Funksjonsanalyse og modellering – oppgaver med trinnvis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Deriver

$f\prime(x)=3x^2-12x+9$

Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null.

Steg 2 — Faktoriser

$3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

Faktorisering gjør nullpunktene tydelige.

Steg 3 — Løs

$3(x-1)(x-3)=0$

Et produkt er null når en faktor er null.

Steg 4 — Finn x-verdier

$x=1\quad \text{eller}\quad x=3$

Dette er kandidatene.

Steg 5 — Andrederivert

$f\prime\prime(x)=6x-12$

Andrederiverttesten klassifiserer punktene.

Steg 6 — Klassifiser

f\prime\prime(1)<0,\quad f\prime\prime(3)>0

Negativ betyr topp, positiv betyr bunn.

Steg 7 — Finn y-verdier

$f(1)=5,\quad f(3)=1$

Punktene må ha både x- og y-verdi.

Tolkning

Grafen har lokalt toppunkt ved x lik 1 og lokalt bunnpunkt ved x lik 3.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 1
print(solve(diff(f, x), x))
print(f.subs(x, 1), f.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn punktet

$f(3)=3^2+2\cdot3+3=18$

Tangenten går gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver

$f\prime(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstall

$f\prime(3)=2\cdot3+2=8$

Dette er tangentens stigning.

Steg 4 — Bruk ettpunktsform

$y-18=8(x-3)$

Linjen bestemmes av punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs ut y

$y=8x-6$

Vi skriver tangentlikningen på standard form.

Steg 6 — Kontroller

$18=8\cdot3-6$

Punktet ligger på linjen.

Tolkning

Tangenten er den linjen som følger grafen best akkurat i punktet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x + 3
a = 3
slope = diff(f, x).subs(x, a)
y0 = f.subs(x, a)
print(expand(slope*(x-a) + y0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Deriver

$f\prime(x)=3x^2-12x+9$

Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null.

Steg 2 — Faktoriser

$3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

Faktorisering gjør nullpunktene tydelige.

Steg 3 — Løs

$3(x-1)(x-3)=0$

Et produkt er null når en faktor er null.

Steg 4 — Finn x-verdier

$x=1\quad \text{eller}\quad x=3$

Dette er kandidatene.

Steg 5 — Andrederivert

$f\prime\prime(x)=6x-12$

Andrederiverttesten klassifiserer punktene.

Steg 6 — Klassifiser

f\prime\prime(1)<0,\quad f\prime\prime(3)>0

Negativ betyr topp, positiv betyr bunn.

Steg 7 — Finn y-verdier

$f(1)=6,\quad f(3)=2$

Punktene må ha både x- og y-verdi.

Tolkning

Grafen har lokalt toppunkt ved x lik 1 og lokalt bunnpunkt ved x lik 3.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 2
print(solve(diff(f, x), x))
print(f.subs(x, 1), f.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn punktet

$f(1)=1^2+2\cdot1+3=6$

Tangenten går gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver

$f\prime(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstall

$f\prime(1)=2\cdot1+2=4$

Dette er tangentens stigning.

Steg 4 — Bruk ettpunktsform

$y-6=4(x-1)$

Linjen bestemmes av punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs ut y

$y=4x+2$

Vi skriver tangentlikningen på standard form.

Steg 6 — Kontroller

$6=4\cdot1+2$

Punktet ligger på linjen.

Tolkning

Tangenten er den linjen som følger grafen best akkurat i punktet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x + 3
a = 1
slope = diff(f, x).subs(x, a)
y0 = f.subs(x, a)
print(expand(slope*(x-a) + y0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Deriver

$f\prime(x)=3x^2-12x+9$

Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null.

Steg 2 — Faktoriser

$3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

Faktorisering gjør nullpunktene tydelige.

Steg 3 — Løs

$3(x-1)(x-3)=0$

Et produkt er null når en faktor er null.

Steg 4 — Finn x-verdier

$x=1\quad \text{eller}\quad x=3$

Dette er kandidatene.

Steg 5 — Andrederivert

$f\prime\prime(x)=6x-12$

Andrederiverttesten klassifiserer punktene.

Steg 6 — Klassifiser

f\prime\prime(1)<0,\quad f\prime\prime(3)>0

Negativ betyr topp, positiv betyr bunn.

Steg 7 — Finn y-verdier

$f(1)=7,\quad f(3)=3$

Punktene må ha både x- og y-verdi.

Tolkning

Grafen har lokalt toppunkt ved x lik 1 og lokalt bunnpunkt ved x lik 3.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 3
print(solve(diff(f, x), x))
print(f.subs(x, 1), f.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn punktet

$f(2)=2^2+2\cdot2+3=11$

Tangenten går gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver

$f\prime(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstall

$f\prime(2)=2\cdot2+2=6$

Dette er tangentens stigning.

Steg 4 — Bruk ettpunktsform

$y-11=6(x-2)$

Linjen bestemmes av punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs ut y

$y=6x-1$

Vi skriver tangentlikningen på standard form.

Steg 6 — Kontroller

$11=6\cdot2-1$

Punktet ligger på linjen.

Tolkning

Tangenten er den linjen som følger grafen best akkurat i punktet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x + 3
a = 2
slope = diff(f, x).subs(x, a)
y0 = f.subs(x, a)
print(expand(slope*(x-a) + y0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Deriver

$f\prime(x)=3x^2-12x+9$

Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null.

Steg 2 — Faktoriser

$3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

Faktorisering gjør nullpunktene tydelige.

Steg 3 — Løs

$3(x-1)(x-3)=0$

Et produkt er null når en faktor er null.

Steg 4 — Finn x-verdier

$x=1\quad \text{eller}\quad x=3$

Dette er kandidatene.

Steg 5 — Andrederivert

$f\prime\prime(x)=6x-12$

Andrederiverttesten klassifiserer punktene.

Steg 6 — Klassifiser

f\prime\prime(1)<0,\quad f\prime\prime(3)>0

Negativ betyr topp, positiv betyr bunn.

Steg 7 — Finn y-verdier

$f(1)=5,\quad f(3)=1$

Punktene må ha både x- og y-verdi.

Tolkning

Grafen har lokalt toppunkt ved x lik 1 og lokalt bunnpunkt ved x lik 3.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 1
print(solve(diff(f, x), x))
print(f.subs(x, 1), f.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn punktet

$f(3)=3^2+2\cdot3+3=18$

Tangenten går gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver

$f\prime(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstall

$f\prime(3)=2\cdot3+2=8$

Dette er tangentens stigning.

Steg 4 — Bruk ettpunktsform

$y-18=8(x-3)$

Linjen bestemmes av punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs ut y

$y=8x-6$

Vi skriver tangentlikningen på standard form.

Steg 6 — Kontroller

$18=8\cdot3-6$

Punktet ligger på linjen.

Tolkning

Tangenten er den linjen som følger grafen best akkurat i punktet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x + 3
a = 3
slope = diff(f, x).subs(x, a)
y0 = f.subs(x, a)
print(expand(slope*(x-a) + y0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|3|=3$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=1$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=3,\quad y=1,\quad T=\dfrac{2\pi}{3}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import pi
A = 3
B = 3
D = 1
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=2x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=2$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=10\cos(2x)$

Tallet foran sinus blir med.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}1=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=10\cos(2x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 5*sin(2*x) + 1
print(diff(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|3|=3$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=0$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=3,\quad y=0,\quad T=2\pi$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import pi
A = 3
B = 1
D = 0
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=3x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=3$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=15\cos(3x)$

Tallet foran sinus blir med.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}2=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=15\cos(3x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 5*sin(3*x) + 2
print(diff(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|3|=3$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=-1$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{2\pi}{2}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=3,\quad y=-1,\quad T=\dfrac{2\pi}{2}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import pi
A = 3
B = 2
D = -1
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=1x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=1$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(1x)=1\cos(1x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=5\cos(1x)$

Tallet foran sinus blir med.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}0=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=5\cos(1x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 5*sin(1*x) + 0
print(diff(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Sammenlign med standardform

$f(x)=A\sin(Bx)+D$

Vi leser av tallene foran og inni sinusuttrykket.

Steg 2 — Finn amplitude

$|A|=|3|=3$

Amplitude er avstand fra midtlinje til topp.

Steg 3 — Finn midtlinje

$y=-2$

Konstantleddet flytter grafen opp eller ned.

Steg 4 — Finn periodeformel

$T=\dfrac{2\pi}{|B|}$

Faktoren inni sinus styrer hvor raskt grafen gjentar seg.

Steg 5 — Sett inn

$T=\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$

Dette er lengden på én svingning.

Steg 6 — Oppsummer

$\text{amplitude}=3,\quad y=-2,\quad T=\dfrac{2\pi}{3}$

Nå har vi de viktigste grafiske egenskapene.

Tolkning

Amplitude viser svingestørrelse, midtlinje viser normalnivå og periode viser når mønsteret gjentar seg.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import pi
A = 3
B = 3
D = -2
print(abs(A), D, 2*pi/abs(B))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn kjernen

$u=2x$

Sinus har en indre funksjon.

Steg 2 — Deriver kjernen

$u\prime=2$

Kjerneregelen krever den deriverte av indre funksjon.

Steg 3 — Deriver sinus

$\dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x)$

Derivert av sinus er cosinus, ganget med kjernen.

Steg 4 — Ta med koeffisient

$f\prime(x)=10\cos(2x)$

Tallet foran sinus blir med.

Steg 5 — Konstanten forsvinner

$\dfrac{d}{dx}1=0$

Konstantleddet påvirker høyde, ikke stigning.

Steg 6 — Skriv resultatet

$f\prime(x)=10\cos(2x)$

Dette er stigningstallet som funksjon av x.

Tolkning

Den deriverte forteller hvor raskt modellen stiger eller synker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, sin, diff
x = symbols('x')
f = 5*sin(2*x) + 1
print(diff(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Deriver

$f\prime(x)=3x^2-12x+9$

Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null.

Steg 2 — Faktoriser

$3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

Faktorisering gjør nullpunktene tydelige.

Steg 3 — Løs

$3(x-1)(x-3)=0$

Et produkt er null når en faktor er null.

Steg 4 — Finn x-verdier

$x=1\quad \text{eller}\quad x=3$

Dette er kandidatene.

Steg 5 — Andrederivert

$f\prime\prime(x)=6x-12$

Andrederiverttesten klassifiserer punktene.

Steg 6 — Klassifiser

f\prime\prime(1)<0,\quad f\prime\prime(3)>0

Negativ betyr topp, positiv betyr bunn.

Steg 7 — Finn y-verdier

$f(1)=6,\quad f(3)=2$

Punktene må ha både x- og y-verdi.

Tolkning

Grafen har lokalt toppunkt ved x lik 1 og lokalt bunnpunkt ved x lik 3.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 2
print(solve(diff(f, x), x))
print(f.subs(x, 1), f.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn punktet

$f(1)=1^2+2\cdot1+3=6$

Tangenten går gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver

$f\prime(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstall

$f\prime(1)=2\cdot1+2=4$

Dette er tangentens stigning.

Steg 4 — Bruk ettpunktsform

$y-6=4(x-1)$

Linjen bestemmes av punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs ut y

$y=4x+2$

Vi skriver tangentlikningen på standard form.

Steg 6 — Kontroller

$6=4\cdot1+2$

Punktet ligger på linjen.

Tolkning

Tangenten er den linjen som følger grafen best akkurat i punktet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x + 3
a = 1
slope = diff(f, x).subs(x, a)
y0 = f.subs(x, a)
print(expand(slope*(x-a) + y0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$3\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (3-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (3-x^2)\,dx=3x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[3x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{16}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{16}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(3 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Deriver

$f\prime(x)=3x^2-12x+9$

Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null.

Steg 2 — Faktoriser

$3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

Faktorisering gjør nullpunktene tydelige.

Steg 3 — Løs

$3(x-1)(x-3)=0$

Et produkt er null når en faktor er null.

Steg 4 — Finn x-verdier

$x=1\quad \text{eller}\quad x=3$

Dette er kandidatene.

Steg 5 — Andrederivert

$f\prime\prime(x)=6x-12$

Andrederiverttesten klassifiserer punktene.

Steg 6 — Klassifiser

f\prime\prime(1)<0,\quad f\prime\prime(3)>0

Negativ betyr topp, positiv betyr bunn.

Steg 7 — Finn y-verdier

$f(1)=6,\quad f(3)=2$

Punktene må ha både x- og y-verdi.

Tolkning

Grafen har lokalt toppunkt ved x lik 1 og lokalt bunnpunkt ved x lik 3.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 2
print(solve(diff(f, x), x))
print(f.subs(x, 1), f.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn punktet

$f(1)=1^2+2\cdot1+1=4$

Tangenten går gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver

$f\prime(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstall

$f\prime(1)=2\cdot1+2=4$

Dette er tangentens stigning.

Steg 4 — Bruk ettpunktsform

$y-4=4(x-1)$

Linjen bestemmes av punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs ut y

$y=4x$

Vi skriver tangentlikningen på standard form.

Steg 6 — Kontroller

$4=4\cdot1$

Punktet ligger på linjen.

Tolkning

Tangenten er den linjen som følger grafen best akkurat i punktet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x + 1
a = 1
slope = diff(f, x).subs(x, a)
y0 = f.subs(x, a)
print(expand(slope*(x-a) + y0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn øverste graf

$5\ge x^2\text{ for }-1\le x\le 1$

Parabelen er høyst 1 i intervallet.

Steg 2 — Sett opp integral

$A=\int_{-1}^1 (5-x^2)\,dx$

Areal mellom grafer er øverst minus nederst.

Steg 3 — Finn antiderivert

$\int (5-x^2)\,dx=5x-\dfrac{x^3}{3}$

Vi integrerer leddvis.

Steg 4 — Sett inn grenser

$A=\left[5x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^1$

Vi tar øvre verdi minus nedre verdi.

Steg 5 — Regn ut

$A=\dfrac{28}{3}$

Arealet blir positivt.

Steg 6 — Svar med enhet

$A=\dfrac{28}{3}\text{ kvadratenheter}$

Areal har kvadratenhet.

Tolkning

Arealet er størrelsen på området mellom kurvene.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
A = integrate(5 - x**2, (x, -1, 1))
print(A)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Deriver

$f\prime(x)=3x^2-12x+9$

Ekstremalpunkter finnes der den deriverte er null.

Steg 2 — Faktoriser

$3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

Faktorisering gjør nullpunktene tydelige.

Steg 3 — Løs

$3(x-1)(x-3)=0$

Et produkt er null når en faktor er null.

Steg 4 — Finn x-verdier

$x=1\quad \text{eller}\quad x=3$

Dette er kandidatene.

Steg 5 — Andrederivert

$f\prime\prime(x)=6x-12$

Andrederiverttesten klassifiserer punktene.

Steg 6 — Klassifiser

f\prime\prime(1)<0,\quad f\prime\prime(3)>0

Negativ betyr topp, positiv betyr bunn.

Steg 7 — Finn y-verdier

$f(1)=6,\quad f(3)=2$

Punktene må ha både x- og y-verdi.

Tolkning

Grafen har lokalt toppunkt ved x lik 1 og lokalt bunnpunkt ved x lik 3.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 2
print(solve(diff(f, x), x))
print(f.subs(x, 1), f.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et presist svar, men også vise hvorfor metoden virker. Derfor starter vi med modell og regel, gjør utregningen i små steg, tolker svaret og kontrollerer med CAS og Python.

Steg 1 — Finn punktet

$f(1)=1^2+2\cdot1+3=6$

Tangenten går gjennom punktet på grafen.

Steg 2 — Deriver

$f\prime(x)=2x+2$

Den deriverte gir stigningstallet.

Steg 3 — Finn stigningstall

$f\prime(1)=2\cdot1+2=4$

Dette er tangentens stigning.

Steg 4 — Bruk ettpunktsform

$y-6=4(x-1)$

Linjen bestemmes av punkt og stigningstall.

Steg 5 — Løs ut y

$y=4x+2$

Vi skriver tangentlikningen på standard form.

Steg 6 — Kontroller

$6=4\cdot1+2$

Punktet ligger på linjen.

Tolkning

Tangenten er den linjen som følger grafen best akkurat i punktet.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

Kontroll i Python

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x + 3
a = 1
slope = diff(f, x).subs(x, a)
y0 = f.subs(x, a)
print(expand(slope*(x-a) + y0))