Analytisk geometri, sirkler, avstandsformler, cosinussetningen, sinussetningen og arealformelen.
Geometri
I R1 kobler vi geometri til algebra og trigonometri. Vi bruker koordinatsystemer til å analysere figurer analytisk, og utleder kraftige formler (cosinus- og sinussetning) som løser enhver trekant.
7A Analytisk geometri – linjer og avstand 7B Sirkler i koordinatsystemet 7C Cosinussetningen 7D Sinussetningen 7E Arealformelen og anvendelser
🎯 Eksamenskrav – dette må du kunne
- ✦ Finne ligning for linje gjennom to punkter og avstand mellom punkt og linje
- ✦ Skrive og bruke ligning for sirkel med gitt sentrum og radius
- ✦ Anvende cosinussetningen til å finne ukjent side eller vinkel
- ✦ Anvende sinussetningen og tolke mulige løsninger (den tvetydige tilfelle)
- ✦ Beregne arealet av en trekant med arealformelen \(\frac{1}{2}ab\sin C\)
7A · Analytisk geometri – linjer og avstand
Analytisk geometri kombinerer geometriske figurer med algebraiske ligninger. En linje i planet kan beskrives ved én likning.
🧠 Fra to punkter til én likning
To punkter bestemmer én linje. Stigningstallet \(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) er «stigning per horisontal enhet». Etterpunktsformen \(y - y_1 = a(x - x_1)\) setter punktet og helningen rett inn i likningen – ingen memorisering av y-skjæring nødvendig.
Avstand mellom to punkter er Pythagoras: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
📌 Linje og avstand
Stigningstall: \(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Etterpunktsform: \(y - y_1 = a(x-x_1)\)
Avstand mellom \(P_1\) og \(P_2\): \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
Avstand fra punkt \((x_0,y_0)\) til linje \(ax+by+c=0\):
$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
✅ Eksempel 1 – Linje og avstand
Finn likningen for linjen gjennom \(A=(1,2)\) og \(B=(4,-1)\), og avstand fra \(C=(0,3)\) til linjen.
Stigningstall: \(a = \dfrac{-1-2}{4-1} = -1\)
Ligning: \(y-2 = -1(x-1) \Rightarrow y = -x+3 \Rightarrow x+y-3=0\)
Avstand \(C=(0,3)\): \(d = \dfrac{|0+3-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{0}{\sqrt{2}} = 0\)
Tolkning: \(C\) ligger på linjen (sjekk: \(0+3=3\) ✓)
Prøv \(D=(2,4)\): \(d = \dfrac{|2+4-3|}{\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12\)
❌ Vanlige feil – linjer og avstand
- Avstandsformelen fra punkt til linje krever at linjen er på formen \(ax+by+c=0\) – flytt alt til venstre side.
- Husk absoluttverdi i telleren – avstand er alltid positiv.
- Vertikale linjer \(x=k\) har udefinert stigningstall. Bruk formen \(x-k=0\) direkte.
7B · Sirkler i koordinatsystemet
En sirkel er mengden av alle punkter med fast avstand (radius) til et fast punkt (sentrum). Via Pythagoras gir dette en enkel andregradisstligning.
🧠 Sirkellikning fra definisjonen
Et punkt \((x,y)\) ligger på sirkelen med sentrum \((a,b)\) og radius \(r\) dersom avstanden fra \((x,y)\) til \((a,b)\) er nøyaktig \(r\):
$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r \quad \Leftrightarrow \quad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Ligning er direkte Pythagoras – ingen memorisering, bare definisjon av avstand.
📌 Sirkellikning og kvadratfullføring …