Kombinatorikk og sannsynlighet

Telleprinsipper, permutasjoner, kombinasjoner, sannsynlighetsregning og betinget sannsynlighet.

Kombinatorikk og sannsynlighet

Kombinatorikk gir oss verktøy for å telle smart. Kombinert med sannsynlighetsregning kan vi beregne sjansen for komplekse hendelser – nyttig i spill, forsikring og medisin.

6A Multiplikasjonsprinsippet 6B Permutasjoner 6C Kombinasjoner 6D Sannsynlighetsregning 6E Betinget sannsynlighet

🎯 Eksamenskrav – dette må du kunne

✦ Anvende multiplikasjonsprinsippet riktig
✦ Skille mellom situasjoner som krever permutasjon vs. kombinasjon
✦ Beregne $\binom{n}{r}$ og bruke det i sannsynlighetsregning
✦ Bruke addisjonsloven og komplementregelen
✦ Beregne og tolke betinget sannsynlighet

6A · Multiplikasjonsprinsippet

Dersom et valg kan gjøres på $m$ måter og et påfølgende, uavhengig valg på $n$ måter, kan de samlet gjøres på $m \cdot n$ måter.

✅ Eksempel 1

Et passord bruker 2 bokstaver etterfulgt av 3 sifre (repetisjon tillatt). Antall mulige passord: $26^2 \cdot 10^3 = 676\,000$.

6B · Permutasjoner

En permutasjon er en ordnet oppramsing. Rekkefølgen spiller rolle.

📌 Formler

Alle $n$ objekter: $n!$ måter
$r$ av $n$ objekter (ordnet): $P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$

✅ Eksempel 2

På hvor mange måter kan 8 deltakere ende på de tre øverste pallplassene?

$P(8,3) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

6C · Kombinasjoner

Et kombinasjon er et uordnet utvalg. Rekkefølgen spiller ingen rolle.

📌 Binomialkoeffisienten

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Les «$n$ velg $r$». Gjelder: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

✅ Eksempel 3

På hvor mange måter kan 3 av 7 studenter velges til en arbeidsgruppe?

$\binom{7}{3} = \dfrac{7!}{3!\cdot 4!} = 35$

6D · Sannsynlighetsregning

📌 Grunnleggende regler

$P(A) = \dfrac{\text{gunstige utfall}}{\text{totalt antall like sannsynlige utfall}}$ $0 \le P(A) \le 1$ Komplement: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ Addisjon: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ Gjensidig utelukkende: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

✅ Eksempel 4 – Addisjonsloven

Kort trekkes fra vanlig kortstokk. Finn $P(\text{kløver eller bildekort})$.

$P = \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} - \dfrac{3}{52} = \dfrac{22}{52} = \dfrac{11}{26}$

6E · Betinget sannsynlighet

📌 Betinget sannsynlighet og uavhengighet

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

$A$ og $B$ er uavhengige når $P(A \mid B) = P(A)$, ekvivalent: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

✅ Eksempel 5 – Betinget

Av 30 elever liker 18 fotball (F) og 12 basketball (B), og 6 liker begge. Finn $P(F \mid B)$.

$P(F \mid B) = \dfrac{6/30}{12/30} = \dfrac{6}{12} = 0{,}5$

🔵 Oppgaver

🟢 Grunnleggende

En meny tilbyr 4 forretter, 5 hovedretter og 3 desserter. Hvor mange ulike treretts-måltider kan settes sammen?
Finn $\binom{9}{4}$.
En pose har 5 røde og 3 blå kuler. Du trekker én. Finn $P(\text{rød})$.

🟡 Middels

En terning kastes to ganger. Finn sannsynligheten for at summen er minst 10.
I et lotteri trekkes 5 av 40 tall. Du velger 5 tall. Finn sannsynligheten for å treffe nøyaktig 3.

🎯

🔴 Eksamenskrav …

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo