Trigonometri – kapittel med teori, eksempler og oppgaver tilpasset læreplanen (LK20).
Trigonometri
I R1 utvider vi trigonometri til alle vinkler via enhetssirkelen. Trigonometriske funksjoner modellerer bølger, svingninger og periodiske fenomener.
4A Grader og radianer 4B Enhetssirkelen 4C Grafparametere 4D Trigonometriske identiteter 4E Trigonometriske likninger
🎯 Eksamenskrav – dette må du kunne
- ✦ Omregne mellom grader og radianer
- ✦ Lese av eksakte verdier fra enhetssirkelen
- ✦ Bestemme amplitude, periode og faseforskyvning
- ✦ Bruke den pytagoreiske identiteten og symmetrirelasjonene
- ✦ Løse trigonometriske likninger med fullstendig løsningssett
4A · Grader og radianer
📌 Omregning
$180° = \pi \;\text{rad}$ \(30° = \pi/6\) \(45° = \pi/4\) \(60° = \pi/3\) \(90° = \pi/2\) \(120° = 2\pi/3\) \(150° = 5\pi/6\) \(180° = \pi\) \(360° = 2\pi\)
4B · Enhetssirkelen
Et punkt på enhetssirkelen med vinkel \(\theta\) (mot klokka fra positiv x-akse) har koordinater \((\cos\theta,\;\sin\theta)\).
| \(\theta\) | rad | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) |
|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{1}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\) |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\tfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| 90° | \(\pi/2\) | 1 | 0 | – |
| 180° | \(\pi\) | 0 | −1 | 0 |
| 270° | \(3\pi/2\) | −1 | 0 | – |
4C · Grafparametere
📌 \(f(x) = A\sin(Bx + C) + D\)
Amplitude: \(|A|\)
Periode: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)
Faseforskyvning: \(-C/B\)
Midtlinje: \(y = D\)
4D · Trigonometriske identiteter
📌 Viktige identiteter
Pytagoreisk: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\) \(\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta\)
4E · Trigonometriske likninger
📌 Generelle løsninger
\(\sin x = k \Rightarrow x = \arcsin k + 2n\pi \;\text{ eller }\; x = (\pi - \arcsin k) + 2n\pi\) \(\cos x = k \Rightarrow x = \pm\arccos k + 2n\pi\) \(\tan x = k \Rightarrow x = \arctan k + n\pi\)
\(n \in \mathbb{Z}\)
✅ Eksempel 1
Løs \(2\sin x - 1 = 0\) for \(0 \le x < 2\pi\).
\(\sin x = \tfrac{1}{2}\), referansevinkel \(\tfrac{\pi}{6}\).
Positiv i 1. og 2. kvadrant: \(x = \tfrac{\pi}{6}\) og \(x = \tfrac{5\pi}{6}\).
✅ Eksempel 2 – Kvadratisk
Løs \(2\cos^2 x - \cos x = 0\) for \(0 \le x < 2\pi\).
Faktoriser: \(\cos x(2\cos x - 1) = 0\)
\(\cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\)
\(\cos x = \tfrac{1}{2} \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{3}\)
🔵 Oppgaver
1
🟢 Grunnleggende
- Gjør om til radianer: a) 135° b) 240° c) 315°
- Finn eksakte verdier uten kalkulator: \(\sin(7\pi/6)\) og \(\cos(5\pi/4)\).
- Løs \(\sin x = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) for \(0 \le x < 2\pi\).
2
🟡 Middels …