Vektorer i planet

Vektorbegrepet, regneregler, koordinater, skalarprodukt og vektorlikninger for linjer.

Vektorer i planet

Vektorer har både størrelse og retning. De er uunnværlige i fysikk (krefter, bevegelse) og geometri, og danner grunnlaget for lineær algebra i høyere studier.

5A Vektorbegrepet 5B Addisjon og skalarmultiplikasjon 5C Koordinater og lengde 5D Skalarprodukt og vinkel 5E Vektorer og linjer

🎯 Eksamenskrav – dette må du kunne

✦ Addere, subtrahere og skalere vektorer komponentvis
✦ Beregne lengden (beløpet) til en vektor
✦ Beregne skalarproduktet og bruke det til å finne vinkelen
✦ Avgjøre om to vektorer er ortogonale eller parallelle
✦ Skrive parameterrepresentasjon for en linje og finne skjæringspunkt

5A · Vektorbegrepet

En vektor $\vec{v}$ er en størrelse med både lengde og retning. To vektorer er like når de har samme lengde og retning – uavhengig av startpunkt.

Spesialtilfeller: nullvektor $\vec{0}$ (lengde 0), enhetsvektor $\hat{v} = \vec{v}/|\vec{v}|$ (lengde 1).

5B · Addisjon og skalarmultiplikasjon

📌 Regneregler

Addisjon: $\vec{u} + \vec{v}$ – trekantregelen eller parallelogramregelen
Subtraksjon: $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$
Skalering: $k\vec{v}$ – lengde $|k|\,|\vec{v}|$, snur retning om $k < 0$
Komponentvis: $\vec{u} \pm \vec{v} = (u_1 \pm v_1,\; u_2 \pm v_2)$

5C · Koordinater og lengde

Fra punkt $A = (x_1, y_1)$ til $B = (x_2, y_2)$:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1)$ $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

✅ Eksempel 1

$P = (3, -2)$ og $Q = (-1, 4)$. Finn $\vec{PQ}$ og $|\vec{PQ}|$.

$\vec{PQ} = (-4, 6)$

$|\vec{PQ}| = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

5D · Skalarprodukt og vinkel

📌 Skalarprodukt

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

Vinkel: $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

Ortogonale: $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ | Parallelle: $\vec{u} = k\vec{v}$ for noe $k$

✅ Eksempel 2 – Ortogonale vektorer

$\vec{a} = (3, 4)$ og $\vec{b} = (-4, 3)$.

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 3(-4) + 4(3) = 0$ → Vektorene er vinkelrette.

5E · Vektorer og linjer

Linje med punkt $(x_0,y_0)$ og retningsvektor $(d_1,d_2)$:

$\ell:\; (x,\,y) = (x_0,\,y_0) + t(d_1,\,d_2), \quad t\in\mathbb{R}$

Normalvektor $\vec{n} = (n_1,n_2)$ gir linjens likning: $n_1(x-x_0) + n_2(y-y_0) = 0$.

✅ Eksempel 3 – Linje gjennom to punkter

Finn parameterform og linjens likning for linjen gjennom $A = (1,3)$ og $B = (4,-1)$.

Retningsvektor: $\vec{AB} = (3,-4)$

Parameterform: $(x,y) = (1,3) + t(3,-4)$

Normalvektor: $\vec{n} = (4,3)$

Likning: $4(x-1) + 3(y-3) = 0 \Rightarrow 4x + 3y = 13$

🔵 Oppgaver

🟢 Grunnleggende

$\vec{u} = (5,-2)$, $\vec{v} = (-3,4)$. Regn ut $3\vec{u} - 2\vec{v}$ og $|\vec{u}|$.
Finn $\vec{AB}$ og $|\vec{AB}|$ når $A = (2,7)$ og $B = (-1,3)$.
Er $\vec{a} = (6,-4)$ og $\vec{b} = (2,3)$ ortogonale? Vis beregning.

🟡 Middels …

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo