Antiderivasjon, ubestemt og bestemt integral, fundamentalsetningen, integrasjonsregler og arealberegning.
Integrasjon er motsatt av derivasjon, og lar oss regne ut areal under kurver, total tilbakelagt distanse, og mengder som hoper seg opp over tid.
8.1 Antiderivert (ubestemt integral)
Definisjon: En funksjon \( F(x) \) er antiderivert til \( f(x) \) hvis \( F'(x) = f(x) \). Vi skriver \( \int f(x)\,dx = F(x) + C \).
Grunnleggende integraler
- \( \int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \) når \( n \neq -1 \)
- \( \int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)
- \( \int e^x \, dx = e^x + C \)
- \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)
- \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)
📘 Eksempel: Ubestemt integral
Beregn \( \int (3x^2 + 2x - 5)\, dx \).
Løsning:
$\int (3x^2 + 2x - 5)\, dx = x^3 + x^2 - 5x + C$
8.2 Bestemt integral
Analysens fundamentalteorem: \( \displaystyle \int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) \), der \( F'(x) = f(x) \).
Det bestemte integralet ∫₀² x² dx = 8/3 er arealet under parabelen mellom x = 0 og x = 2.
📘 Eksempel: Areal under en kurve
Finn arealet under \( f(x) = x^2 \) fra 0 til 2.
Løsning:
$\int_0^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$
✏️ Prøv selv: Beregn \( \int_1^3 (2x + 1)\, dx \)
$\left[x^2 + x\right]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$
8.3 Variabelskifte (substitusjon)
Når integranden er en sammensetning, kan vi sette \( u = g(x) \), \( du = g'(x)\, dx \):
$\int f(g(x)) g'(x)\, dx = \int f(u)\, du$
📘 Eksempel: Substitusjon
Beregn \( \int 2x \cdot e^{x^2}\, dx \).
Løsning: La \( u = x^2 \), så \( du = 2x\, dx \):
$\int e^u\, du = e^u + C = e^{x^2} + C$
8.4 Areal mellom kurver
$A = \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\, dx$ der \( f(x) \ge g(x) \) på \( [a, b] \).
📈 Utforsk i GeoGebra: Integrasjon – areal under kurven