Matematikk R2 eksamen vår 2024 - oppgaver og løsningsforslag

Se R2 vår 2024 med oppgavekort, modellbesvarelser og forklaringer til sterke eksamenssvar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R2

Eksamenssett.no: Løsningsforslag Matematikk R2R2R2 Vår 2024, brukt som kontroll for resultater og metodevalg.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Bestemt integral og areal

📝 OppgaveRegn ut integralet av f(x)=−x3+3xf(x)=-x^{3}+3xf(x)=−x3+3x fra -1 til 0, og bestem arealet mellom grafen, x-aksen og linjene x=−1x=-1x=−1 og x=1x=1x=1. ✅ Modellbesvarelse
  1. En antiderivert er F(x)=−x4/4+3x2/2F(x)=-x^{4}/4+3x^{2}/2F(x)=−x4/4+3x2/2.
  2. Integralverdien fra -1 til 0 blir F(0)−F(−1)=0−54=−54F(0)-F(-1)=0-\tfrac{5}{4}=-\tfrac{5}{4}F(0)−F(−1)=0−45​=−45​.
  3. For arealet må vi dele ved nullpunktet x=0x=0x=0, fordi funksjonen er negativ på [-1,0] og positiv på [0,1].
  4. Arealet blir |integralet fra -1 til 0| + integralet fra 0 til 1=54+54=521 = \tfrac{5}{4} + \tfrac{5}{4} = \tfrac{5}{2}1=45​+45​=25​.
  5. Forskjellen mellom integralverdi og areal er selve poenget: areal skal være positivt.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven viser antiderivasjon, fortegnskontroll og riktig bruk av absoluttverdi i arealberegningen.

Oppgave 2

2

Substitusjon i trigonometrisk integral

📝 OppgaveRegn ut integralet av sin⁡3(x)⋅cos⁡(x)\sin ^{3}(x)\cdot \cos (x)sin3(x)⋅cos(x). ✅ Modellbesvarelse
  1. Vi ser mønsteret f(g(x))⋅g′(x)f(g(x))\cdot g'(x)f(g(x))⋅g′(x) og setter u=sin⁡xu=\sin xu=sinx.
  2. Da er du=cos⁡x\cos xcosx dx, og integralet blir integralet av u3u^{3}u3 du.
  3. Dette gir u4/4+Cu^{4}/4 + Cu4/4+C.
  4. Setter vi tilbake u=sin⁡xu=\sin xu=sinx, får vi sin⁡4(x)/4+C\sin ^{4}(x)/4 + Csin4(x)/4+C.
  5. Svaret kan kontrolleres ved derivasjon: derivert av sin⁡4(x)/4\sin ^{4}(x)/4sin4(x)/4 er sin⁡3(x)⋅cos⁡(x)\sin ^{3}(x)\cdot \cos (x)sin3(x)⋅cos(x).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen velger en kort substitusjon og kontrollerer at svaret passer.

Oppgave 3

3

Program og aritmetisk rekke

📝 OppgaveForklar hva et while-program prøver å finne ut, og finn tallet som skrives ut. ✅ Modellbesvarelse
  1. Programmet starter med n=0n=0n=0 og S=0S=0S=0. Hver runde øker n med 1 og legger til 4n−2i4n-2 i4n−2i summen.
  2. Leddene som legges til er 2, 6, 10, 14, ..., altså en aritmetisk rekke.
  3. Etter n runder er summen S_n = summen av (4k−2)(4k-2)(4k−2) fra k=1k=1k=1 til n=2n2n = 2n^{2}n=2n2.
  4. Programmet leter etter det minste n der summen blir større enn 200.
  5. For n=10n=10n=10 er S=200S=200S=200, og løkka kjører fortsatt. For n=11n=11n=11 er S=242S=242S=242, så programmet skriver ut 11.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven leser programflyten matematisk og får med betydningen av betingelsen S≤200S \le 200S≤200.

Oppgave 4

4

Vektorer, plan og linjer i rommet

📝 OppgaveFinn trekantareal, avstand fra punkt til linje, en normal linje til planet og skjæring med z-aksen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Med A(1,1,0),B(4,1,1)A(1,1,0), B(4,1,1)A(1,1,0),B(4,1,1) og C(2,0,−1)C(2,0,-1)C(2,0,−1) får vi AB=(3,0,1) og AC=(1,-1,-1).
  2. Kryssproduktet AB x AC = (1,4,-3), og arealet av trekanten blir 26/2\sqrt{26}/226 ​/2.
  3. Avstanden fra C til linja AB er |AB x AC|/|AB| = 26/10=130/10\sqrt{26}/\sqrt{10} = \sqrt{130}/1026 ​/10 ​=130 ​/10.
  4. Linja gjennom P(−2,1,4)P(-2,1,4)P(−2,1,4) vinkelrett på planet har parameterframstilling x=−2+t,y=1+4t,z=4−3tx=-2+t, y=1+4t, z=4-3tx=−2+t,y=1+4t,z=4−3t.
  5. For en linje fra P til D=(0,0,d)D=(0,0,d)D=(0,0,d) parallell med planet må (2,-1,d-4) dot (1,4,−3)=0(1,4,-3)=0(1,4,−3)=0. Det gir D=(0,0,103)D=(0,0,\tfrac{10}{3})D=(0,0,310​).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker kryssproduktet både som arealverktøy og normalvektor, og kobler algebraen til geometrien.

Oppgave 5

5

Sinusfunksjon og periode

📝 OppgaveLøs f(x)=0f(x)=0f(x)=0 for f(x)=2sin⁡((π/6)x−π/3)−1f(x)=2\sin ((\pi /6)x-\pi /3)-1f(x)=2sin((π/6)x−π/3)−1, og finn amplitude, likevektslinje, periode og forskyvning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Likningen gir sin⁡((π/6)x−π/3)=12\sin ((\pi /6)x-\pi /3)=\tfrac{1}{2}sin((π/6)x−π/3)=21​.
  2. Da er (π/6)x−π/3=π/6+2(\pi /6)x-\pi /3 = \pi /6+2(π/6)x−π/3=π/6+2kpi eller 5π/6+25\pi /6+25π/6+2kpi.
  3. Dette gir x=3+12kx=3+12kx=3+12k eller x=7+12kx=7+12kx=7+12k.
  4. I intervallet 0<x<20 får vi x=3,7,15x=3, 7, 15x=3,7,15 og 19.
  5. Funksjonen kan skrives 2sin⁡((π/6)(x−2))−12\sin ((\pi /6)(x-2))-12sin((π/6)(x−2))−1, så amplituden er 2, likevektslinja er y=−1y=-1y=−1, perioden er 12 og forskyvningen er 2 mot høyre.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven løser trigonometrien generelt først og begrenser deretter løsningene til definisjonsområdet.

Oppgave 6

6

Corner som romkurve

📝 OppgaveBruk r(t)=[30t,5t,7t−4,9t2]r(t)=[30t,5t,7t-4,9t^{2}]r(t)=[30t,5t,7t−4,9t2] til å finne startfart, landingsavstand og fart/høyde i toppunktet. ✅ Modellbesvarelse
  1. Hastighetsvektoren er v(t)=[30,5,7−9,8t]v(t)=[30,5,7-9,8t]v(t)=[30,5,7−9,8t]. Ved t=0t=0t=0 er farten 974\sqrt{974}974 ​, omtrent 31,2m/s31,2 m/s31,2m/s.
  2. Ballen treffer bakken igjen når 7t−4,9t2=07t-4,9t^{2}=07t−4,9t2=0, altså ved t=107st=\tfrac{10}{7} st=710​s etter skuddet.
  3. Da er x=3007x=\tfrac{300}{7}x=7300​ og y=507y=\tfrac{50}{7}y=750​, så avstanden fra hjørnet blir 5037/750\sqrt{37}/75037 ​/7, omtrent 43,4 m.
  4. I toppunktet er den vertikale farten null: 7−9,8t=07-9,8t=07−9,8t=0 gir t=57st=\tfrac{5}{7} st=75​s.
  5. Farten i toppunktet er 302+52=537\sqrt{30^{2}+5^{2}}=5\sqrt{37}302+52 ​=537 ​, omtrent 30,4m/s30,4 m/s30,4m/s, og høyden er 2,5 m.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen skiller presist mellom posisjon, hastighetsvektor, horisontal avstand og total fart.

Oppgave 7

7

Pære som omdreiningslegeme

📝 OppgaveBruk avlesninger fra et koordinatsystem til å anslå volumet av en pære. ✅ Modellbesvarelse
  1. Pæra kan modelleres ved at den halve snittflaten roteres rundt y-aksen.
  2. Med radiusavlesninger for y=0y=0y=0 til 4,5 cm kan volumet skrives som V=πV=\piV=π*integralet av r(y)2r(y)^{2}r(y)2 dy.
  3. Trapesmetoden med steglengde 0,5 cm gir integralet av r2r^{2}r2 omtrent 30,96.
  4. Dermed blir volumet V omtrent π⋅30,96=97,2\pi \cdot 30,96 = 97,2π⋅30,96=97,2 cm^3.
  5. Et godt svar kommenterer at nøyaktigheten avhenger av avlesningene fra bildet og at et intervall rundt 80-120 cm^3 er rimelig.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven modellerer figuren matematisk og vurderer usikkerheten i et numerisk volumanslag.

Oppgave 8

8

Periodisk modell for utelys

📝 OppgaveForklar modellen T(x)=4sin⁡(0,0055⋅π⋅x−0,5⋅π)+19T(x)=4\sin (0,0055\cdot \pi \cdot x-0,5\cdot \pi )+19T(x)=4sin(0,0055⋅π⋅x−0,5⋅π)+19 og finn når tidspunktet endrer seg med 3 minutter per dag og raskest. ✅ Modellbesvarelse
  1. Amplituden 4 betyr at tidspunktet varierer fra 15 til 23, med likevektslinje 19.
  2. Perioden er 2π/(0,0055π)2\pi /(0,0055\pi )2π/(0,0055π), omtrent 364 dager, altså omtrent ett år.
  3. Faseleddet plasserer T(x)=19T(x)=19T(x)=19 med stigende verdi rundt dag 91, som passer med 1. april.
  4. Deriverer vi, får vi T′(x)=0,022π⋅cos⁡(0,0055π⋅x−0,5π)T'(x)=0,022\pi \cdot \cos (0,0055\pi \cdot x-0,5\pi )T′(x)=0,022π⋅cos(0,0055π⋅x−0,5π). Tre minutter per dag er 0,05 timer per dag.
  5. Løsningen gir omtrent 16. februar, 14. mai, 16. august og 12. november. Størst endring er 0,022π0,022\pi0,022π timer per dag, ca. 4,1 minutter per dag, rundt 31. mars og 29. september.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret tolker alle modellparametrene og bruker den deriverte til å forklare endringsfarten.

Oppgave 9

9

Kubikksummer og induksjon

📝 OppgaveFinn rekursiv og eksplisitt formel for summen av kubikktall, lag program for S_50 og bevis formelen med induksjon. ✅ Modellbesvarelse
  1. Den rekursive sammenhengen er S_(n+1)=Sn+(n+1)3(n+1)=S_n+(n+1)^{3}(n+1)=Sn​+(n+1)3 med S1=1S_1=1S1​=1.
  2. De første summene 1, 9, 36, 100 og 225 er kvadrater av trekanttallene 1, 3, 6, 10 og 15.
  3. Derfor er den eksplisitte formelen Sn=(n(n+1)/2)2S_n=(n(n+1)/2)^{2}Sn​=(n(n+1)/2)2.
  4. Et program kan summere k3k^{3}k3 for k fra 1 til 50 og gir S50=1625625S_50=1 625 625S5​0=1625625.
  5. Induksjonsbeviset starter med n=1n=1n=1 og viser at Sk+(k+1)3=((k+1)(k+2)/2)2S_k+(k+1)^{3} = ((k+1)(k+2)/2)^{2}Sk​+(k+1)3=((k+1)(k+2)/2)2 når hypotesen gjelder for k.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven kombinerer mønstergjenkjenning, programmering og formelt induksjonsresonnement.

Oppgave 10

10

Kuleflate og parallelle plan

📝 OppgaveFinn minste avstand fra en kuleflate til planet x+2y+2z=14x+2y+2z=14x+2y+2z=14, og bestem et parallelt plan med samme avstand. ✅ Modellbesvarelse
  1. Når A(1,2,1)A(1,2,1)A(1,2,1) og B(3,0,−3)B(3,0,-3)B(3,0,−3) er endepunkter i en diameter, er sentrum M=(2,1,−1)M=(2,1,-1)M=(2,1,−1).
  2. Radiusen er halvparten av |AB|, altså 6\sqrt{6}6 ​.
  3. Avstanden fra M til planet x+2y+2z=14x+2y+2z=14x+2y+2z=14 er |2+2−2−14∣/3=42+2-2-14|/3 = 42+2−2−14∣/3=4.
  4. Minste avstand fra kuleflaten til planet blir 4−64-\sqrt{6}4−6 ​, omtrent 1,55.
  5. Et parallelt plan har form x+2y+2z=cx+2y+2z=cx+2y+2z=c. Kravet |2−c∣/3=42-c|/3=42−c∣/3=4 gir c=14c=14c=14 eller c=−10c=-10c=−10. Siden c=14c=14c=14 er det gamle planet, blir alpha: x+2y+2z=−10x+2y+2z=-10x+2y+2z=−10.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen holder orden på sentrum, radius, punkt-plan-avstand og de to parallelle planmulighetene.

Oppgave 11

11

Geometrisk rekke med integral som kvotient

📝 OppgaveBestem a_1 slik at den minste mulige summen av rekken blir 1. ✅ Modellbesvarelse
  1. Først regner vi integralet: integralet fra 0 til x av e−te^{-t}e−t dt = 1−e−x1-e^{-x}1−e−x.
  2. Kvotienten i rekken er dermed u=1−e−xu=1-e^{-x}u=1−e−x. For x≥0x\ge 0x≥0 ligger u i intervallet [0,1), så rekken konvergerer.
  3. Summen blir S(x)=a1/(1−u)S(x)=a_1/(1-u)S(x)=a1​/(1−u).
  4. Setter vi inn u, får vi S(x)=a1/e−x=a1exS(x)=a_1/e^{-x}=a_1 e^{x}S(x)=a1​/e−x=a1​ex.
  5. Denne funksjonen er voksende for x≥0x\ge 0x≥0, så minste verdi er S(0)=a1S(0)=a_1S(0)=a1​. For at minimum skal være 1 må a1=1a_1=1a1​=1.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven forenkler rekken elegant og sjekker både konvergens og minimumspunkt. Relevante fagbegreper bestemt integral areal mellom graf og akse substitusjon aritmetisk rekke while-løkke kryssprodukt normalvektor avstand fra punkt til linje parameterframstilling sinusfunksjon amplitude likevektslinje periode romkurve hastighetsvektor omdreiningslegeme trapesmetoden periodisk modell derivasjon kubikksummer induksjonsbevis kuleflate geometrisk rekke SEO-mal

Ofte stilte spørsmål

Hva handler R2 vår 2024 om?Settet dekker integrasjon, areal, substitusjon, programmering, vektorer i rommet, sinusfunksjoner, romkurver, omdreiningslegemer, periodiske modeller, induksjon, kuleflate og geometriske rekker.Hvilken fagkode har eksamenen?Eksamenen har fagkode REA3058.Hvor mange oppgaver er det?Eksamenen har 5 oppgaver uten hjelpemidler og 6 oppgaver med hjelpemidler.Hvordan får jeg høy måloppnåelse?Vis metodevalg, mellomregning, presis notasjon, dokumentert bruk av digitale verktøy og tydelig konklusjon i kontekst. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R2

Relaterte sider

Matematikk R2Eksamensoppgav

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo