Matematikk R2 eksamen høst 2023 - oppgaver og løsningsforslag

Se R2 høst 2023 med oppgavekort, modellbesvarelser og forklaringer til sterke eksamenssvar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R2

Eksamenssett.no: Løsningsforslag Matematikk R2R2R2 Høst 2023, brukt som kontroll for resultater og metodevalg.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Odde funksjon og bestemt integral

📝 OppgaveRegn ut integralet av x3+2xx^{3}+2xx3+2x fra -1 til 1, og forklar hva svaret forteller. ✅ Modellbesvarelse
  1. Funksjonen f(x)=x3+2xf(x)=x^{3}+2xf(x)=x3+2x er odde, fordi f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x).
  2. Når en odde funksjon integreres over et symmetrisk intervall [-a,a], blir integralet 0.
  3. Vi kan også kontrollere med antiderivert F(x)=x4/4+x2F(x)=x^{4}/4+x^{2}F(x)=x4/4+x2.
  4. Da blir F(1)−F(−1)=54−54=0F(1)-F(-1)=\tfrac{5}{4}-\tfrac{5}{4}=0F(1)−F(−1)=45​−45​=0.
  5. Svaret betyr at signert areal over og under x-aksen er like stort og kansellerer hverandre.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven bruker symmetri som effektiv metode og tolker integralverdien grafisk.

Oppgave 2

2

Delvis integrasjon

📝 OppgaveRegn ut integralet av 2x⋅ex2x\cdot e^{x}2x⋅ex. ✅ Modellbesvarelse
  1. Vi bruker delvis integrasjon med u=2xu=2xu=2x og v′=exv'=e^{x}v′=ex.
  2. Da er u′=2u'=2u′=2 og v=exv=e^{x}v=ex.
  3. Integralformelen gir integralet 2xex2x e^{x}2xex - integralet 2ex2e^{x}2ex dx.
  4. Dermed får vi 2xex−2ex+C2x e^{x} - 2e^{x} + C2xex−2ex+C.
  5. Svaret kan skrives 2ex(x−1)+C2e^{x}(x-1)+C2ex(x−1)+C.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen velger riktige faktorer og forenkler svaret pent.

Oppgave 3

3

Trigonometrisk likning med integral

📝 OppgaveBestem a slik at integralet av cos⁡x\cos xcosx fra 0 til a blir 1. ✅ Modellbesvarelse
  1. Integralet av cos⁡x\cos xcosx er sin⁡x\sin xsinx.
  2. Fra 0 til a får vi sin⁡a−sin⁡0=sin⁡a\sin a - \sin 0 = \sin asina−sin0=sina.
  3. Kravet blir sin⁡a=1\sin a = 1sina=1.
  4. Den generelle løsningen er a=π/2+2a = \pi /2 + 2a=π/2+2kpi.
  5. I et vanlig hovedintervall er løsningen a=π/2a=\pi /2a=π/2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven går fra integral til trigonometrisk likning uten unødvendige mellomledd.

Oppgave 4

4

Uendelig geometrisk rekke

📝 OppgaveFinn x når 2+2x+2x22+2x+2x^{2}2+2x+2x2+... har sum 10. ✅ Modellbesvarelse
  1. Rekken er geometrisk med førsteledd 2 og kvotient x.
  2. For |x|<1 er summen S=2/(1−x)S=2/(1-x)S=2/(1−x).
  3. Setter vi 2/(1−x)=102/(1-x)=102/(1−x)=10, får vi 2=10−10x2=10-10x2=10−10x.
  4. Dermed er x=45x=\tfrac{4}{5}x=54​.
  5. Siden |45∣<1\tfrac{4}{5}|<154​∣<1, er løsningen gyldig.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen sjekker konvergensvilkåret, ikke bare likningen.

Oppgave 5

5

Plan, normalvektor og avstand

📝 OppgaveBestem en normal linje gjennom A(4,2,2)A(4,2,2)A(4,2,2) til planet x−2y+2z+1=0x-2y+2z+1=0x−2y+2z+1=0, og finn avstanden fra A til planet. ✅ Modellbesvarelse
  1. Normalvektoren til planet er n=[1,−2,2]n=[1,-2,2]n=[1,−2,2].
  2. Linjen gjennom A med denne retningsvektoren får parameterframstillingen x=4+t,y=2−2t,z=2+2tx=4+t, y=2-2t, z=2+2tx=4+t,y=2−2t,z=2+2t.
  3. Avstanden fra punkt til plan er |ax_0+by_0+cz_0+d∣/a2+b2+c20+d|/\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}0+d∣/a2+b2+c2 ​.
  4. Setter vi inn A(4,2,2)A(4,2,2)A(4,2,2), får vi |4−4+4+1∣/1+4+4=534-4+4+1|/\sqrt{1+4+4}=\tfrac{5}{3}4−4+4+1∣/1+4+4 ​=35​.
  5. Avstanden fra A til planet er derfor 53\tfrac{5}{3}35​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker planlikningen direkte til å finne både normalretning og avstand.

Oppgave 6

6

Pythonkode og areal med absoluttverdi

📝 OppgaveForklar hva et program med abs(x2−1x^{2}-1x2−1) beregner, og finn verdien ved regning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Programmet summerer abs(f(x)f(x)f(x))*dx for f(x)=x2−1f(x)=x^{2}-1f(x)=x2−1 på intervallet [-2,2].
  2. Det betyr at det tilnærmer arealet mellom grafen til x2−1x^{2}-1x2−1 og x-aksen.
  3. Nullpunktene er x=−1x=-1x=−1 og x=1x=1x=1, så integralet må deles opp ved disse punktene.
  4. På [0,1] er |x2−1∣=1−x2x^{2}-1|=1-x^{2}x2−1∣=1−x2, og på [1,2] er |x2−1∣=x2−1x^{2}-1|=x^{2}-1x2−1∣=x2−1. Symmetri gir dobbelt av integralet fra 0 til 2.
  5. Verdien blir 2⋅(23+43)=42\cdot (\tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3})=42⋅(32​+34​)=4.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven forstår hvorfor absoluttverdi endrer integralet til et areal.

Oppgave 7

7

Avkortet pyramide og kryssprodukt

📝 OppgaveBruk vektorregning til å bestemme arealet av sideflaten BCGF i en avkortet pyramide. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sideflaten BCGF deles i trekantene BCG og BGF.
  2. For BCG kan vi bruke BC=[-4,0,0] og BG=[-3,-1,3]. Kryssproduktet blir [0,12,4].
  3. Arealet av trekant BCG er 12⋅160=210\tfrac{1}{2}\cdot \sqrt{160}=2\sqrt{10}21​⋅160 ​=210 ​.
  4. For BGF bruker vi BG=[-3,-1,3] og BF=[-1,-1,3]. Kryssproduktet blir [0,6,2].
  5. Arealet av trekant BGF er 10\sqrt{10}10 ​, og hele sideflaten får areal 3103\sqrt{10}310 ​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen deler en romlig firkant i to trekanter og bruker kryssproduktet presist.

Oppgave 8

8

Tidevann som periodisk modell

📝 OppgaveLag en sinusmodell for vannstanden, finn når vannstanden øker raskest, og bestem seneste starttid for sleping. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fra tabellen er største vannstand omtrent 119 cm og minste omtrent 53,4 cm. Dermed blir likevektslinjen d=86,2d=86,2d=86,2 og amplituden A=32,8A=32,8A=32,8.
  2. Det er omtrent 12 timer mellom like faser, så c=2π/12=π/6c=2\pi /12=\pi /6c=2π/12=π/6.
  3. Siden toppunktet ligger rundt t=3t=3t=3, passer modellen f(t)=32,8sin⁡((π/6)t)+86,2f(t)=32,8 \sin ((\pi /6)t)+86,2f(t)=32,8sin((π/6)t)+86,2.
  4. Vannstanden øker raskest når cos⁡((π/6)t)=1\cos ((\pi /6)t)=1cos((π/6)t)=1, altså ved t=24t=24t=24 og t=36t=36t=36 den 25. april. På dagtid er dette kl. 12:00.
  5. Løser vi f(t)>90f(t)>90f(t)>90, får vi en relevant periode omtrent kl. 12:13-17:47. Siden slepingen tar 2 timer, er seneste start omtrent kl. 15:47.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven bruker dataene til å lage modell, deriverer for størst vekst og tolker svaret i klokketid.

Oppgave 9

9

Rekursive pentagontall

📝 OppgaveBeskriv en rekursiv sammenheng for pentagontall, lag program for P_100 og finn eksplisitt formel med induksjon. ✅ Modellbesvarelse
  1. Tallfølgen er P1=1,P2=6,P3=16,P4=31P_1=1, P_2=6, P_3=16, P_4=31P1​=1,P2​=6,P3​=16,P4​=31 og P5=51P_5=51P5​=51.
  2. Differansene er 5, 10, 15, 20, ..., altså øker figurtallet med 5(n-1) fra P_(n-1) til P_n.
  3. Den rekursive formelen er Pn=PP_n=PPn​=P_(n-1)+5(n-1), med P1=1P_1=1P1​=1.
  4. Et program kan starte med P=1P=1P=1 og kjøre n fra 2 til 100 med P=P+5⋅(n−1)P=P+5\cdot (n-1)P=P+5⋅(n−1). Da får vi P100=24751P_100=24 751P1​00=24751.
  5. Ved summering får vi Pn=1+5⋅n(n−1)/2P_n=1+5\cdot n(n-1)/2Pn​=1+5⋅n(n−1)/2, altså (5n2−5n+2)/2(5n^{2}-5n+2)/2(5n2−5n+2)/2. Induksjon viser at formelen gir riktig neste ledd.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven kobler figurutvikling, program og eksplisitt formel på en ryddig måte.

Oppgave 10

10

Tønne som omdreiningslegeme

📝 OppgaveBruk en parabelmodell og integrasjon til å bestemme volumet av en tønne. ✅ Modellbesvarelse
  1. Legg x-aksen langs tønna og origo i midten. Radiusen er 26 cm i midten og 22,5 cm ved endene.
  2. En symmetrisk parabelmodell kan skrives r(x)r(x)r(x)=ax^2+26.
  3. Når r(37,5)=22,5r(37,5)=22,5r(37,5)=22,5 får vi a=−145625a=-\tfrac{14}{5625}a=−562514​, omtrent -0,002489.
  4. Volumet blir V=πV=\piV=π*integralet fra -37,5 til 37,5 av r(x)2r(x)^{2}r(x)2 dx.
  5. CAS gir V omtrent 145 571 cm^3, altså ca. 145,6 liter. Svaret er rimelig fordi det ligger mellom volumet av sylindre med radius 22,5 cm og 26 cm.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen bygger en modell fra geometrien og vurderer svaret mot en enkel referanse.

Oppgave 11

11

Luftforurensning som sinusmodell

📝 OppgaveBestem A, c og d i en sinusmodell for luftforurensning, og finn det andre tidspunktet der M(t)=27M(t)=27M(t)=27. ✅ Modellbesvarelse
  1. Største verdi er 31,2 og minste verdi er 18,2. Likevektslinjen blir d=(31,2+18,2)/2=24,7d=(31,2+18,2)/2=24,7d=(31,2+18,2)/2=24,7.
  2. Amplituden blir A=(31,2−18,2)/2=6,5A=(31,2-18,2)/2=6,5A=(31,2−18,2)/2=6,5.
  3. Perioden er 24 timer, så c=2π/24=π/12c=2\pi /24=\pi /12c=2π/24=π/12.
  4. Modellen kan skrives M(t)=6,5sin⁡((π/12)t+k)+24,7M(t)=6,5 \sin ((\pi /12)t+k)+24,7M(t)=6,5sin((π/12)t+k)+24,7.
  5. Når M(13)=27M(13)=27M(13)=27 og verdien er på stigende del, gir symmetri rundt maksimum det andre tidspunktet omtrent kl. 22:14.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven tolker amplitude, periode og likevektslinje før tidspunktet bestemmes med trigonometrisk symmetri.

Oppgave 12

12

Romkurve og smygplan

📝 OppgaveUndersøk tangenter, ortogonalitet og smygplan for to romkurver. ✅ Modellbesvarelse
  1. For r1(t)=[sin⁡t,t,cos⁡t]r_1(t)=[\sin t, t, \cos t]r1​(t)=[sint,t,cost] er r1′(t)=[cos⁡t,1,−sin⁡t]r_1'(t)=[\cos t,1,-\sin t]r1′​(t)=[cost,1,−sint]. Tangenten er parallell med xy-planet når z-komponenten er 0, altså ved t=πt=\pit=π.
  2. Punktet blir (0, pi, -1).
  3. Den andrederiverte er r1′′(t)=[−sin⁡t,0,−cos⁡t]r_1''(t)=[-\sin t,0,-\cos t]r1′′​(t)=[−sint,0,−cost], og skalarproduktet r_1'(t) dot r1′′(t)=0r_1''(t)=0r1′′​(t)=0 for alle t.
  4. Normalvektoren til smygplanet er [−cos⁡t,1,sin⁡t][-\cos t,1,\sin t][−cost,1,sint]. Vinkelen mellom denne og y-aksen er 45 grader, og derfor er vinkelen mellom y-aksen og smygplanet også 45 grader.
  5. For r2(t)=[sin⁡t,t,2sin⁡t+1]r_2(t)=[\sin t,t,2\sin t+1]r2​(t)=[sint,t,2sint+1] får smygplanet normalvektor [-2,0,1] når sin⁡t\sin tsint ikke er 0. Kurven ligger derfor i det faste planet z=2x+1z=2x+1z=2x+1.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen bruker derivasjon, skalarprodukt og kryssprodukt til å gi en geometrisk tolkning. Relevante fagbegreper odde funksjon bestemt integral signert areal delvis integrasjon trigonometrisk integral geometrisk rekke konvergens kryssprodukt normalvektor pyramide radianer sinusfunksjon periode tidevann periodisk modell derivasjon rekursiv følge figurtall induksjonsbevis omdreiningslegeme parabelmodell luftforurensning romkurve smygplan SEO-mal

Ofte stilte spørsmål

Hva handler R2 høst 2023 om?Settet dekker integrasjon, delvis integrasjon, trigonometriske integraler, geometriske rekker, vektorer i rommet, sinusfunksjoner, tidevann, figurtall, omdreiningslegemer, luftforurensning og smygplan.Hvilken fagkode har eksamenen?Eksamenen har fagkode REA3058.Hvor mange oppgaver er det?Eksamenen har 6 oppgaver uten hjelpemidler og 5 oppgaver med hjelpemidler.Hvordan får jeg høy måloppnåelse?Vis metodevalg, mellomregning, presis notasjon, dokumentert bruk av digitale verktøy og tydelig konklusjon i kontekst. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R2

Relaterte sider

Matematikk R2Eksamensoppgaver

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo