Matematikk R2 eksamen høst 2025 - oppgaver og løsningsforslag

Se R2 høst 2025 med oppgavekort, modellbesvarelser og forklaringer til sterke eksamenssvar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R2

Eksamenssett.no: Løsningsforslag Matematikk R2R2R2 Høst 2025, brukt som kontroll for resultater og metodevalg.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Delvis integrasjon

📝 OppgaveBestem integralet av 4xcos⁡x4x \cos x4xcosx. ✅ Modellbesvarelse
  1. Bruk delvis integrasjon med u=4xu=4xu=4x og v′=cos⁡xv'=\cos xv′=cosx. Da er u′=4u'=4u′=4 og v=sin⁡xv=\sin xv=sinx.
  2. Integral blir 4xsin⁡x4x \sin x4xsinx - integralet av 4sin⁡x4 \sin x4sinx dx = 4xsin⁡x+4cos⁡x+C4x \sin x + 4 \cos x + C4xsinx+4cosx+C.
  3. Kontroll ved derivasjon gir 4sin⁡x+4xcos⁡x−4sin⁡x=4xcos⁡x4 \sin x + 4x \cos x - 4 \sin x = 4x \cos x4sinx+4xcosx−4sinx=4xcosx.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven velger en naturlig delvis integrasjon og kontrollerer svaret ved derivasjon.

Oppgave 2

2

Volum av kopp

📝 OppgaveFinn volumet når f(x)=x+4,0≤x≤10f(x)=\sqrt{x+4}, 0\le x\le 10f(x)=x+4 ​,0≤x≤10, dreies om x-aksen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Volumformelen er V=πV = \piV=π * integralet fra 0 til 10 av f(x)2f(x)^{2}f(x)2 dx.
  2. Siden f(x)2=x+4f(x)^{2} = x+4f(x)2=x+4, får vi V=πV = \piV=π * integralet fra 0 til 10 av (x+4) dx.
  3. Dette gir V=π⋅[x2/2+4x]010=90πV = \pi \cdot [x^{2}/2+4x]_0^{1}0 = 90\piV=π⋅[x2/2+4x]01​0=90π cm^3, omtrent 283 mL.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker riktig omdreiningsformel og får med at cm^3 er det samme som mL.

Oppgave 3

3

Areal og integral med fortegn

📝 OppgaveBruk grafen til f(x)=x3+x2−2xf(x)=x^{3}+x^{2}-2xf(x)=x3+x2−2x til å finne areal og vurdere en integrallikning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Nullpunktene er x=−2,x=0x=-2, x=0x=−2,x=0 og x=1x=1x=1, siden f(x)=x(x+2)(x−1)f(x)=x(x+2)(x-1)f(x)=x(x+2)(x−1).
  2. På intervallet [-2,0] ligger grafen over x-aksen, og på [0,1] ligger den under. Arealet er derfor integralet fra -2 til 0 av f(x)f(x)f(x) dx minus integralet fra 0 til 1 av f(x)f(x)f(x) dx.
  3. En antiderivert er F(x)=x4/4+x3/3−x2F(x)=x^{4}/4+x^{3}/3-x^{2}F(x)=x4/4+x3/3−x2. Arealet blir 83−(−512)=3712\tfrac{8}{3} - (-\tfrac{5}{12})=\tfrac{37}{12}38​−(−125​)=1237​.
  4. Likningen integralet fra a til 1 av f(x)f(x)f(x) dx = 0 betyr F(a)=F(1)F(a)=F(1)F(a)=F(1). Figuren viser to mulige a-verdier for a<0, omtrent -0,6 og -2,7.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen skiller mellom integralverdi og areal og bruker grafen til å forklare antall løsninger.

Oppgave 4

4

Trigonometriske likninger

📝 OppgaveLøs sin⁡x−3cos⁡x=0\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0sinx−3 ​cosx=0 og vurder antall løsninger i en parameterlikning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fra sin⁡x=3cos⁡x\sin x = \sqrt{3}\cos xsinx=3 ​cosx får vi tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3}tanx=3 ​. I intervallet [0,2π0,2\pi0,2π) gir det x=π/3x=\pi /3x=π/3 og x=4π/3x=4\pi /3x=4π/3.
  2. I parameterlikningen (sin⁡x−12)(sin⁡x−a)=0(\sin x - \tfrac{1}{2})(\sin x - a)=0(sinx−21​)(sinx−a)=0 får sin⁡x=12\sin x=\tfrac{1}{2}sinx=21​ alltid to løsninger.
  3. To løsninger får vi når a=12a=\tfrac{1}{2}a=21​ eller |a|>1. Tre løsninger får vi når a=1a=1a=1 eller a=−1a=-1a=−1.
  4. Fire løsninger får vi når -1<a<1 og a ikke er 12\tfrac{1}{2}21​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret teller løsninger systematisk og husker overlappet når a=12a=\tfrac{1}{2}a=21​.

Oppgave 5

5

Sant eller usant

📝 OppgaveVurder to påstander om fartsgraf og radianer. ✅ Modellbesvarelse
  1. Påstand 1 er usann. Arealet under en fartsgraf tolkes som tilbakelagt strekning, mens akselerasjon er den deriverte av fart.
  2. Påstand 2 er sann. 36 grader = 36⋅π/180=π/536\cdot \pi /180 = \pi /536⋅π/180=π/5 radianer.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven gir korte begrunnelser, ikke bare sant/usant.

Oppgave 6

6

Rekker og sprettball

📝 OppgaveFinn summen av en aritmetisk rekke, konvergensområdet til en geometrisk rekke og total strekning for en sprettball. ✅ Modellbesvarelse
  1. Rekken -3+0+3+...+69 har a1=−3,d=3a1=-3, d=3a1=−3,d=3 og siste ledd 69. Antall ledd blir 25, og summen er 25(−3+69)/2=82525(-3+69)/2 = 82525(−3+69)/2=825.
  2. Den uendelige geometriske rekken har kvotient k=12−xk=\tfrac{1}{2}-xk=21​−x. Den konvergerer når |12−x∣<1\tfrac{1}{2}-x|<121​−x∣<1, altså -12<x<32\tfrac{1}{2} < x < \tfrac{3}{2}21​<x<23​.
  3. Ballen faller først 2 m. Deretter går den opp og ned med høyder 1,5,1,5⋅0,75,1,5⋅0,7521,5, 1,5\cdot 0,75, 1,5\cdot 0,75^{2}1,5,1,5⋅0,75,1,5⋅0,752 og så videre.
  4. Total strekning blir 2+2⋅(1,5/(1−0,75))=14m2 + 2\cdot (1,5/(1-0,75)) = 14 m2+2⋅(1,5/(1−0,75))=14m.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser tre ulike rekkeideer og tolker dem i riktig kontekst.

Oppgave 7

7

Kuleflater og plan

📝 OppgaveBestem sentrum/radius for en kuleflate, tangentplan og om et plan skjærer en kule. ✅ Modellbesvarelse
  1. Kuleflaten x2+y2+z2−4x+2z=4x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2z=4x2+y2+z2−4x+2z=4 skrives (x−2)2+y2+(z+1)2=9(x-2)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=9(x−2)2+y2+(z+1)2=9. Sentrum er (2,0,-1), radius 3.
  2. Kulen K har sentrum (1,-1,3) og radius 2. Tangentplanet iP(3,−1,3)i P(3,-1,3)iP(3,−1,3) har normalvektor CP=(2,0,0), så planet er x=3x=3x=3.
  3. For planet 3x+y−2z+1=03x+y-2z+1=03x+y−2z+1=0 er avstanden fra sentrum (1,-1,3) lik |3−1−6+1∣/14=3/143-1-6+1|/\sqrt{14}=3/\sqrt{14}3−1−6+1∣/14 ​=3/14 ​.
  4. Siden 3/143/\sqrt{14}3/14 ​ er mindre enn 2, skjærer planet gjennom kuleflaten.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen bruker fullføring av kvadrat, normalvektor og avstandsformel i riktig rekkefølge.

Oppgave 8

8

Induksjonsbevis

📝 OppgaveVis formelen for summen 1+4+421+4+4^{2}1+4+42+...+4n4^{n}4n. ✅ Modellbesvarelse
  1. Grunnsteget n=0n=0n=0 gir venstre side 1 og høyre side (40+1−1)/3=1(4^{0+1}-1)/3 = 1(40+1−1)/3=1.
  2. Anta at 1+4+...+4k=(4k+1−1)/34^{k} = (4^{k+1}-1)/34k=(4k+1−1)/3.
  3. For k+1 blir venstre side (4k+1−1)/3+4k+1(4^{k+1}-1)/3 + 4^{k+1}(4k+1−1)/3+4k+1.
  4. Dette er (4k+1−1+3⋅4k+1)/3=(4⋅4k+1−1)/3=(4k+2−1)/3(4^{k+1}-1+3\cdot 4^{k+1})/3 = (4\cdot 4^{k+1}-1)/3 = (4^{k+2}-1)/3(4k+1−1+3⋅4k+1)/3=(4⋅4k+1−1)/3=(4k+2−1)/3.
  5. Dermed gjelder formelen for alle n≥0n\ge 0n≥0 ved induksjon.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret har både grunnsteg, induksjonshypotese og induksjonssteg.

Oppgave 9

9

Miniubåt og fiskestim

📝 OppgaveBruk romkurve til å finne fart, dypeste punkt og kollisjonsfare. ✅ Modellbesvarelse
  1. Posisjonen er r(t)=[6t,7t,−250−5t+0,1t2]r(t)=[6t, 7t, -250-5t+0,1t^{2}]r(t)=[6t,7t,−250−5t+0,1t2]. Fartsvektoren er r′(t)=[6,7,−5+0,2t]r'(t)=[6,7,-5+0,2t]r′(t)=[6,7,−5+0,2t].
  2. Ved t=2t=2t=2 er farten 62+72+(−4,6)2\sqrt{6^{2}+7^{2}+(-4,6)^{2}}62+72+(−4,6)2 ​, omtrent 10,3m/s10,3 m/s10,3m/s.
  3. Dypeste punkt finnes fra z′(t)=−5+0,2t=0z'(t)=-5+0,2t=0z′(t)=−5+0,2t=0, altså t=25t=25t=25. Da er z=−312,5z=-312,5z=−312,5, så miniubåten er 312,5 m under havoverflaten.
  4. Avstanden til fiskestimen kan vurderes med d(t)2=(4t−40)2+(5t−60)2+(0,1t2−5t)2d(t)^{2}=(4t-40)^{2}+(5t-60)^{2}+(0,1t^{2}-5t)^{2}d(t)2=(4t−40)2+(5t−60)2+(0,1t2−5t)2.
  5. Digital kontroll gir minste avstand omtrent 39,8 m. Summen av fiskestimradius og miniubåtens halve diagonal er ca. 15+5,1=20,1m15+5,1=20,1 m15+5,1=20,1m, så det blir ikke kollisjon.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven bruker både derivasjon, avstandsmodell og praktisk størrelsesvurdering.

Oppgave 10

10

Vekselspenning som sinusmodell

📝 OppgaveLag modell for elektrisk spenning, finn tidspunkter og vurder effektivverdi. ✅ Modellbesvarelse
  1. Målingene passer en sinusmodell med periode T=0,020sT=0,020 sT=0,020s og amplitude omtrent 325 V.
  2. En god modell er U(t)=325sin⁡(100πt)U(t)=325\sin (100\pi t)U(t)=325sin(100πt), eventuelt U(t)=2302sin⁡(100πt)U(t)=230\sqrt{2}\sin (100\pi t)U(t)=2302 ​sin(100πt).
  3. U(t)=230U(t)=230U(t)=230 gir sin⁡(100πt)=1/2\sin (100\pi t)=1/\sqrt{2}sin(100πt)=1/2 ​. I første periode får vi t=0,0025st=0,0025 st=0,0025s og t=0,0075st=0,0075 st=0,0075s.
  4. Effektivverdien av 2302sin⁡(100πt)230\sqrt{2}\sin (100\pi t)2302 ​sin(100πt) over én periode blir 230 V. Målingene kan derfor stemme med norsk nettspenning.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret kobler måledata, periode, amplitude og effektivverdi på en ryddig måte.

Oppgave 11

11

Rekursiv modell for CCl4

📝 OppgaveVurder når en stoffmengde blir farlig, og finn utskillingsprosenten i en artikkelpåstand. ✅ Modellbesvarelse
  1. La M_n være mengden etter n netter. Modellen blir Mn=0,82MM_n=0,82MMn​=0,82M_(n-1)+2, fordi 82 % blir igjen og 2 enheter legges til.
  2. Eksplisitt kan modellen skrives Mn=2(1−0,82n)/0,18M_n=2(1-0,82^{n})/0,18Mn​=2(1−0,82n)/0,18.
  3. Løsningen Mn≥10M_n\ge 10Mn​≥10 gir n≥ln⁡(0,1)/ln⁡(0,82)n\ge \ln (0,1)/\ln (0,82)n≥ln(0,1)/ln(0,82), omtrent 11,6. Etter 11 netter er hun under 10, etter 12 netter over 10.
  4. Hvis grenseverdien skal være 10, må 2/(1−k)=102/(1-k)=102/(1−k)=10. Da er k=0,8k=0,8k=0,8, så kroppen må skille ut 20 % per dag.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen tolker en rekursiv modell, bruker grenseverdi og gir konklusjon i kontekst.

Oppgave 12

12

Numerisk integrasjon og trapesmetoden

📝 OppgaveForklar over- og underestimat for f(x)=32xf(x)=3^{2x}f(x)=32x, og lag en bedre metode. ✅ Modellbesvarelse
  1. Funksjonen f(x)=32x=9xf(x)=3^{2x}=9^{x}f(x)=32x=9x er strengt voksende på [0,2].
  2. Rektangler med venstre endepunkt gir for lav verdi, fordi høyden ligger under funksjonsverdiene i hvert delintervall.
  3. Rektangler med høyre endepunkt gir for høy verdi, fordi høyden ligger over funksjonsverdiene i hvert delintervall.
  4. En bedre metode er trapesmetoden: summer (f(x_i)+f(x_i+dx))/2 * dx over alle delintervallene.
  5. Med n=100n=100n=100 får vi omtrent 36,415, nær den eksakte verdien integralet fra 0 til 2 av 9x9^{x}9x dx = 80/ln9, omtrent 36,410.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret forklarer hvorfor metodene feiler og viser en mer presis numerisk metode. Relevante fagbegreper delvis integrasjon omdreiningslegeme integral med fortegn trigonometrisk likning radianer aritmetisk rekke geometrisk rekke konvergensområde kuleflate tangentplan avstand fra punkt til plan induksjonsbevis romkurve sinusmodell effektivverdi rekursiv modell trapesmetoden SEO-mal

Ofte stilte spørsmål

Hva handler R2 høst 2025 om?Settet dekker integrasjon, omdreiningslegemer, rekker, kuleflater, induksjon, romkurver, sinusmodeller og numerisk integrasjon.Hvilken fagkode har eksamenen?Eksamenen har fagkode REA3058.Hvor mange oppgaver er det?Eksamenen har 8 oppgaver uten hjelpemidler og 4 oppgaver med hjelpemidler.Hvordan får jeg høy måloppnåelse?Vis metodevalg, mellomregning, presis notasjon, dokumentert bruk av digitale verktøy og tydelig konklusjon i kontekst. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R2

Relaterte sider

Matematikk R2E

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo