Lær n-te røtter, potensregler, definisjon av logaritme, de tre logaritmesetningene, basebytte og hvordan løse eksponential- og logaritmelikninger – med rikt forklart teori og over 16 oppgaver med løsninger.
Potenser og logaritmer er to sider av samme sak. Mens potenser forteller hvor stort noe blir når vi multipliserer det med seg selv mange ganger, hjelper logaritmer oss å regne motsatt vei – og finne eksponenten.
1.1 Potensregler
For alle reelle tall \( a, b > 0 \) og eksponenter \( m, n \) gjelder:
- \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) — samme grunntall, legg sammen eksponentene
- \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
- \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
- \( a^0 = 1 \) og \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
- \( a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \)
📘 Eksempel: Forenkling av potensuttrykk
Forenkle \( \dfrac{2^5 \cdot 2^{-2}}{2^4} \).
Løsning: Bruk reglene:
$\dfrac{2^5 \cdot 2^{-2}}{2^4} = \dfrac{2^{5-2}}{2^4} = \dfrac{2^3}{2^4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
✏️ Prøv selv: Forenkle \( (3^2)^3 \cdot 3^{-4} \)
$(3^2)^3 \cdot 3^{-4} = 3^{6} \cdot 3^{-4} = 3^{6-4} = 3^2 = 9$
1.2 Logaritmer – definisjon
Definisjon: \( \log_a x = y \iff a^y = x \), der \( a > 0, a \ne 1, x > 0 \).
Spesielt har vi den naturlige logaritmen \( \ln x = \log_e x \) (med \( e \approx 2{,}718 \)) og tier-logaritmen \( \lg x = \log_{10} x \).
Eksponentialfunksjonen y = 2ˣ og dens inverse y = log₂ x speiler hverandre om linjen y = x.
1.3 Logaritmeregler
- \( \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \)
- \( \log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
- \( \log_a(x^n) = n \log_a x \)
- Basebytte: \( \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \)
📘 Eksempel: Logaritmiske forenklinger
Skriv \( \lg 8 + \lg 125 \) som ett tall.
Løsning:
$\lg 8 + \lg 125 = \lg(8 \cdot 125) = \lg 1000 = 3$
✏️ Prøv selv: Løs \( 2^x = 50 \) (svar med 2 desimaler)
Ta logaritmen på begge sider:
$x \ln 2 = \ln 50 \implies x = \frac{\ln 50}{\ln 2} \approx 5{,}64$
1.4 Eksponentiallikninger
Generell strategi: ta logaritmen på begge sider og bruk regelen \( \log a^x = x \log a \).
📘 Eksempel: Eksponentiallikning
Løs \( 5 \cdot 3^{x} = 405 \).
Løsning: Del først på 5: \( 3^x = 81 \). Vi ser at \( 81 = 3^4 \), så \( x = 4 \).
📈 Utforsk i GeoGebra: Eksponential- og logaritmefunksjoner