Matematikk R2 eksamen høst 2024 - oppgaver og løsningsforslag

Se R2 høst 2024 med oppgavekort, modellbesvarelser og forklaringer til sterke eksamenssvar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R2

Eksamenssett.no: Løsningsforslag Matematikk R2R2R2 Høst 2024, brukt som kontroll for resultater og metodevalg.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Delvis integrasjon og trigonometrisk integral

📝 OppgaveRegn ut integralet av x2ln⁡xx^{2} \ln xx2lnx, og bestem x når et trigonometrisk integral fra 0 til x er null. ✅ Modellbesvarelse
  1. For integralet av x2ln⁡xx^{2} \ln xx2lnx bruker vi delvis integrasjon med u=ln⁡xu=\ln xu=lnx og v′=x2v'=x^{2}v′=x2. Da er u′=1/xu'=1/xu′=1/x og v=x3/3v=x^{3}/3v=x3/3.
  2. Vi får integralet x3ln⁡x/3x^{3} \ln x / 3x3lnx/3 - integralet av x2/3x^{2}/3x2/3 dx = x3ln⁡x/3−x3/9+Cx^{3} \ln x / 3 - x^{3}/9 + Cx3lnx/3−x3/9+C.
  3. For integralet fra 0 til x av sin⁡(πt+π/4)\sin (\pi t + \pi /4)sin(πt+π/4) dt får vi (cos⁡(π/4)−cos⁡(πx+π/4))/π(\cos (\pi /4)-\cos (\pi x + \pi /4))/\pi(cos(π/4)−cos(πx+π/4))/π.
  4. Setter vi dette lik 0, får vi cos⁡(πx+π/4)=cos⁡(π/4)\cos (\pi x + \pi /4)=\cos (\pi /4)cos(πx+π/4)=cos(π/4). I intervallet 0<x<pi gir det x=32x=\tfrac{3}{2}x=23​ og x=2x=2x=2.
  5. Praktisk betyr dette at positivt og negativt signert areal er like stort fra 0 til x.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven bruker delvis integrasjon riktig og tolker integralverdien som signert areal.

Oppgave 2

2

Rekker og periodisk desimaltall

📝 OppgaveFinn summen av en aritmetisk rekke, kvotienten i en geometrisk rekke og skriv et periodisk tall som brøk. ✅ Modellbesvarelse
  1. Rekken 3+7+11+...+399 har førsteledd 3, differanse 4 og sisteledd 399. Antall ledd er 100.
  2. Summen blir 100⋅(3+399)/2=20100100\cdot (3+399)/2 = 20 100100⋅(3+399)/2=20100.
  3. For en uendelig geometrisk rekke med a1=12a1=12a1=12 og sum 18 bruker vi S=a1/(1−k)S=a1/(1-k)S=a1/(1−k). Da får vi k=13k=\tfrac{1}{3}k=31​.
  4. Tallet 0,757575... kan skrives som 0,75+0,0075+0,000075+..., en geometrisk rekke med førsteledd 75100\tfrac{75}{100}10075​ og kvotient 1100\tfrac{1}{100}1001​.
  5. Summen blir 75100/99100=7599=2533\tfrac{75}{100}/\tfrac{99}{100}=\tfrac{75}{99}=\tfrac{25}{33}10075​/10099​=9975​=3325​. Dermed er 1,757575... = 1+2533=58331+\tfrac{25}{33} = \tfrac{58}{33}1+3325​=3358​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser både endelig aritmetisk rekke, uendelig geometrisk rekke og brøkform av periodisk desimaltall.

Oppgave 3

3

Vektorer i teltmodell

📝 OppgaveFinn arealet av en trekant i rommet og bestem toppunktet T fra en linje og en avstand. ✅ Modellbesvarelse
  1. Bunnen er trekanten ABC med AB=[3,1,2] og AC=[-1,3,1]. Kryssproduktet AB x AC = [-5,-5,10].
  2. Arealet blir 12⋅25+25+100=56/2\tfrac{1}{2}\cdot \sqrt{25+25+100}=5\sqrt{6}/221​⋅25+25+100 ​=56 ​/2.
  3. T ligger på linjen x=t,y=t,z=4tx=t, y=t, z=4tx=t,y=t,z=4t, altså T=(t,t,4t)T=(t,t,4t)T=(t,t,4t).
  4. Avstanden CT er 17\sqrt{17}17 ​, så (t+1)2+(t−3)2+(4t−1)2=17(t+1)^{2}+(t-3)^{2}+(4t-1)^{2}=17(t+1)2+(t−3)2+(4t−1)2=17.
  5. Dette gir 3t2−2t−1=03t^{2}-2t-1=03t2−2t−1=0, altså t=1t=1t=1 eller t=−13t=-\tfrac{1}{3}t=−31​. Siden toppunktet må ligge over bakken, velger vi t=1t=1t=1. Dermed er T=(1,1,4)T=(1,1,4)T=(1,1,4).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen bruker kryssprodukt og avstandsformel i rommet, og vurderer løsningen mot konteksten.

Oppgave 4

4

Radianer og eksakte trigonometriske verdier

📝 OppgaveForklar radianbegrepet, gjør om 80 grader til radianer og finn cos⁡v\cos vcosv og tan⁡v\tan vtanv når sin⁡v=−14\sin v=-\tfrac{1}{4}sinv=−41​. ✅ Modellbesvarelse
  1. Radianmål er forholdet mellom buelengde og radius: v=b/rv=b/rv=b/r.
  2. 80 grader tilsvarer 80⋅π/180=4π/980\cdot \pi /180 = 4\pi /980⋅π/180=4π/9 radianer.
  3. Når sin⁡v=−14\sin v=-\tfrac{1}{4}sinv=−41​ og v ligger i tredje kvadrant, er cos⁡v\cos vcosv negativ og tan⁡v\tan vtanv positiv.
  4. Fra sin⁡2v+cos⁡2v=1\sin ^{2} v + \cos ^{2} v = 1sin2v+cos2v=1 får vi cos⁡2v=1516\cos ^{2} v=\tfrac{15}{16}cos2v=1615​, så cos⁡v=−15/4\cos v=-\sqrt{15}/4cosv=−15 ​/4.
  5. Da blir tan⁡v=sin⁡v/cos⁡v=1/15=15/15\tan v = \sin v / \cos v = 1/\sqrt{15} = \sqrt{15}/15tanv=sinv/cosv=1/15 ​=15 ​/15.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret kombinerer definisjon, omregning og fortegn fra riktig kvadrant.

Oppgave 5

5

Sinusgraf skrevet som cosinus

📝 OppgaveSkriv en sinusfunksjon som cosinusfunksjon og løs en cosinuslikning i et gitt intervall. ✅ Modellbesvarelse
  1. Funksjonen f(x)=2sin⁡((π/4)x−π/2)−1f(x)=2\sin ((\pi /4)x - \pi /2)-1f(x)=2sin((π/4)x−π/2)−1 kan skrives som g(x)=2cos⁡((π/4)x−π)−1g(x)=2\cos ((\pi /4)x - \pi )-1g(x)=2cos((π/4)x−π)−1.
  2. Her er amplituden 2,c=π/42, c=\pi /42,c=π/4, faseleddet -pi og vertikal forskyvning -1.
  3. Likningen cos⁡((π/4)x−π)=12\cos ((\pi /4)x - \pi )=\tfrac{1}{2}cos((π/4)x−π)=21​ gir (π/4)x−π=+/−π/3+2(\pi /4)x - \pi = +/- \pi /3 + 2(π/4)x−π=+/−π/3+2npi.
  4. Dermed får vi x=83+8nx=\tfrac{8}{3}+8nx=38​+8n eller x=163+8nx=\tfrac{16}{3}+8nx=316​+8n.
  5. I intervallet 0≤x≤3π0\le x\le 3\pi0≤x≤3π ligger løsningene x=83x=\tfrac{8}{3}x=38​ og x=163x=\tfrac{16}{3}x=316​. På grafen er dette nullpunktene.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven bruker sammenhengen mellom sinus og cosinus og avgrenser løsningene mot intervallet.

Oppgave 6

6

Ball som faller fra tak

📝 OppgaveBruk en romkurve til å finne startposisjon, posisjon etter 0,5 s, trefftid, fart og tidspunkt for fart 10m/s10 m/s10m/s. ✅ Modellbesvarelse
  1. Ved t=0t=0t=0 er posisjonen [0,0,6], så taket er 6 m over bakken.
  2. Etter 0,5 s er posisjonen [1,2,4,425].
  3. Ballen treffer bakken når 6−0,7t−4,9t2=06-0,7t-4,9t^{2}=06−0,7t−4,9t2=0. Den positive løsningen er t omtrent 1,04 s.
  4. Fartsvektoren er r′(t)=[2,4,−0,7−9,8t]r'(t)=[2,4,-0,7-9,8t]r′(t)=[2,4,−0,7−9,8t]. Ved treff gir dette fart omtrent 11,8m/s11,8 m/s11,8m/s.
  5. Farten er 10m/s10 m/s10m/s når 20+(0,7+9,8t)2=10\sqrt{20+(0,7+9,8t)^{2}}=1020+(0,7+9,8t)2 ​=10. Dette gir t omtrent 0,84 s.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret skiller mellom posisjon, hastighetsvektor og fart, og bruker riktig positiv tid.

Oppgave 7

7

Påstander om plan, geometrisk rekke og areal

📝 OppgaveVurder tre matematiske påstander og begrunn sant/usant. ✅ Modellbesvarelse
  1. Påstanden om at tre punkter alltid bestemmer et plan er usann. Tre punkter må ikke ligge på samme linje for å bestemme et entydig plan.
  2. Rekken 1+(ln⁡x−1)+(ln⁡x−1)21+(\ln x-1)+(\ln x-1)^{2}1+(lnx−1)+(lnx−1)2+... har kvotient ln⁡x−1\ln x - 1lnx−1. For x=1/ex=1/ex=1/e blir kvotienten -2, og rekken divergerer. Påstanden om sum 13\tfrac{1}{3}31​ er derfor usann.
  3. For f(x)=x3−x2f(x)=x^{3}-x^{2}f(x)=x3−x2-ax og g(x)=−x2+xg(x)=-x^{2}+xg(x)=−x2+x blir differansen f−g=x3−(a+1)xf-g=x^{3}-(a+1)xf−g=x3−(a+1)x.
  4. Når a>-1, er skjæringspunktene -a+1,0\sqrt{a+1}, 0a+1 ​,0 og a+1\sqrt{a+1}a+1 ​. Differansen er en odde funksjon, og områdene på hver side av 0 får samme areal.
  5. Påstanden om like store områder er derfor sann.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen gir korte, presise begrunnelser og bruker både geometri, konvergens og symmetri.

Oppgave 8

8

Jordbær som omdreiningslegeme

📝 OppgaveBruk integrasjon og en modell for radiusen til å anslå volumet av et jordbær. ✅ Modellbesvarelse
  1. Vi legger x-aksen langs jordbærets symmetriakse og lar r(x)r(x)r(x) være radiusen i cm.
  2. Fra figuren kan radius avleses omtrent som 0, 1,0, 1,6, 1,8, 1,7 og 0,5 for x=0,1,2,3,4,5x=0,1,2,3,4,5x=0,1,2,3,4,5.
  3. Volumet kan beregnes med V=πV=\piV=π*integralet fra 0 til 5 av r(x)2r(x)^{2}r(x)2 dx.
  4. Bruker vi trapesmetoden på de avleste radiusene, får vi V omtrent pi*9,815, altså ca. 30,8 cm^3.
  5. Svaret virker rimelig, men må kommenteres fordi jordbær ikke er perfekt rotasjonssymmetrisk.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven modellerer, bruker omdreiningsformel og vurderer rimeligheten i svaret.

Oppgave 9

9

Fartsmodell for russebil

📝 OppgaveBruk en periodisk fartsmodell til å finne gjennomsnittsfart, akselerasjon og kjøretid. ✅ Modellbesvarelse
  1. Farten kan omskrives til v(t)=6cos⁡(360t)+54v(t)=6\cos (360t)+54v(t)=6cos(360t)+54, der t er målt i timer.
  2. Strekningen etter t timer er integralet av farten: s(t)=sin⁡(360t)/60+54ts(t)=\sin (360t)/60 + 54ts(t)=sin(360t)/60+54t.
  3. Gjennomsnittsfarten blir s(t)/t=sin⁡(360t)/(60t)+54s(t)/t = \sin (360t)/(60t)+54s(t)/t=sin(360t)/(60t)+54. Første gang denne er 54 km/t, får vi sin⁡(360t)=0\sin (360t)=0sin(360t)=0, altså t=π/360t=\pi /360t=π/360 timer, ca. 31,4 s.
  4. Akselerasjonen er v′(t)=−2160sin⁡(360t)v'(t)=-2160\sin (360t)v′(t)=−2160sin(360t). Størst absoluttverdi er 2160 km/t2t^{2}t2, ca. 0,167m/s20,167 m/s^{2}0,167m/s2.
  5. For 2 km til garasjen løser vi sin⁡(360t)/60+54t=2\sin (360t)/60+54t=2sin(360t)/60+54t=2. Numerisk gir dette omtrent 0,0367 timer, ca. 2 min 12 s.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret kobler fart, strekning, gjennomsnittsfart og akselerasjon tydelig sammen.

Oppgave 10

10

Rekursiv følge og program

📝 OppgaveFinn rekursiv formel for en tallfølge og lag programidé for summen av de 30 første leddene. ✅ Modellbesvarelse
  1. Tallfølgen 1, 2, 6, 15, 31, 56, ... har første differanser 1, 4, 9, 16, 25, ...
  2. Dermed kan vi skrive a1=1a_1=1a1​=1 og a_(n+1)=an+n2(n+1)=a_n+n^{2}(n+1)=an​+n2 for n≥1n\ge 1n≥1.
  3. Et program kan starte med a=1a=1a=1 og s=1s=1s=1, og deretter kjøre for n=1n=1n=1 til 29: a=a+n2a=a+n^{2}a=a+n2 og s=s+as=s+as=s+a.
  4. Da får vi a30=8556a_30=8556a3​0=8556 og summen av de 30 første leddene 67 455.
  5. Poenget er å initialisere første ledd før løkken, slik at løkken lager 29 nye ledd.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser mønsteret i differansene og oversetter rekursjonen til et presist program.

Oppgave 11

11

Volum av torus

📝 OppgaveVis at en sirkel med sentrum S(a,0)S(a,0)S(a,0) og radius R, rotert om y-aksen, får volum 2π2R2a2\pi ^{2}R^{2}a2π2R2a. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sirkelen har likning (x−a)2+y2=R2(x-a)^{2}+y^{2}=R^{2}(x−a)2+y2=R2. For en gitt y er ytre radius x2=a+R2−y2x_2=a+\sqrt{R^{2}-y^{2}}x2​=a+R2−y2 ​ og indre radius x1=a−R2−y2x_1=a-\sqrt{R^{2}-y^{2}}x1​=a−R2−y2 ​.
  2. Ved rotasjon om y-aksen blir skivearealet π(x22−x12)\pi (x_2^{2}-x_1^{2})π(x22​−x12​).
  3. Differansen x22−x12=(x2+x1)(x2−x1)=2a⋅2R2−y2=4aR2−y2x_2^{2}-x_1^{2} = (x_2+x_1)(x_2-x_1)=2a\cdot 2\sqrt{R^{2}-y^{2}}=4a \sqrt{R^{2}-y^{2}}x22​−x12​=(x2​+x1​)(x2​−x1​)=2a⋅2R2−y2 ​=4aR2−y2 ​.
  4. Volumet blir 4πa4\pi a4πa * integralet fra -R til R av R2−y2\sqrt{R^{2}-y^{2}}R2−y2 ​ dy.
  5. Integralverdien er arealet av en halvsirkel med radius R, altså πR2/2\pi R^{2}/2πR2/2. Dermed er V=2π2R2aV=2\pi ^{2}R^{2}aV=2π2R2a.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker skivemetoden og en effektiv algebraisk forenkling før halvsirkelintegralet brukes. Relevante fagbegreper delvis integrasjon trigonometrisk integral signert areal aritmetisk rekke geometrisk rekke konvergens periodisk desimaltall kryssprodukt avstandsformel radianer sinusfunksjon cosinusfunksjon romkurve fartsvektor påstandsdrøfting omdreiningslegeme gjennomsnittsfart rekursiv følge torus skivemetoden SEO-mal

Ofte stilte spørsmål

Hva handler R2 høst 2024 om?Settet dekker delvis integrasjon, rekker, vektorer i rommet, radianer, trigonometriske funksjoner, romkurver, omdreiningslegemer, fartsmodeller, rekursive følger og torusvolum.Hvilken fagkode har eksamenen?Eksamenen har fagkode REA3058.Hvor mange oppgaver er det?Eksamenen har 5 oppgaver uten hjelpemidler og 6 oppgaver med hjelpemidler.Hvordan får jeg høy måloppnåelse?Vis metodevalg, mellomregning, presis notasjon, dokumentert bruk av digitale verktøy og tydelig konklusjon i kontekst. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R2

Relaterte sider

Matematikk R2

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo