Definisjonsområde, andregrads-, rasjonal- og stykkevis definerte funksjoner. Sammensatte og inverse funksjoner.
Funksjoner
Funksjoner er matematikkens viktigste verktøy for å beskrive sammenhenger. Vi analyserer ulike typer og bruker dem til å modellere situasjoner fra økonomi, natur og teknikk.
2A Funksjoner og egenskaper 2B Andregradsfunksjoner 2C Rasjonale funksjoner 2D Stykkevis definerte funksjoner 2E Sammensatte og inverse funksjoner
🎯 Eksamenskrav – dette må du kunne
- ✦ Finne definisjonsområde og verdiområde
- ✦ Løse andregradslikninger og tolke diskriminanten
- ✦ Beskrive rasjonale funksjoner: asymptoter og fortegnskjema
- ✦ Sette opp og tolke stykkevis definerte funksjoner
- ✦ Finne og verifisere den inverse funksjonen
2A · Funksjoner og egenskaper
En funksjon \(f\) tilordner hvert element \(x\) i definisjonsområdet \(D_f\) nøyaktig én verdi \(f(x)\). Samlingen av alle funksjonsverdier er verdiområdet.
📌 Sentrale begreper
Nullpunkt: \(x\) der \(f(x) = 0\)
y-skjæring: \(f(0)\)
Stigende: \(f(x_1) < f(x_2)\) når \(x_1 < x_2\)
Synkende: \(f(x_1) > f(x_2)\) når \(x_1 < x_2\)
2B · Andregradsfunksjoner
\(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a \ne 0\) – parabel. Fortegnet til \(a\) avgjør om den åpner opp eller ned.
📌 Viktige resultater
- Topp-/bunnpunkt: \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\), \(\;y_0 = f(x_0)\)
- ABC-formelen: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
- Diskriminant \(\Delta = b^2-4ac\): to røtter (\(\Delta>0\)), dobbeltrot (\(\Delta=0\)), ingen (\(\Delta<0\))
✅ Eksempel 1 – Komplett analyse
Analyser \(f(x) = -x^2 + 2x + 8\).
Toppunkt: \(x_0 = 1\), \(f(1) = 9\) → \((1,9)\)
Nullpunkter: \(-x^2+2x+8=0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4\) og \(x=-2\)
y-skjæring: \(f(0) = 8\)
2C · Rasjonale funksjoner
\(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) er udefinert der \(Q(x) = 0\). Vertikale asymptoter oppstår der nevneren er null (og teller er ulik null). Horisontale asymptoter leses av for \(x \to \pm\infty\).
✅ Eksempel 2 – Asymptoter
Finn asymptoter til \(f(x) = \dfrac{2x+4}{x-1}\).
Vertikal: \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Horisontal: \(\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+4}{x-1} = 2 \Rightarrow y = 2\)
2D · Stykkevis definerte funksjoner
Ulike uttrykk på ulike deler av definisjonsområdet:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{hvis } x < 0 \\ 3x + 1 & \text{hvis } x \ge 0 \end{cases}$
Sjekk kontinuitet i grensepunktene (er grenseverdiene like fra begge sider?).
2E · Sammensatte og inverse funksjoner
📌 Definisjoner
- Sammensatt: \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) – utdata fra \(g\) brukes som inndata til \(f\)
- Invers: Sett \(y = f(x)\), løs for \(x\), bytt \(x\) og \(y\). Grafen til \(f^{-1}\) er speilet om \(y = x\).
✅ Eksempel 3 – Finn invers
Finn \(f^{-1}(x)\) når \(f(x) = \dfrac{2x+5}{3}\).
Sett \(y = \dfrac{2x+5}{3}\): \(3y = 2x+5 \Rightarrow x = \dfrac{3y-5}{2}\)
Bytt \(x\) og \(y\): \(f^{-1}(x) = \dfrac{3x-5}{2}\)
🔵 Oppgaver
1
🟢 Grunnleggende …