Matematikk R2 eksamen vår 2025 - oppgaver og løsningsforslag

Se R2 vår 2025 med oppgavekort, modellbesvarelser og forklaringer til sterke eksamenssvar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R2

Eksamenssett.no: Løsningsforslag Matematikk R2R2R2 Vår 2025, brukt som kontroll for resultater og metodevalg.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Integrasjon og delbrøkoppspalting

📝 OppgaveRegn ut et bestemt integral med e-funksjon og et ubestemt integral med rasjonal funksjon. ✅ Modellbesvarelse
  1. Integral 1 regnes leddvis: en antiderivert til 2ex+2x22e^{x} + 2x^{2}2ex+2x2 er 2ex+2x3/32e^{x} + 2x^{3}/32ex+2x3/3. Innsatt fra 0 til 1 gir 2e−432e - \tfrac{4}{3}2e−34​.
  2. Integral 2 faktoriseres først: x2−x−6=(x−3)(x+2)x^{2} - x - 6 = (x-3)(x+2)x2−x−6=(x−3)(x+2).
  3. Delbrøkoppspalting gir (2x−1)/((x−3)(x+2))=1/(x−3)+1/(x+2)(2x-1)/((x-3)(x+2)) = 1/(x-3) + 1/(x+2)(2x−1)/((x−3)(x+2))=1/(x−3)+1/(x+2).
  4. Integralverdien blir ln⁡∣x−3∣+ln⁡∣x+2∣+C\ln |x-3| + \ln |x+2| + Cln∣x−3∣+ln∣x+2∣+C.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven viser både direkte integrasjon og strukturert delbrøkoppspalting, inkludert absoluttverdi i logaritmene.

Oppgave 2

2

Bestem funksjon fra derivert og areal

📝 OppgaveFinn f når f′(x)=−2/x3f'(x)=-2/x^{3}f′(x)=−2/x3 og et avgrenset areal er 1114\tfrac{11}{14}1411​. ✅ Modellbesvarelse
  1. Vi integrerer f′(x)=−2x−3f'(x)=-2x^{-3}f′(x)=−2x−3. Det gir f(x)=x−2+C=1/x2+Cf(x)=x^{-2}+C = 1/x^{2} + Cf(x)=x−2+C=1/x2+C.
  2. Arealet ligger over x-aksen, så integralet fra 1 til 2 av f(x)f(x)f(x) dx er 1114\tfrac{11}{14}1411​.
  3. Integralet blir [-1/x + Cx]_1^2 = 1/2 + C. Dermed er 12+C=1114\tfrac{1}{2} + C = \tfrac{11}{14}21​+C=1411​.
  4. Da får vi C=27C=\tfrac{2}{7}C=72​, og funksjonen er f(x)=1/x2+27f(x)=1/x^{2} + \tfrac{2}{7}f(x)=1/x2+72​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker arealinformasjonen riktig og lar konstanten bestemmes av integralbetingelsen.

Oppgave 3

3

Tallfølge, sum og induksjon

📝 OppgaveTolk kode for en tallfølge, finn summen av de første leddene og bevis leddformelen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Koden starter med a=2a=2a=2 og øker differansen med 1 for hvert ledd. De fem første leddene er 2, 5, 9, 14 og 20.
  2. Når koden summerer leddene, får vi S=2+5+9+14+20=50S=2+5+9+14+20=50S=2+5+9+14+20=50.
  3. Mønsteret passer formelen an=n(n+3)/2a_n=n(n+3)/2an​=n(n+3)/2 for n≥1n\ge 1n≥1.
  4. Induksjon: For n=1n=1n=1 får vi 1⋅(1+3)/2=21\cdot (1+3)/2=21⋅(1+3)/2=2. Anta ak=k(k+3)/2a_k=k(k+3)/2ak​=k(k+3)/2. Da blir a_(k+1)=ak+(k+2)=k(k+3)/2+(k+2)=(k+1)(k+4)/2(k+1)=a_k+(k+2)=k(k+3)/2+(k+2)=(k+1)(k+4)/2(k+1)=ak​+(k+2)=k(k+3)/2+(k+2)=(k+1)(k+4)/2.
  5. Dermed er formelen vist for alle n≥1n\ge 1n≥1.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen kobler programmering, tallmønster og induksjonsbevis i én sammenheng.

Oppgave 4

4

Trigonometriske funksjoner

📝 OppgaveFinn egenskaper ved en sinusfunksjon og løs trigonometriske likninger. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f(x)=23sin⁡(2x+π/6)f(x)=2\sqrt{3}\sin (2x+\pi /6)f(x)=23 ​sin(2x+π/6) er amplituden 232\sqrt{3}23 ​, likevektslinja y=0y=0y=0, perioden pi og horisontal forskyvning π/12\pi /12π/12 mot venstre.
  2. Likningen f(x)=3f(x)=\sqrt{3}f(x)=3 ​ gir sin⁡(2x+π/6)=12\sin (2x+\pi /6)=\tfrac{1}{2}sin(2x+π/6)=21​. I intervallet 0<x<π/20<x<\pi /20<x<π/2 får vi x=π/3x=\pi /3x=π/3.
  3. Funksjonen g(x)=3sin⁡(2x)+3cos⁡(2x)g(x)=3\sin (2x)+\sqrt{3}\cos (2x)g(x)=3sin(2x)+3 ​cos(2x) kan skrives som 23sin⁡(2x+π/6)2\sqrt{3}\sin (2x+\pi /6)23 ​sin(2x+π/6).
  4. Da blir løsningen av g(x)=3i0<x<2πg(x)=\sqrt{3} i 0<x<2\pig(x)=3 ​i0<x<2π: x=π/3,x=πx=\pi /3, x=\pix=π/3,x=π og x=4π/3x=4\pi /3x=4π/3.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker amplitude/periode presist og omskriver kombinasjonen av sinus og cosinus til én sinusfunksjon.

Oppgave 5

5

Vektorer i rommet og plan

📝 OppgaveUndersøk vinklene i en trekant, finn areal og vis at en linje ikke treffer bordplaten. ✅ Modellbesvarelse
  1. Med A(0,0,0),B(2,3,0)A(0,0,0), B(2,3,0)A(0,0,0),B(2,3,0) og C(1,4,1)C(1,4,1)C(1,4,1) får vi BA=[-2,-3,0] og BC=[-1,1,1]. Skalarproduktet BA dot BC = -1, så vinkel B er større enn 90 grader.
  2. Arealet er 12⋅∣\tfrac{1}{2}\cdot |21​⋅∣AB x AC|. Her er AB x AC = [3,-2,5], så arealet blir 38/2\sqrt{38}/238 ​/2 dm^2.
  3. Planet gjennom bordplaten har normalvektor [3,-2,5] og likning 3x−2y+5z=03x-2y+5z=03x−2y+5z=0.
  4. Linjen gjennom D(3,7,3)D(3,7,3)D(3,7,3) og E(2,3,2)E(2,3,2)E(2,3,2) har retningsvektor [-1,-4,-1]. Skalarproduktet med normalvektoren er 0, så linjen er parallell med planet.
  5. Punktet D ligger ikke i planet, siden 3⋅3−2⋅7+5⋅3=103\cdot 3-2\cdot 7+5\cdot 3=103⋅3−2⋅7+5⋅3=10. Derfor treffer grenen aldri bordplaten.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven bruker skalarprodukt, kryssprodukt og planlikning med tydelig geometrisk tolkning.

Oppgave 6

6

Numerisk integral i kode

📝 OppgaveBestem omtrent hvilken verdi et program skriver ut når det summerer f(x)f(x)f(x)dx + g(x)g(x)g(x)dx. ✅ Modellbesvarelse
  1. Programmet summerer en Riemannsum for integralet fra 0 til 2 av x3−2x2x^{3} - 2x^{2}x3−2x2.
  2. Eksakt integral er [x4/4−2x3/3]02=4−163=−43[x^{4}/4 - 2x^{3}/3]_0^{2} = 4 - \tfrac{16}{3} = -\tfrac{4}{3}[x4/4−2x3/3]02​=4−316​=−34​.
  3. Med liten dx blir utskriften derfor omtrent -1,333.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret oversetter koden til et integral før verdien beregnes.

Oppgave 7

7

Buelengde, radianer og tangens

📝 OppgaveFinn en sentralvinkel fra buelengde og bestem eksakte sinus- og cosinusverdier. ✅ Modellbesvarelse
  1. Buelengdeformelen er b=rv. Med b=4b=4b=4 og r=3r=3r=3 får vi v=43v=\tfrac{4}{3}v=34​ radianer.
  2. I grader er dette 43⋅180/π=240/π\tfrac{4}{3}\cdot 180/\pi = 240/\pi34​⋅180/π=240/π grader, omtrent 76,4 grader.
  3. Når tan⁡u=2i\tan u=2 itanu=2i første kvadrant, kan vi sette sin⁡u=2cos⁡u\sin u = 2\cos usinu=2cosu.
  4. Da gir sin⁡2u+cos⁡2u=1\sin ^{2} u + \cos ^{2} u = 1sin2u+cos2u=1 at 5cos⁡2u=15\cos ^{2} u=15cos2u=1. Dermed er cos⁡u=5/5\cos u=\sqrt{5}/5cosu=5 ​/5 og sin⁡u=25/5\sin u=2\sqrt{5}/5sinu=25 ​/5.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen bruker radianbegrepet riktig og utnytter at vinkelen ligger i første kvadrant.

Oppgave 8

8

Spiralformet vei i parkeringshus

📝 OppgaveBruk en romkurve til å finne høyde, fart og mulig etasjeavstand. ✅ Modellbesvarelse
  1. Høyden er z-komponenten z(t)=5+t/3z(t)=5+t/3z(t)=5+t/3. Etter 5 sekunder er bilen 203\tfrac{20}{3}320​ meter over bakken, omtrent 6,67 m.
  2. Fartsvektoren er r′(t)=[−(4π/5)sin⁡(πt/5),(4π/5)cos⁡(πt/5),13]r'(t)=[-(4\pi /5)\sin (\pi t/5), (4\pi /5)\cos (\pi t/5), \tfrac{1}{3}]r′(t)=[−(4π/5)sin(πt/5),(4π/5)cos(πt/5),31​].
  3. Ved t=10t=10t=10 får vi v(10)=[0,4π/5,13]v(10)=[0,4\pi /5,\tfrac{1}{3}]v(10)=[0,4π/5,31​]. Farten er (4π/5)2+132\sqrt{(4\pi /5)^{2}+\tfrac{1}{3}^{2}}(4π/5)2+31​2 ​, omtrent 2,54m/s2,54 m/s2,54m/s.
  4. En hel runde tar 10 sekunder. Hvis én runde tilsvarer én etasje, blir etasjeavstanden z(t+10)−z(t)=103z(t+10)-z(t)=\tfrac{10}{3}z(t+10)−z(t)=310​ meter, omtrent 3,33 m.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret tolker hver koordinat og gjør en eksplisitt antakelse i den praktiske delen.

Oppgave 9

9

Pensjonssparing og annuitetslån

📝 OppgaveFinn årlig sparebeløp og beregn omtrent lånerente. ✅ Modellbesvarelse
  1. Nora setter inn samme beløp 30 ganger, og hvert innskudd får rente med vekstfaktor 1,025.
  2. Sluttverdien kan skrives x⋅(1,025+1,0252+...+1,02530)x\cdot (1,025+1,025^{2}+...+1,025^{3}0)x⋅(1,025+1,0252+...+1,02530). Denne summen er omtrent 45,000x45,000x45,000x.
  3. Når sluttbeløpet skal være 3 750 000 kr, får vi x omtrent 83 333 kr per år.
  4. For lånet kan saldoen modelleres ved at hun først betaler 150 000 kr, og at resten får rente. Med 33 terminer løses renten numerisk.
  5. Likningen gir en årlig rente på omtrent 3,5 %.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen skiller mellom sparing som geometrisk rekke og lån som numerisk annuitetsproblem.

Oppgave 10

10

Fartsmodell for hare

📝 OppgaveBruk en fartsfunksjon til å finne maksimal fart, strekning og gjennomsnittsfart. ✅ Modellbesvarelse
  1. Akselerasjonen er v′(t)=87e−5t−0,728e−0,08tv'(t)=87e^{-5t}-0,728e^{-0,08t}v′(t)=87e−5t−0,728e−0,08t. Setter vi v′(t)=0v'(t)=0v′(t)=0, får vi t omtrent 0,97 s.
  2. Dette er tidspunktet der haren har maksimal fart: før dette øker farten, etterpå avtar den.
  3. Strekningen de første 7 sekundene er integralet av v(t)v(t)v(t) fra 0 til 7. Numerisk gir dette omtrent 103,4 m.
  4. For de første 200 meterne løser vi integralet fra 0 til T av v(t)v(t)v(t) dt = 200. Dette gir T omtrent 15 s.
  5. Gjennomsnittsfarten blir 20015\tfrac{200}{15}15200​, omtrent 13,3m/s13,3 m/s13,3m/s.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven tolker både derivert og integral fysisk og gir svar med riktige enheter.

Oppgave 11

11

Uendelig rekke og ln 2

📝 OppgaveBruk integralet av en geometrisk rekke til å vise en identitet for ln⁡2\ln 2ln2. ✅ Modellbesvarelse
  1. For |x|<1 har vi 1+x+x2+x31+x+x^{2}+x^{3}1+x+x2+x3+... = 1/(1−x)1/(1-x)1/(1−x).
  2. Integrerer vi ledd for ledd, får vi x+x2/2+x3/3+x4/4x + x^{2}/2 + x^{3}/3 + x^{4}/4x+x2/2+x3/3+x4/4 + ... = -ln⁡(1−x)\ln (1-x)ln(1−x).
  3. Setter vi x=12x=\tfrac{1}{2}x=21​, får vi summen 12+1/(2⋅22)+1/(3⋅23)+1/(4⋅24)\tfrac{1}{2} + 1/(2\cdot 2^{2}) + 1/(3\cdot 2^{3}) + 1/(4\cdot 2^{4})21​+1/(2⋅22)+1/(3⋅23)+1/(4⋅24) + ...
  4. Høyre side blir -ln⁡(1−12)=−ln⁡(12)=ln⁡2\ln (1-\tfrac{1}{2}) = -\ln (\tfrac{1}{2}) = \ln 2ln(1−21​)=−ln(21​)=ln2. Dermed er identiteten vist.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker konvergensområdet og viser hvorfor innsettingen x=12x=\tfrac{1}{2}x=21​ er gyldig. Relevante fagbegreper bestemt integral delbrøkoppspalting antiderivasjon tallfølge rekursjon induksjonsbevis amplitude periode faseforskyvning skalarprodukt kryssprodukt planlikning Riemannsum radianer romkurve fartsvektor geometrisk rekke annuitetslån gjennomsnittsfart uendelig rekke SEO-mal

Ofte stilte spørsmål

Hva handler R2 vår 2025 om?Settet dekker integrasjon, tallfølger, trigonometri, vektorer i rommet, romkurver, sparing, lån, fartsmodeller og uendelige rekker.Hvilken fagkode har eksamenen?Eksamenen har fagkode REA3058.Hvor mange oppgaver er det?Eksamenen har 7 oppgaver uten hjelpemidler og 4 oppgaver med hjelpemidler.Hvordan får jeg høy måloppnåelse?Vis metodevalg, mellomregning, presis notasjon, dokumentert bruk av digitale verktøy og tydelig konklusjon i kontekst. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R2

Relaterte sider

Matematikk R2Eksamensoppgaver

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo