3x-2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 2x^2\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 3x\,dx=\dfrac{3}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -2\,dx=-2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2-2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + 3 x + (-2)

→

f(x)=2x^2+3x-2

2

Integral(f)

→

\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2-2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + 3*x + (-2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (2x^2+3x-2)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2-2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 28 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^4 (3x+8)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^4 (3x+8)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{3}{2}x^2+8x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^4 f(x)\,dx=F(4)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(4)=\dfrac{3}{2}\cdot4^2+8\cdot4$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^4 (3x+8)\,dx=56$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x + 8

→

f(x)=3x+8

2

Integral(f, 0, 4)

→

56

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 3*x + 8
print(integrate(f, (x, 0, 4)))

Fasit:

\int_0^4 (3x+8)\,dx=56

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29 · MiddelsUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (6x^2+1x+2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=6x^2+1x+2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 6x^2\,dx=2x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 1x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 2\,dx=2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=2x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 6 x² + 1 x + (2)

→

f(x)=6x^2+1x+2

2

Integral(f)

→

2x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 6*x**2 + 1*x + (2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (6x^2+1x+2)\,dx=2x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2+2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 30 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^3 (2x+5)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^3 (2x+5)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+5x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(3)=\dfrac{2}{2}\cdot3^2+5\cdot3$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^3 (2x+5)\,dx=24$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x + 5

→

f(x)=2x+5

2

Integral(f, 0, 3)

→

24

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x + 5
print(integrate(f, (x, 0, 3)))

Fasit:

\int_0^3 (2x+5)\,dx=24

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (5x^2+5x+1)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=5x^2+5x+1$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 5x^2\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 5x\,dx=\dfrac{5}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 1\,dx=1x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+1x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x² + 5 x + (1)

→

f(x)=5x^2+5x+1

2

Integral(f)

→

\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+1x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x**2 + 5*x + (1)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (5x^2+5x+1)\,dx=\dfrac{5}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2+1x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 32 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^2 (1x+2)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^2 (1x+2)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+2x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(2)=\dfrac{1}{2}\cdot2^2+2\cdot2$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^2 (1x+2)\,dx=6$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x + 2

→

f(x)=1x+2

2

Integral(f, 0, 2)

→

6

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 1*x + 2
print(integrate(f, (x, 0, 2)))

Fasit:

\int_0^2 (1x+2)\,dx=6

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (4x^2+3x)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=4x^2+3x$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 4x^2\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 3x\,dx=\dfrac{3}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 0\,dx=0$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x² + 3 x + (0)

→

f(x)=4x^2+3x

2

Integral(f)

→

\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x**2 + 3*x + (0)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (4x^2+3x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^2+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 34 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^6 (5x+6)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^6 (5x+6)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+6x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^6 f(x)\,dx=F(6)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(6)=\dfrac{5}{2}\cdot6^2+6\cdot6$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^6 (5x+6)\,dx=126$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x + 6

→

f(x)=5x+6

2

Integral(f, 0, 6)

→

126

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x + 6
print(integrate(f, (x, 0, 6)))

Fasit:

\int_0^6 (5x+6)\,dx=126

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35 · MiddelsUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (3x^2+1x-1)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=3x^2+1x-1$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 3x^2\,dx=1x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 1x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -1\,dx=-1x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=1x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-1x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x² + 1 x + (-1)

→

f(x)=3x^2+1x-1

2

Integral(f)

→

1x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-1x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 3*x**2 + 1*x + (-1)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (3x^2+1x-1)\,dx=1x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-1x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 36 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^5 (4x+3)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^5 (4x+3)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{4}{2}x^2+3x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^5 f(x)\,dx=F(5)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(5)=\dfrac{4}{2}\cdot5^2+3\cdot5$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^5 (4x+3)\,dx=65$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x + 3

→

f(x)=4x+3

2

Integral(f, 0, 5)

→

65

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x + 3
print(integrate(f, (x, 0, 5)))

Fasit:

\int_0^5 (4x+3)\,dx=65

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 37 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (2x^2+5x-2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=2x^2+5x-2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 2x^2\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 5x\,dx=\dfrac{5}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -2\,dx=-2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x² + 5 x + (-2)

→

f(x)=2x^2+5x-2

2

Integral(f)

→

\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x**2 + 5*x + (-2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (2x^2+5x-2)\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{5}{2}x^2-2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 38 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+1)^4\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+1$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+1)^4\,dx=\int u^4\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^4\,du=\dfrac{u^{5}}{5}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{5}}{5}+C=\dfrac{(x^2+1)^{5}}{5}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+1)^{5}}{5} \right)=2x(x^2+1)^4$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 1)⁴

→

f(x)=2x(x^2+1)^4

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+1)^{5}}{5}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 1)**4
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+1)^4\,dx=\dfrac{(x^2+1)^{5}}{5}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 39 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 4xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=4x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=4,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 4xe^x\,dx=4xe^x-\int 4e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 4e^x\,dx=4e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x exp(x)

→

f(x)=4xe^x

2

Integral(f)

→

4e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 4*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 40 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+5)^2\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+5$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+5)^2\,dx=\int u^2\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^2\,du=\dfrac{u^{3}}{3}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{3}}{3}+C=\dfrac{(x^2+5)^{3}}{3}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+5)^{3}}{3} \right)=2x(x^2+5)^2$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 5)²

→

f(x)=2x(x^2+5)^2

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+5)^{3}}{3}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 5)**2
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+5)^2\,dx=\dfrac{(x^2+5)^{3}}{3}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 41 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 4xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=4x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=4,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 4xe^x\,dx=4xe^x-\int 4e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 4e^x\,dx=4e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x exp(x)

→

f(x)=4xe^x

2

Integral(f)

→

4e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 4*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 42 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+4)^3\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+4$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+4)^3\,dx=\int u^3\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^3\,du=\dfrac{u^{4}}{4}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{4}}{4}+C=\dfrac{(x^2+4)^{4}}{4}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+4)^{4}}{4} \right)=2x(x^2+4)^3$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 4)³

→

f(x)=2x(x^2+4)^3

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+4)^{4}}{4}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 4)**3
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+4)^3\,dx=\dfrac{(x^2+4)^{4}}{4}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 43 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 4xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=4x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=4,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 4xe^x\,dx=4xe^x-\int 4e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 4e^x\,dx=4e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x exp(x)

→

f(x)=4xe^x

2

Integral(f)

→

4e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 4*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 44 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+3)^4\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+3$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+3)^4\,dx=\int u^4\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^4\,du=\dfrac{u^{5}}{5}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{5}}{5}+C=\dfrac{(x^2+3)^{5}}{5}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+3)^{5}}{5} \right)=2x(x^2+3)^4$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 3)⁴

→

f(x)=2x(x^2+3)^4

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+3)^{5}}{5}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 3)**4
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+3)^4\,dx=\dfrac{(x^2+3)^{5}}{5}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 45 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 4xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=4x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=4,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 4xe^x\,dx=4xe^x-\int 4e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 4e^x\,dx=4e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x exp(x)

→

f(x)=4xe^x

2

Integral(f)

→

4e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 4*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 46 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+2)^2\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+2$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+2)^2\,dx=\int u^2\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^2\,du=\dfrac{u^{3}}{3}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{3}}{3}+C=\dfrac{(x^2+2)^{3}}{3}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+2)^{3}}{3} \right)=2x(x^2+2)^2$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 2)²

→

f(x)=2x(x^2+2)^2

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+2)^{3}}{3}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 2)**2
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+2)^2\,dx=\dfrac{(x^2+2)^{3}}{3}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 47 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 4xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=4x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=4,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 4xe^x\,dx=4xe^x-\int 4e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 4e^x\,dx=4e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x exp(x)

→

f(x)=4xe^x

2

Integral(f)

→

4e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 4*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 48 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+1$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\int u^3\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^3\,du=\dfrac{u^{4}}{4}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{4}}{4}+C=\dfrac{(x^2+1)^{4}}{4}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+1)^{4}}{4} \right)=2x(x^2+1)^3$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 1)³

→

f(x)=2x(x^2+1)^3

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+1)^{4}}{4}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 1)**3
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\dfrac{(x^2+1)^{4}}{4}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 49 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 4xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=4x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=4,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 4xe^x\,dx=4xe^x-\int 4e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 4e^x\,dx=4e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x exp(x)

→

f(x)=4xe^x

2

Integral(f)

→

4e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 4*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 50 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+5)^4\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+5$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+5)^4\,dx=\int u^4\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^4\,du=\dfrac{u^{5}}{5}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{5}}{5}+C=\dfrac{(x^2+5)^{5}}{5}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+5)^{5}}{5} \right)=2x(x^2+5)^4$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 5)⁴

→

f(x)=2x(x^2+5)^4

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+5)^{5}}{5}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 5)**4
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+5)^4\,dx=\dfrac{(x^2+5)^{5}}{5}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 51 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 4xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=4x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=4,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 4xe^x\,dx=4xe^x-\int 4e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 4e^x\,dx=4e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x exp(x)

→

f(x)=4xe^x

2

Integral(f)

→

4e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 4*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 4xe^x\,dx=4e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 52 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+4)^2\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+4$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+4)^2\,dx=\int u^2\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^2\,du=\dfrac{u^{3}}{3}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{3}}{3}+C=\dfrac{(x^2+4)^{3}}{3}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+4)^{3}}{3} \right)=2x(x^2+4)^2$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 4)²

→

f(x)=2x(x^2+4)^2

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+4)^{3}}{3}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 4)**2
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+4)^2\,dx=\dfrac{(x^2+4)^{3}}{3}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 53 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^2 (1x+6)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^2 (1x+6)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+6x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(2)=\dfrac{1}{2}\cdot2^2+6\cdot2$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^2 (1x+6)\,dx=14$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x + 6

→

f(x)=1x+6

2

Integral(f, 0, 2)

→

14

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 1*x + 6
print(integrate(f, (x, 0, 2)))

Fasit:

\int_0^2 (1x+6)\,dx=14

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 54 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 55 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^6 (5x+3)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^6 (5x+3)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+3x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^6 f(x)\,dx=F(6)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(6)=\dfrac{5}{2}\cdot6^2+3\cdot6$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^6 (5x+3)\,dx=108$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x + 3

→

f(x)=5x+3

2

Integral(f, 0, 6)

→

108

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x + 3
print(integrate(f, (x, 0, 6)))

Fasit:

\int_0^6 (5x+3)\,dx=108

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 56 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 57 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^5 (4x+7)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^5 (4x+7)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{4}{2}x^2+7x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^5 f(x)\,dx=F(5)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(5)=\dfrac{4}{2}\cdot5^2+7\cdot5$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^5 (4x+7)\,dx=85$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x + 7

→

f(x)=4x+7

2

Integral(f, 0, 5)

→

85

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x + 7
print(integrate(f, (x, 0, 5)))

Fasit:

\int_0^5 (4x+7)\,dx=85

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 58 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 59 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^4 (3x+4)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^4 (3x+4)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{3}{2}x^2+4x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^4 f(x)\,dx=F(4)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(4)=\dfrac{3}{2}\cdot4^2+4\cdot4$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^4 (3x+4)\,dx=40$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 3 x + 4

→

f(x)=3x+4

2

Integral(f, 0, 4)

→

40

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 3*x + 4
print(integrate(f, (x, 0, 4)))

Fasit:

\int_0^4 (3x+4)\,dx=40

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 60 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 61 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^3 (2x+8)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^3 (2x+8)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{2}{2}x^2+8x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(3)=\dfrac{2}{2}\cdot3^2+8\cdot3$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^3 (2x+8)\,dx=33$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x + 8

→

f(x)=2x+8

2

Integral(f, 0, 3)

→

33

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x + 8
print(integrate(f, (x, 0, 3)))

Fasit:

\int_0^3 (2x+8)\,dx=33

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 62 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 63 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^2 (1x+5)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^2 (1x+5)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+5x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(2)=\dfrac{1}{2}\cdot2^2+5\cdot2$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^2 (1x+5)\,dx=12$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x + 5

→

f(x)=1x+5

2

Integral(f, 0, 2)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 1*x + 5
print(integrate(f, (x, 0, 2)))

Fasit:

\int_0^2 (1x+5)\,dx=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 64 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 65 · LettBestemt integrasjon

Bestemt integral og areal

Oppgave:

Regn ut $\int_0^6 (5x+2)\,dx$ og tolk som areal.

Areal under lineær funksjon

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Bestemt integral

$\int_0^6 (5x+2)\,dx$

Grensene gjør at svaret blir ett tall.

Steg 2 — Finn antiderivert

$F(x)=\dfrac{5}{2}x^2+2x$

Vi integrerer før vi setter inn grensene.

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

$\int_0^6 f(x)\,dx=F(6)-F(0)$

Bestemt integral er differansen mellom antiderivertverdiene.

Steg 4 — Sett inn øvre grense

$F(6)=\dfrac{5}{2}\cdot6^2+2\cdot6$

Dette gir arealbidraget fram til øvre grense.

Vanlig feil: Ikke ta med pluss C i sluttverdien av et bestemt integral.

Steg 5 — Sett inn nedre grense

$F(0)=0$

Nedre grense gir null her.

Steg 6 — Regn ferdig

$\int_0^6 (5x+2)\,dx=102$

Integralverdien er positiv fordi grafen ligger over x-aksen.

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen når funksjonen er positiv.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 5 x + 2

→

f(x)=5x+2

2

Integral(f, 0, 6)

→

102

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 5*x + 2
print(integrate(f, (x, 0, 6)))

Fasit:

\int_0^6 (5x+2)\,dx=102

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Hovedsetningen: integral fra a til b er F(b) minus F(a).

Vanlige feil

Å glemme nedre grense.

Dette ser sensor etter

Riktig antiderivert og innsetting.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 66 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 67 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (6x^4+5x+2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=6x^4+5x+2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 6x^4\,dx=\dfrac{6}{5}x^{5}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 5x\,dx=\dfrac{5}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 2\,dx=2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{6}{5}x^{5}+\dfrac{5}{2}x^2+2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 6 x⁴ + 5 x + (2)

→

f(x)=6x^4+5x+2

2

Integral(f)

→

\dfrac{6}{5}x^{5}+\dfrac{5}{2}x^2+2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 6*x**4 + 5*x + (2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (6x^4+5x+2)\,dx=\dfrac{6}{5}x^{5}+\dfrac{5}{2}x^2+2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 68 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+2)^2\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+2$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+2)^2\,dx=\int u^2\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^2\,du=\dfrac{u^{3}}{3}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{3}}{3}+C=\dfrac{(x^2+2)^{3}}{3}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+2)^{3}}{3} \right)=2x(x^2+2)^2$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 2)²

→

f(x)=2x(x^2+2)^2

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+2)^{3}}{3}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 2)**2
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+2)^2\,dx=\dfrac{(x^2+2)^{3}}{3}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 69 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 70 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 1xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=1x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=1,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 1xe^x\,dx=1xe^x-\int 1e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 1e^x\,dx=1e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 1xe^x\,dx=1e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x exp(x)

→

f(x)=1xe^x

2

Integral(f)

→

1e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 1*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 1xe^x\,dx=1e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 71 · MiddelsUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (4x^4+1x)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=4x^4+1x$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 4x^4\,dx=\dfrac{4}{5}x^{5}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 1x\,dx=\dfrac{1}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int 0\,dx=0$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{4}{5}x^{5}+\dfrac{1}{2}x^2+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4 x⁴ + 1 x + (0)

→

f(x)=4x^4+1x

2

Integral(f)

→

\dfrac{4}{5}x^{5}+\dfrac{1}{2}x^2+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 4*x**4 + 1*x + (0)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (4x^4+1x)\,dx=\dfrac{4}{5}x^{5}+\dfrac{1}{2}x^2+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 72 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+5)^4\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+5$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+5)^4\,dx=\int u^4\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^4\,du=\dfrac{u^{5}}{5}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{5}}{5}+C=\dfrac{(x^2+5)^{5}}{5}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+5)^{5}}{5} \right)=2x(x^2+5)^4$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 5)⁴

→

f(x)=2x(x^2+5)^4

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+5)^{5}}{5}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 5)**4
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+5)^4\,dx=\dfrac{(x^2+5)^{5}}{5}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 73 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 74 · KrevendeDelvis integrasjon

Delvis integrasjon med eksponentialfunksjon

Oppgave:

Finn $\int 1xe^x\,dx$ ved delvis integrasjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg u og v-prime

$u=1x,\quad v\prime=e^x$

Polynomet blir enklere når det deriveres.

Steg 2 — Finn u-prime og v

$u\prime=1,\quad v=e^x$

Eksponentialfunksjonen er sin egen antideriverte.

Steg 3 — Bruk formelen

$\int uv\prime\,dx=uv-\int u\prime v\,dx$

Dette er delvis integrasjon.

Steg 4 — Sett inn

$\int 1xe^x\,dx=1xe^x-\int 1e^x\,dx$

Integral nummer to er enklere.

Vanlig feil: Fortegnet foran det siste integralet er minus.

Steg 5 — Integrer resten

$\int 1e^x\,dx=1e^x$

Vi får samme eksponentialfunksjon tilbake.

Steg 6 — Skriv svaret

$\int 1xe^x\,dx=1e^x(x-1)+C$

Faktorisert form er mest kompakt.

Tolkning

Metoden reduserer produktet fordi x-leddet blir enklere ved derivasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 1 x exp(x)

→

f(x)=1xe^x

2

Integral(f)

→

1e^x(x-1)+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, factor
x = symbols('x')
f = 1*x*exp(x)
print(factor(integrate(f, x)))

Fasit:

\int 1xe^x\,dx=1e^x(x-1)+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Delvis integrasjon kommer fra produktregelen.

Vanlige feil

Feil valg av u kan gjøre integralet vanskeligere.

Dette ser sensor etter

Riktig formel og fortegn.

For høy måloppnåelse

Begrunn valget av u.

Oppgave 75 · LettUbestemt integrasjon

Potensregelen for integrasjon

Oppgave:

Finn det ubestemte integralet $\int (2x^4+3x-2)\,dx$ .

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Skriv integranden

$f(x)=2x^4+3x-2$

Vi integrerer ledd for ledd.

Steg 2 — Bruk potensregelen

$\int x^m\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$

Eksponenten økes med 1 og vi deler på ny eksponent.

Steg 3 — Integrer første ledd

$\int 2x^4\,dx=\dfrac{2}{5}x^{5}$

Koeffisienten blir med.

Steg 4 — Integrer andre ledd

$\int 3x\,dx=\dfrac{3}{2}x^2$

x har eksponent 1.

Vanlig feil: Ikke glem pluss C.

Steg 5 — Integrer konstant

$\int -2\,dx=-2x$

Et konstantledd blir lineært.

Steg 6 — Legg til C

$\int f(x)\,dx=\dfrac{2}{5}x^{5}+\dfrac{3}{2}x^2-2x+C$

Ubestemte integraler må ha konstanten C.

Tolkning

Svaret er en familie av antideriverte funksjoner.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x⁴ + 3 x + (-2)

→

f(x)=2x^4+3x-2

2

Integral(f)

→

\dfrac{2}{5}x^{5}+\dfrac{3}{2}x^2-2x+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x**4 + 3*x + (-2)
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int (2x^4+3x-2)\,dx=\dfrac{2}{5}x^{5}+\dfrac{3}{2}x^2-2x+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Potensregelen for integral øker eksponenten med 1.

Vanlige feil

Å derivere i stedet for å integrere.

Dette ser sensor etter

Riktig integral ledd for ledd.

For høy måloppnåelse

Kontroller ved å derivere svaret.

Oppgave 76 · MiddelsSubstitusjon

Substitusjon i integral

Oppgave:

Finn $\int 2x(x^2+3)^3\,dx$ ved substitusjon.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Velg substitusjon

$u=x^2+3$

Den indre funksjonen står inni potensen.

Steg 2 — Deriver u

$\dfrac{du}{dx}=2x$

Dette passer med faktoren utenfor.

Steg 3 — Bytt variabel

$\int 2x(x^2+3)^3\,dx=\int u^3\,du$

Integraluttrykket blir enklere.

Steg 4 — Integrer i u

$\int u^3\,du=\dfrac{u^{4}}{4}+C$

Nå bruker vi potensregelen.

Vanlig feil: Ikke velg u lik x. Velg hele indre uttrykk.

Steg 5 — Sett tilbake

$\dfrac{u^{4}}{4}+C=\dfrac{(x^2+3)^{4}}{4}+C$

Svaret må skrives med x.

Steg 6 — Kontroller

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{(x^2+3)^{4}}{4} \right)=2x(x^2+3)^3$

Derivasjon av svaret gir integranden.

Tolkning

Substitusjon er motsatt av kjerneregelen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 2 x (x² + 3)³

→

f(x)=2x(x^2+3)^3

2

Integral(f)

→

\dfrac{(x^2+3)^{4}}{4}+C

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = 2*x*(x**2 + 3)**3
print(integrate(f, x))

Fasit:

\int 2x(x^2+3)^3\,dx=\dfrac{(x^2+3)^{4}}{4}+C

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Velg u som indre funksjon når den deriverte også finnes i integranden.

Vanlige feil

Å glemme å bytte dx til du.

Dette ser sensor etter

Tydelig substitusjon og tilbakebytte.

For høy måloppnåelse

Forklar koblingen til kjerneregelen.

Oppgave 77 · MiddelsAreal mellom grafer

Areal med integrasjon

Oppgave:

Finn arealet mellom $y=4$ og $y=x^2$ på intervallet $[-1,1]$ .

Areal mellom linje og parabel

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$4\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (4-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (4-x^2)\,dx=4x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Vanlig feil: Tar du nederst minus øverst, får du negativt tall.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{22}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{22}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x) := 4

→

f(x)=4

2

g(x) := x²

→

g(x)=x^2

3

Integral(f-g, -1, 1)

→

\dfrac{22}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(4 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Fasit:

A=\dfrac{22}{3}

kvadratenheter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Areal mellom grafer er integralet av øverste minus nederste.

Vanlige feil

Å ikke sjekke hvilken graf som ligger øverst.

Dette ser sensor etter

Riktig integrand før utregning.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor integralet representerer areal.

📊 Utforsk i GeoGebra

Integrasjon

Bestemte og ubestemte integraler 37 oppgaver

Potensregelen for integrasjon

Steg 1 — Skriv integranden

Steg 2 — Bruk potensregelen

Steg 3 — Integrer første ledd

Steg 4 — Integrer andre ledd

Steg 5 — Integrer konstant

Steg 6 — Legg til C

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Bestemt integral og areal

Steg 1 — Bestemt integral

Steg 2 — Finn antiderivert

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

Steg 4 — Sett inn øvre grense

Steg 5 — Sett inn nedre grense

Steg 6 — Regn ferdig

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Potensregelen for integrasjon

Steg 1 — Skriv integranden

Steg 2 — Bruk potensregelen

Steg 3 — Integrer første ledd

Steg 4 — Integrer andre ledd

Steg 5 — Integrer konstant

Steg 6 — Legg til C

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Bestemt integral og areal

Steg 1 — Bestemt integral

Steg 2 — Finn antiderivert

Steg 3 — Bruk hovedsetningen

Steg 4 — Sett inn øvre grense

Steg 5 — Sett inn nedre grense

Steg 6 — Regn ferdig

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Potensregelen for integrasjon

Steg 1 — Skriv integranden

Steg 2 — Bruk potensregelen

Steg 3 — Integrer første ledd

Steg 4 — Integrer andre ledd

Steg 5 — Integrer konstant

Steg 6 — Legg til C

Tolkning

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

Python-kontroll

Regel / huskeregel

Vanlige feil

Dette ser sensor etter

For høy måloppnåelse

Bestemt integral og areal

Steg 1 — Bestemt integral

Steg 2 — Finn antiderivert