Kjerneregelen, produktregelen, kvotientregelen, implisitt derivasjon og andrederiverte.
Derivasjon – avanserte metoder
Vi bygger videre på grunnleggende derivasjonsregler og introduserer kjerneregelen, produktregelen og kvotientregelen for sammensatte funksjoner.
2A Kjerneregelen 2B Produktregelen og kvotientregelen 2C Derivasjon av trigonometriske funksjoner 2D Andrederiverte og vendepunkter
2A · Kjerneregelen
Kjerneregelen (chain rule) brukes når vi deriverer en sammensatt funksjon \(f(g(x))\):
📌 Kjerneregelen
$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Alternativt: Deriver «det ytre» × «det indre».
✅ Eksempel
Deriver \(h(x) = (3x^2 + 1)^5\).
$h'(x) = 5(3x^2+1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2+1)^4$ [answer: Deriver f(x) = (2x + 3)^4 med kjerneregelen. Hva er f'(x) når x=0? | 216 | f'(x) = 4(2x+3)^3 · 2 = 8(2x+3)^3. Ved x=0: 8·27 = 216]
2B · Produktregelen og kvotientregelen
📌 Regler
Produktregelen: \([f \cdot g]' = f' \cdot g + f \cdot g'\)
Kvotientregelen: \(\left[\dfrac{f}{g}\right]' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\)
✅ Eksempel – produktregelen
Deriver \(p(x) = x^2 \cdot e^x\).
$p'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)$ [answer: Deriver q(x) = x / (x + 1) med kvotientregelen. Hva er q'(x) forenklet? | 1/(x+1)^2 | q'(x) = (1·(x+1) - x·1)/(x+1)^2 = 1/(x+1)^2]
2C · Derivasjon av trigonometriske funksjoner
📌 Derivasjonsregler
- \((\sin x)' = \cos x\)
- \((\cos x)' = -\sin x\)
- \((\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\)
[answer: Hva er den deriverte av sin(2x)? Bruk kjerneregelen. | 2cos(2x) | Ytre: cos(u) · Indre: 2 gir 2cos(2x)]
2D · Andrederiverte og vendepunkter
Andrederiverte \(f''(x)\) forteller om konveksitet:
- \(f''(x) > 0\): funksjonen er konveks (konkav opp) – kurven buer oppover.
- \(f''(x) < 0\): funksjonen er konkav (konkav ned) – kurven buer nedover.
- Vendepunkt der \(f''(x) = 0\) og \(f''\) skifter fortegn.
[answer: Funksjonen f(x) = x^3 - 3x. Hva er x-koordinaten til vendepunktet? | 0 | f''(x) = 6x = 0 gir x = 0] 🧩
Sjekk deg selv
[answer: Deriver f(x) = e^(3x). Hva er f'(x)? | 3e^(3x) | Kjerneregelen: derivert av e^u er e^u · u'. Her u = 3x, u' = 3.] [answer: Er x = 2 et bunnpunkt for f(x) = x^2 - 4x + 5? Skriv ja eller nei. | ja | f'(x) = 2x - 4 = 0 gir x = 2. f''(2) = 2 > 0 → bunnpunkt.]