Matematikk R1 eksamen høst 2022 - REA3022 oppgaver og løsningsforslag

Arkivside for R1 høst 2022 etter gammel læreplan, med oppgavekort, modellbesvarelser og forklaringer for sterke svar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

Studocu-forhåndsvisninger brukt som supplerende tekstkontroll der PDF-vedlegg ikke var direkte lesbare.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver tre funksjoner med logaritme, eksponentialledd og kvotient. ✅ Modellbesvarelse
  1. a) f(x)=2x3−ln⁡xf(x)=2x^{3}-\ln xf(x)=2x3−lnx gir f′(x)=6x2−1/xf'(x)=6x^{2}-1/xf′(x)=6x2−1/x.
  2. b) g(x)=x⋅e−2x2g(x)=x\cdot e^{-2x^{2}}g(x)=x⋅e−2x2 gir g′(x)=e−2x2+x⋅e−2x2⋅(−4x)=(1−4x2)e−2x2g'(x)=e^{-2x^{2}}+x\cdot e^{-2x^{2}}\cdot (-4x)=(1-4x^{2})e^{-2x^{2}}g′(x)=e−2x2+x⋅e−2x2⋅(−4x)=(1−4x2)e−2x2.
  3. c) h(x)=(2x+2)/exh(x)=(2x+2)/e^{x}h(x)=(2x+2)/ex kan skrives (2x+2)e−x(2x+2)e^{-x}(2x+2)e−x. Da blir h′(x)=2e−x−(2x+2)e−x=−2x/exh'(x)=2e^{-x}-(2x+2)e^{-x}=-2x/e^{x}h′(x)=2e−x−(2x+2)e−x=−2x/ex.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser riktig regelvalg: standardderivasjon, produktregel/kjerneregel og kvotient/omskriving.

Oppgave 2

2

Eksponential- og logaritmelikninger

📝 OppgaveLøs 100x+10=11⋅10x100^{x}+10=11\cdot 10^{x}100x+10=11⋅10x og en logaritmelikning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sett u=10xu=10^{x}u=10x. Da blir 100x=(10x)2=u2100^{x}=(10^{x})^{2}=u^{2}100x=(10x)2=u2, og u2−11u+10=0u^{2}-11u+10=0u2−11u+10=0. Dermed u=1u=1u=1 eller u=10u=10u=10, så x=0x=0x=0 eller x=1x=1x=1.
  2. For logaritmelikningen samles logaritmene med regnereglene. Et typisk resultat i settet er x=43x=\tfrac{4}{3}x=34​ etter at uttrykket er samlet som lg⁡x=lg⁡(43)\lg x = \lg (\tfrac{4}{3})lgx=lg(34​).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser smart substitusjon og trygg bruk av logaritmeregler.

Oppgave 3

3

Sammenlikning av tall

📝 OppgaveAvgjør hvilke tall som er mindre enn 10. ✅ Modellbesvarelse
  1. 311=99<100=103\sqrt{11}=\sqrt{99}<\sqrt{100}=10311 ​=99 ​<100 ​=10.
  2. Siden lg9<1, er 10lg9<10.
  3. Siden 9>e29>e^{2}9>e2, er ln9>2, og 5ln9>10. Dermed er 3113\sqrt{11}311 ​ og 10lg9 mindre enn 10.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret begrunner med monotoni og kjente referanseverdier.

Oppgave 4

4

Grenseverdi

📝 OppgaveBestem grenseverdien lim h→0((4+h)2−42)/hh\to 0 ((4+h)^{2}-4^{2})/hh→0((4+h)2−42)/h. ✅ Modellbesvarelse
  1. Dette er definisjonen av den deriverte til f(x)=x2ix=4f(x)=x^{2} i x=4f(x)=x2ix=4, så svaret er f′(4)=8f'(4)=8f′(4)=8.
  2. Direkte algebra gir samme resultat: ((4+h)2−16)/h=(8h+h2)/h=8+h((4+h)^{2}-16)/h=(8h+h^{2})/h=8+h((4+h)2−16)/h=(8h+h2)/h=8+h, som går mot 8.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser både konseptuell og algebraisk forståelse.

Oppgave 1

1

Kort og sannsynlighet

📝 OppgaveFem kort trekkes fra en kortstokk. Finn sannsynligheter for hjerter og korttyper. ✅ Modellbesvarelse
  1. Alle fem hjerter: 1352⋅1251⋅1150⋅1049⋅948\tfrac{13}{52}\cdot \tfrac{12}{51}\cdot \tfrac{11}{50}\cdot \tfrac{10}{49}\cdot \tfrac{9}{48}5213​⋅5112​⋅5011​⋅4910​⋅489​, omtrent 0,05 %.
  2. Nøyaktig to hjerter modelleres hypergeometrisk og gir omtrent 27,4 %.
  3. Minst ett kort av hver type kan regnes som fire muligheter der én type forekommer to ganger: 4⋅C(13,2)⋅C(13,1)3/C(52,5)4\cdot C(13,2)\cdot C(13,1)^{3} / C(52,5)4⋅C(13,2)⋅C(13,1)3/C(52,5), omtrent 26,4 %.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker riktig modell: trekking uten tilbakelegging gir hypergeometrisk sannsynlighet.

Oppgave 2

2

Vektorgeometri

📝 OppgaveBestem parameter k og vurder vinkel i vektoruttrykk. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fra 3a+5b=[−6,13]3a+5b=[-6,13]3a+5b=[−6,13] og a=[3,1],b=[k,2]a=[3,1], b=[k,2]a=[3,1],b=[k,2] får vi [9+5k,13]=[−6,13][9+5k,13]=[-6,13][9+5k,13]=[−6,13]. Dermed k=−3k=-3k=−3.
  2. Vinkelspørsmålet løses med skalarproduktformelen cos v=(a dot b)/(|a||b|). Betingelsen for vinkel større enn 60 grader oversettes til en ulikhet for k.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser koordinatvis likning og bruker skalarprodukt som vinkelverktøy.

Oppgave 3

3

Parameterkurve

📝 OppgaveAnalyser en partikkelbevegelse og finn parameterverdier. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fartsvektoren finnes ved å derivere posisjonsvektoren komponentvis.
  2. Når banefarten ved t=0t=0t=0 skal være 13, settes lengden av fartsvektoren lik 13. Løsningsforslaget gir k=−5k=-5k=−5 eller k=5k=5k=5.
  3. Kurven kan tegnes digitalt med parameterkommando og brukes til å undersøke skjæringspunkter eller dobbelpunkter.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret skiller mellom posisjon, fartsvektor og banefart.

Oppgave 5

5

Areal i trekant

📝 Oppgaveg(s)=s3−3s2−13s+15g(s)=s^{3}-3s^{2}-13s+15g(s)=s3−3s2−13s+15 og trekanten ABP. Finn størst areal. ✅ Modellbesvarelse
  1. AB har lengde s-1, og høyden er |g(s)∣g(s)|g(s)∣. Arealet kan skrives A(s)=12⋅(s−1)⋅∣g(s)∣iA(s)=\tfrac{1}{2}\cdot (s-1)\cdot |g(s)| iA(s)=21​⋅(s−1)⋅∣g(s)∣i relevant intervall.
  2. Ved derivasjon/digital analyse finnes maksimalverdien. Løsningsforslaget peker på s=22+1s=2\sqrt{2}+1s=22 ​+1 som eksakt verdi i relevant løsning.
  3. Arealet blir 32 i det eksakte løsningsforslaget.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen bygger først en arealfunksjon, deretter optimaliserer den. Matematikk R1R1R1 eksamen vår 2022 - REA3022

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver tre funksjoner: x2+ln⁡x,x⋅1−2xx^{2}+\ln x, x\cdot \sqrt{1-2x}x2+lnx,x⋅1−2x ​ og x/ex2x/e^{x^{2}}x/ex2. ✅ Modellbesvarelse
  1. f′(x)=2x+1/xf'(x)=2x+1/xf′(x)=2x+1/x.
  2. For g(x)=x⋅1−2xg(x)=x\cdot \sqrt{1-2x}g(x)=x⋅1−2x ​ brukes produkt- og kjerneregel: g′(x)=1−2x−x/1−2x=(1−3x)/1−2xg'(x)=\sqrt{1-2x}-x/\sqrt{1-2x}=(1-3x)/\sqrt{1-2x}g′(x)=1−2x ​−x/1−2x ​=(1−3x)/1−2x ​.
  3. h(x)=x/ex2=x⋅e−x2h(x)=x/e^{x^{2}}=x\cdot e^{-x^{2}}h(x)=x/ex2=x⋅e−x2, så h′(x)=e−x2−2x2e−x2=(1−2x2)/ex2h'(x)=e^{-x^{2}}-2x^{2}e^{-x^{2}}=(1-2x^{2})/e^{x^{2}}h′(x)=e−x2−2x2e−x2=(1−2x2)/ex2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser kjerneregel og produktregel i samme oppgave.

Oppgave 2

2

Likninger

📝 OppgaveLøs lg⁡(x3)−2lg⁡x=3\lg (x^{3})-2\lg x=3lg(x3)−2lgx=3 og ex−2e−x−1=0e^{x}-2e^{-x}-1=0ex−2e−x−1=0. ✅ Modellbesvarelse
  1. Første likning: 3lg⁡x−2lg⁡x=33\lg x-2\lg x=33lgx−2lgx=3, altså lg⁡x=3\lg x=3lgx=3 og x=1000x=1000x=1000.
  2. Andre likning: multipliser med exe^{x}ex og få e2x−ex−2=0e^{2x}-e^{x}-2=0e2x−ex−2=0. Sett u=exu=e^{x}u=ex. Da blir u2−u−2=0u^{2}-u-2=0u2−u−2=0, så u=2u=2u=2 og x=ln2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen bruker både logaritmeregler og substitusjon.

Oppgave 3

3

Polynomdivisjon

📝 OppgaveDel x3+2x2−5x−6x^{3}+2x^{2}-5x-6x3+2x2−5x−6 på x-2 og løs polynomlikningen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Polynomdivisjon gir x2+4x+3x^{2}+4x+3x2+4x+3.
  2. Dermed faktoriseres polynomet som (x−2)(x2+4x+3)=(x−2)(x+1)(x+3)(x-2)(x^{2}+4x+3)=(x-2)(x+1)(x+3)(x−2)(x2+4x+3)=(x−2)(x+1)(x+3).
  3. Løsningene er x=2,x=−1x=2, x=-1x=2,x=−1 og x=−3x=-3x=−3.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser divisjon, faktorisering og nullpunkter i én ryddig kjede.

Oppgave 4

4

Volum og grunnflate

📝 OppgaveBruk polynomdivisjon til å finne arealet av grunnflaten når V(x)V(x)V(x) deles på høyden. ✅ Modellbesvarelse
  1. Når volumet V(x)=x3−4x2+2x+7V(x)=x^{3}-4x^{2}+2x+7V(x)=x3−4x2+2x+7 og høyden er x+1, blir arealet A(x)=V(x)/(x+1)A(x)=V(x)/(x+1)A(x)=V(x)/(x+1).
  2. Polynomdivisjon gir A(x)=x2−5x+7A(x)=x^{2}-5x+7A(x)=x2−5x+7.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser hvordan algebra tolkes geometrisk.

Oppgave 7

7

Kombinatorikk med bildekk

📝 OppgaveFire sommerdekk skal plasseres. Finn antall plasseringer og sannsynlighet for at alle står feil. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fire dekk kan plasseres på 4≠244\neq 244=24 måter.
  2. Antall plasseringer der ingen står på riktig plass er 9. Sannsynligheten er 924=38=37,5\tfrac{9}{24}=\tfrac{3}{8}=37,5249​=83​=37,5 %.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker både multiplikasjonsprinsipp og derangement-idé.

Oppgave 8

8

Sirkelvinkler

📝 OppgaveFinn vinklene u, v og w i en sirkelgeometrisk figur. ✅ Modellbesvarelse
  1. Periferivinkler som spenner over samme bue er like, så u=52u=52u=52 grader.
  2. Sentralvinkelen over samme bue er dobbelt så stor, så v=104v=104v=104 grader.
  3. Med nabovinkler og vinkelsum i trekant får vi w=27w=27w=27 grader.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser riktig bruk av sirkelsetninger.

Oppgave 9

9

Sirkel

📝 OppgaveVis sentrum og radius for x2+y2−4x−8y=5x^{2}+y^{2}-4x-8y=5x2+y2−4x−8y=5 og finn skjæring med x-aksen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fullfør kvadratet: x2−4x+y2−8y=5x^{2}-4x+y^{2}-8y=5x2−4x+y2−8y=5 blir (x−2)2+(y−4)2=25(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25(x−2)2+(y−4)2=25.
  2. Sentrum er (2,4) og radius er 5.
  3. Sett y=0y=0y=0: x2−4x−5=0x^{2}-4x-5=0x2−4x−5=0, altså x=−1x=-1x=−1 eller x=5x=5x=5. Skjæringspunktene er (-1,0) og (5,0).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker standard sirkelmetode med fullstendig kvadrat.

Oppgave 1

1

Binomisk sannsynlighet

📝 OppgaveArbeid med oppkjøringssannsynligheter for gutter og jenter. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sannsynlighet for sammensatte hendelser regnes med binomisk modell når hver elev har samme sannsynlighet og forsøkene behandles uavhengig.
  2. Eksempel fra løsningsforslaget: sannsynligheten for akkurat 5 gutter og 4 jenter som består er omtrent 12,3 %.
  3. For minst antall elever ved en annen skole løses 0,74x=0,020,74^{x}=0,020,74x=0,02. Dette gir x cirka 13, altså minst 13 elever.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser modellvalg, binomisk beregning og tolkning av avrunding.

Oppgave 2

2

Vektorer med parameter

📝 OppgaveFinn k i et vektoruttrykk og vurder vinkelbetingelse. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fra 3a+5b=[−6,13]3a+5b=[-6,13]3a+5b=[−6,13] fås k=−3k=-3k=−3 når a=[3,1]a=[3,1]a=[3,1] og b=[k,2]b=[k,2]b=[k,2].
  2. Vinkelen mellom a og b vurderes med skalarprodukt. Løsningsforslaget gir betingelsen k<(103−12)/13k < (10\sqrt{3}-12)/13k<(103 ​−12)/13 for den aktuelle vinkelgrensen.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen oversetter geometrisk vinkelkrav til algebraisk ulikhet.

Oppgave 5

5

Størst areal

📝 Oppgaveg(x)=x3−3x2−13x+15g(x)=x^{3}-3x^{2}-13x+15g(x)=x3−3x2−13x+15 og trekant ABP. Finn arealfunksjon og maksimum. ✅ Modellbesvarelse
  1. AB er grunnlinje med lengde s-1, og høyden er |g(s)∣g(s)|g(s)∣. Arealet kan skrives A(s)=12⋅(s−1)⋅∣g(s)∣A(s)=\tfrac{1}{2}\cdot (s-1)\cdot |g(s)|A(s)=21​⋅(s−1)⋅∣g(s)∣.
  2. Derivasjon eller CAS gir største areal når s=22+1s=2\sqrt{2}+1s=22 ​+1.
  3. Største areal blir 32.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser modellering før optimalisering.

Ofte stilte spørsmål

Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo