Matematikk R2 eksamen vår 2021 - oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk R2

Dette eksamenssettet trener derivasjon og integrasjon, trigonometriske likninger, aritmetiske og geometriske rekker, separable differensiallikninger, andreordens differensiallikninger, plan i rommet, spareavtaler, trigonometrisk modellering, pyramidegeometri, kuleflate og praktisk bensinmodell.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Integral og derivasjonsforståelse

📝 OppgaveKoble grafene til f, f' og f'' og regn ut grunnleggende integraler. ✅ Modellbesvarelse

1. Bruk nullpunktene til den deriverte for å finne topp- og bunnpunkter på funksjonen.
2. Bruk fortegnet til den deriverte for å avgjøre hvor funksjonen vokser og avtar.
3. Når et integral inneholder 1/x1/x1/x, er antiderivert ln⁡∣x∣\ln |x|ln∣x∣.
4. Sett inn grensene i riktig rekkefølge: F(øvre grense)-F(nedre grense).
5. Forklar kort hvordan grafisk informasjon og regning støtter samme konklusjon.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven viser både grafisk og algebraisk forståelse, som er typisk for sterke del 1-svar.

Oppgave 2

2

Trigonometriske likninger

📝 OppgaveLøs 2sin⁡(2x−π)=32\sin (2x-\pi )=32sin(2x−π)=3 og 2cos⁡2(x)+cos⁡(x)−1=0i2\cos ^{2}(x)+\cos (x)-1=0 i2cos2(x)+cos(x)−1=0i intervallet [0,2π][0,2\pi ][0,2π]. ✅ Modellbesvarelse

1. Isoler trigonometrileddet før du bruker enhetssirkelen eller CAS-kontroll.
2. For sinuslikningen må du ta hensyn til at vinkelen er 2x−π2x-\pi2x−π.
3. For cosinuslikningen kan du sette u=cos⁡(x)u=\cos (x)u=cos(x) og løse andregradslikningen 2u2+u−1=02u^{2}+u-1=02u2+u−1=0.
4. Forkast cosinusverdier som ikke kan forekomme, og finn x-verdier i intervallet.
5. Avslutt med en samlet løsningsmengde i radianer.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser presis intervallkontroll og håndterer både sammensatt vinkel og substitusjon.

Oppgave 3

3

Aritmetisk rekke

📝 OppgaveBruk at summen i en aritmetisk rekke er gitt ved sn=3n2+4ns_n=3n^{2}+4nsn​=3n2+4n til å bestemme a_3. ✅ Modellbesvarelse

1. Når summen s_n er kjent, finner vi leddet a_n ved differansen s_n-s_(n-1).
2. Regn først ut s_3 og s_2.
3. Deretter er a3=s3−s2a_3=s_3-s_2a3​=s3​−s2​.
4. Denne metoden er tryggere enn å prøve å finne eksplisitt formel for alle ledd først.
5. Skriv en kort konklusjon med verdien av tredje ledd.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven bruker definisjonen av delsummen direkte og elegant.

Oppgave 4

4

Geometrisk rekke

📝 OppgaveEn uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6, og summen av de tre første leddene er 389\tfrac{38}{9}938​. Bestem b_4. ✅ Modellbesvarelse

1. La første ledd være b_1 og kvotienten k.
2. Bruk uendelig sum: b1/(1−k)=6b_1/(1-k)=6b1​/(1−k)=6, med |k|<1.
3. Bruk summen av de tre første leddene: b1(1+k+k2)=389b_1(1+k+k^{2})=\tfrac{38}{9}b1​(1+k+k2)=938​.
4. Løs likningssystemet og kontroller at kvotienten oppfyller konvergenskravet.
5. Finn deretter b4=b1⋅k3b_4=b_1\cdot k^{3}b4​=b1​⋅k3.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser strukturert rekkearbeid og sjekker gyldighet før sluttverdien oppgis.

Oppgave 5

5

Differensiallikning og tangent

📝 OppgaveLøs y′=2x⋅y2y'=2x\cdot y^{2}y′=2x⋅y2 og finn tangenten til løsningskurven gjennom (2,1). ✅ Modellbesvarelse

1. Likningen er separabel: dy/y2=2xy^{2} = 2xy2=2x dx.
2. Integrer begge sider og løs for y.
3. Bruk punktet (2,1) til å bestemme konstanten.
4. Stigningstallet i punktet finnes direkte fra differensiallikningen: y′=2⋅2⋅12=4y'=2\cdot 2\cdot 1^{2}=4y′=2⋅2⋅12=4.
5. Tangenten blir y−1=4(x−2)y-1=4(x-2)y−1=4(x−2), eventuelt skrevet som y=4x−7y=4x-7y=4x−7.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven utnytter både generell løsning og differensiallikningen direkte for tangentstigning.

Oppgave 6

6

Spareavtale og månedlig rente

📝 OppgaveAnalyser månedlige innskudd på 1000 kroner med fast månedlig rentefot. ✅ Modellbesvarelse

1. Skriv spareavtalen som en geometrisk sum der hvert innskudd får rente i riktig antall måneder.
2. For 0,25 prosent per måned brukes vekstfaktoren 1,0025.
3. Beløpet etter innskudd nummer 40 finnes med summen av en endelig geometrisk rekke.
4. For å finne når saldoen passerer 50 000 kroner, løses ulikheten digitalt eller med logaritmer.
5. Når aksjefondverdien er 47 900 kroner etter 40 innskudd, kan tilsvarende fast rentefot bestemmes med CAS.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser økonomisk modellering med tydelig renteperiode og riktig sumstruktur.

Oppgave 7

7

Trigonometrisk modell

📝 OppgaveUndersøk f(x)=cos⁡(2x)−2cos⁡(x)+2f(x)=\cos (2x)-2\cos (x)+2f(x)=cos(2x)−2cos(x)+2 og skriv uttrykket på formen acos⁡2(x)+bcos⁡(x)+ca \cos ^{2}(x)+b \cos (x)+cacos2(x)+bcos(x)+c. ✅ Modellbesvarelse

1. Tegn grafen og les perioden som kontroll.
2. Bruk identiteten cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)−1\cos (2x)=2\cos ^{2}(x)-1cos(2x)=2cos2(x)−1.
3. Da blir f(x)=2cos⁡2(x)−1−2cos⁡(x)+2f(x)=2\cos ^{2}(x)-1-2\cos (x)+2f(x)=2cos2(x)−1−2cos(x)+2.
4. Samle ledd: f(x)=2cos⁡2(x)−2cos⁡(x)+1f(x)=2\cos ^{2}(x)-2\cos (x)+1f(x)=2cos2(x)−2cos(x)+1.
5. Dermed er a=2,b=−2a=2, b=-2a=2,b=−2 og c=1c=1c=1.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven bruker en sentral trigonometrisk identitet og dokumenterer både grafisk og algebraisk arbeid.

Oppgave 8

8

Plan, pyramide og kuleflate

📝 OppgaveArbeid med planet x+y+t⋅z=4x+y+t\cdot z=4x+y+t⋅z=4, skjæringspunkter, pyramidevolum og tangering av kuleflate. ✅ Modellbesvarelse

1. Finn skjæring med aksene ved å sette de to andre koordinatene lik null.
2. Skjæringspunktene danner en pyramide sammen med koordinatplanene.
3. Volumet kan uttrykkes med akseskjæringene og settes lik 10 for å bestemme t.
4. Ved kuleflate med sentrum S(−1,2,1)S(-1,2,1)S(−1,2,1) og radius 2 brukes avstand fra punkt til plan.
5. CAS kan løse t-verdien når avstanden fra sentrum til planet settes lik radius.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen binder sammen planlikning, romgeometri og CAS-kontroll i én ryddig modell.

Oppgave 9

9

Bensinmodell som differensiallikning

📝 OppgaveModeller en bil der forbruket er 0,70 liter per mil og lekkasjen er proporsjonal med bensinmengden. ✅ Modellbesvarelse

1. La V(x)V(x)V(x) være liter bensin igjen etter x mil.
2. Fast motorforbruk gir leddet -0,70.
3. Lekkasje proporsjonal med tankinnholdet gir leddet -0,01V0,01V0,01V.
4. Differensiallikningen blir V′=−0,70−0,01VV'=-0,70-0,01VV′=−0,70−0,01V med V(0)=60V(0)=60V(0)=60.
5. Løs modellen, bruk den til 40 mil, og vurder maksdistanse når V(x)=0V(x)=0V(x)=0.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven forklarer hvorfor modellen ser slik ut før den brukes til beregninger.

Oppgave 10

10

Eksamenstrategi for K06-sett

📝 OppgaveForklar hvordan en sterk R2R2R2-besvarelse bør struktureres i eldre REA3024-sett. ✅ Modellbesvarelse

1. Del 1 krever kort og presis føring uten digitale verktøy.
2. Del 2 belønner tydelig dokumentasjon av CAS, graf og numeriske metoder.
3. Skriv alltid hva variablene betyr før du tolker et svar.
4. Bruk konklusjonslinjer med enhet, intervall eller geometrisk betydning.
5. Et sterkt svar viser metodevalg, kontroll og rimelighet uten å bli unødvendig langt.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEleven viser eksamensmodenhet: korte svar der det er enkelt, og forklaring der metoden trenger begrunnelse. Relevante fagbegreper REA3024 K06K06K06 integral derivasjon trigonometriske likninger radianer aritmetisk rekke geometrisk rekke konvergens separabel differensiallikning tangent andreordens differensiallikning spareavtale månedlig rentefot trigonometrisk identitet planlikning akseskjæring pyramide kuleflate punkt-plan-avstand CAS bensinmodell modellering SEO-mal

Ofte stilte spørsmål

Hva handler R2 vår 2021 om?Settet dekker integrasjon, derivasjonsforståelse, trigonometriske likninger, aritmetiske og geometriske rekker, differensiallikninger, spareavtale, plan, pyramide, kuleflate, CAS og bensinmodell.Hvilken fagkode har eksamenen?Eksamenen er en eldre K06K06K06-eksamen med fagkode REA3024.Hvor mange oppgavekort er med i denne Ifingo-filen?Filen er strukturert med 5 korte del 1-kort og 5 del 2-kort for publisering og repetisjon.Hvordan får jeg høy måloppnåelse?Vis oppsett, forklar metodevalg, dokumenter CAS-bruk, vurder rimelighet og skriv tydelig konklusjon med enhet der det trengs. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R2

Relaterte sider

Matematikk R2EksamensoppgaverMatematikk