Matematikk R1 eksamen høst 2020 - REA3022 oppgaver og løsningsforslag

Arkivside for R1 høst 2020 med oppgavekort, modellbesvarelser, løsningsstrategier og forklaringer for sterke svar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

Spørsmål / oppgavekort: Arbeid med trekking eller endring av antall røde kuler, og vurder sannsynligheter før og etter endringen.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 6

6

Kuler og sannsynlighet

📝 OppgaveArbeid med trekking eller endring av antall røde kuler, og vurder sannsynligheter før og etter endringen. ✅ Modellbesvarelse
  1. Start med å definere antall gunstige og antall mulige utfall. Hvis det trekkes uten tilbakelegging, endres både teller og nevner etter hvert trekk.
  2. Når flere røde kuler legges til, må ny sannsynlighet regnes med oppdatert totalantall. Det er ikke nok å justere bare telleren.
  3. Et karakter 6-svar skriver en generell brøk først, forenkler deretter, og avslutter med en kort setning om hva endringen betyr.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser modellforståelse og ikke bare et isolert prosenttall.

Oppgave 7

7

Vise at en funksjon er stigende

📝 OppgaveVis at f(x)=(x+2)(x2+x+5)f(x)=(x+2)(x^{2}+x+5)f(x)=(x+2)(x2+x+5) er stigende for alle x-verdier. ✅ Modellbesvarelse
  1. Utvid først funksjonen eller bruk produktregelen. Utvidet form er f(x)=x3+3x2+7x+10f(x)=x^{3}+3x^{2}+7x+10f(x)=x3+3x2+7x+10.
  2. Da er f′(x)=3x2+6x+7f'(x)=3x^{2}+6x+7f′(x)=3x2+6x+7. Fullfør kvadratet: f′(x)=3(x+1)2+4f'(x)=3(x+1)^{2}+4f′(x)=3(x+1)2+4.
  3. Siden 3(x+1)23(x+1)^{2}3(x+1)2 alltid er større eller lik 0, er f'(x) alltid større enn 0. Derfor er f stigende for alle x.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er et sterkt svar fordi det beviser positiv derivert for alle x, ikke bare for noen testverdier.

Oppgave 9

9

Krevende del 1-oppgave

📝 OppgaveLøs en oppgave der flere elever i forumet opplevde at metodevalget var vanskelig. ✅ Modellbesvarelse
  1. Når oppgaven er krevende, bør første linje være en strategi: hva er ukjent, hvilke sammenhenger har vi, og hvilken R1R1R1-metode passer?
  2. Hvis uttrykket inneholder funksjon, nullpunkt, tangent eller grense, må du oversette teksten til likninger før du begynner å regne.
  3. Et sterkt svar kontrollerer til slutt at løsningen faktisk svarer på oppgaven, ikke bare på en mellomlikning.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser moden problemløsning: struktur først, regning etterpå.

Oppgave 1

1

Sannsynlighet over mange dager

📝 OppgaveForumdiskusjonen nevner sannsynlighet for minst 22 av 28 dager og en minimumsverdi rundt 313 dager i et oppfølgingsspørsmål. ✅ Modellbesvarelse
  1. Bruk binomisk modell når hver dag behandles som et uavhengig forsøk med samme sannsynlighet p.
  2. For minst 22 av 28 dager regnes P(X≥22)=1−P(X≤21)P(X\ge 22)=1-P(X\le 21)P(X≥22)=1−P(X≤21), der X er binomisk fordelt med n=28n=28n=28.
  3. Når oppgaven spør etter minste antall dager som gir en bestemt sannsynlighet, løses ulikheten digitalt og svaret rundes opp til nærmeste hele dag. Forumdiskusjonen peker på 313 som minimum i det aktuelle spørsmålet.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det bruker komplement, riktig avrunding og presis tolkning av 'minst'.

Oppgave 2

2

Vektorfunksjoner og kollisjon

📝 OppgaveAnalyser to kuler/personer i bevegelse. Forumet nevner 13,78 m, kollisjon etter ca. 1,47 s og vurdering av om kulene treffer hverandre. ✅ Modellbesvarelse
  1. Skriv posisjonsvektorene komponentvis. Kollisjon betyr at både x- og y-koordinat er like ved samme tidspunkt.
  2. Løs likningssystemet r1(t)=r2(t)r_1(t)=r_2(t)r1​(t)=r2​(t). Når tiden blir t ca. 1,47 s, settes verdien inn igjen for å kontrollere at begge komponenter stemmer.
  3. Hvis Berit står nærmere, må du tolke geometrien: forumdiskusjonen peker på at samme høyde ved samme tid gjør at kollisjon fortsatt må vurderes nøye med x-posisjonene.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den skiller mellom lik høyde og faktisk kollisjon i samme punkt.

Oppgave 3

3

og 4: Avanserte modelloppgaver

📝 OppgaveForumtråden omtaler del 2 oppgave 3 og 4 som spesielt krevende. ✅ Modellbesvarelse
  1. Start med å definere funksjoner, parametere og enheter. Ikke gå rett til CAS uten å vise hva variablene betyr.
  2. Bruk graf/CAS til å finne skjæringspunkt, ekstremalpunkt eller parameterverdi, men dokumenter kommando og matematisk tolkning.
  3. Avslutt med en kontroll: ligger løsningen i riktig intervall, og gir den mening i konteksten?
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEt høyt nivå kjennetegnes av tydelig modell, digital kontroll og presis sluttsetning.

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=x6+3x5+ln⁡(x),g(x)=2x2e2x−1f(x)=x^{6}+3x^{5}+\ln (x), g(x)=2x^{2} e^{2x-1}f(x)=x6+3x5+ln(x),g(x)=2x2e2x−1 og h(x)=(4x−1)/(x+2)h(x)=(4x-1)/(x+2)h(x)=(4x−1)/(x+2). ✅ Modellbesvarelse
  1. For f får vi f′(x)=6x5+15x4+1/xf'(x)=6x^{5}+15x^{4}+1/xf′(x)=6x5+15x4+1/x.
  2. For g brukes produktregel og kjerneregel: g′(x)=4xe2x−1+4x2e2x−1=4x(1+x)e2x−1g'(x)=4x e^{2x-1}+4x^{2} e^{2x-1}=4x(1+x)e^{2x-1}g′(x)=4xe2x−1+4x2e2x−1=4x(1+x)e2x−1.
  3. For h brukes kvotientregelen: h′(x)=[4(x+2)−(4x−1)]/(x+2)2=9/(x+2)2h'(x)=[4(x+2)-(4x-1)]/(x+2)^{2}=9/(x+2)^{2}h′(x)=[4(x+2)−(4x−1)]/(x+2)2=9/(x+2)2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser riktig regelvalg i tre ulike uttrykkstyper og forenkler uten å skjule mellomregningen.

Oppgave 2

2

Logaritme- og eksponentiallikninger

📝 OppgaveLøs ln⁡(x2)+ln⁡(x)=12\ln (x^{2})+\ln (x)=12ln(x2)+ln(x)=12 og e2x−ex=6e^{2x}-e^{x}=6e2x−ex=6. ✅ Modellbesvarelse
  1. Første likning gir 2ln⁡x+ln⁡x=122\ln x+\ln x=122lnx+lnx=12, altså 3ln⁡x=123\ln x=123lnx=12. Dermed ln⁡x=4\ln x=4lnx=4 og x=e4x=e^{4}x=e4.
  2. Andre likning løses ved u=exu=e^{x}u=ex. Da får vi u2−u−6=0u^{2}-u-6=0u2−u−6=0, altså u=3u=3u=3 eller u=−2u=-2u=−2.
  3. Siden exe^{x}ex aldri kan være negativ, forkastes u=−2u=-2u=−2. Derfor er x=ln⁡3x=\ln 3x=ln3.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den både løser algebraisk og kontrollerer ugyldige løsninger.

Oppgave 3

3

Vektorer med parameter

📝 OppgaveGitt u dot v=−2,∣u∣=3,∣v∣=2,a=2u+3vv=-2, |u|=3, |v|=2, a=2u+3vv=−2,∣u∣=3,∣v∣=2,a=2u+3v og b=tu+5vb=t u+5vb=tu+5v. Finn t når vektorene er parallelle og når de står normalt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Parallelle vektorer gir ka=bk a=bka=b. Da må 2k=t2k=t2k=t og 3k=53k=53k=5. Dermed k=53k=\tfrac{5}{3}k=35​ og t=103t=\tfrac{10}{3}t=310​.
  2. Normale vektorer gir a dot b=0b=0b=0. Sett inn skalarproduktene: 2t|u|^2+10(u dot v)+3t(u dot v)+15|v|^2=0.
  3. Dette gir 18t−20−6t+60=018t-20-6t+60=018t−20−6t+60=0, altså 12t+40=012t+40=012t+40=0 og t=−103t=-\tfrac{10}{3}t=−310​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser både parallellitet som skalarmultippel og normalitet som skalarprodukt lik null.

Oppgave 4

4

Polynom, faktorisering og grense

📝 OppgaveVis at P(x)=6x3−5x2−2x+1P(x)=6x^{3}-5x^{2}-2x+1P(x)=6x3−5x2−2x+1 kan faktoriseres, drøft et rasjonalt uttrykk og finn grenseverdi. ✅ Modellbesvarelse
  1. Siden P(1)=6−5−2+1=0P(1)=6-5-2+1=0P(1)=6−5−2+1=0, går x-1 opp i polynomet.
  2. Faktorisering gir P(x)=(x−1)(2x+1)(3x−1)P(x)=(x-1)(2x+1)(3x-1)P(x)=(x−1)(2x+1)(3x−1). For F(x)=P(x)/(x2−1)F(x)=P(x)/(x^{2}-1)F(x)=P(x)/(x2−1) forenkles uttrykket til F(x)=((2x+1)(3x−1))/(x+1)F(x)=((2x+1)(3x-1))/(x+1)F(x)=((2x+1)(3x−1))/(x+1), men x=1x=1x=1 og x=−1x=-1x=−1 må fortsatt behandles som opprinnelige bruddpunkter.
  3. Grensen når x går mot 1 blir ((2⋅1+1)(3⋅1−1))/(1+1)=3((2\cdot 1+1)(3\cdot 1-1))/(1+1)=3((2⋅1+1)(3⋅1−1))/(1+1)=3. Når x går mot -1, går nevneren mot 0 mens telleren ikke gjør det, så grensen eksisterer ikke.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven ikke mister definisjonskravet etter forkorting.

Oppgave 5

5

Kombinatorikk og hypergeometrisk sannsynlighet

📝 OppgaveVelg bøker og finn sannsynligheten for riktige bøker i et utvalg. ✅ Modellbesvarelse
  1. Antall måter å velge 3 av 8 bøker er C(8,3)=56C(8,3)=56C(8,3)=56.
  2. Sannsynligheten for at 3 av 4 trukne bøker er riktige blir C(3,3)C(5,1)/C(8,4)=114C(3,3)C(5,1)/C(8,4)=\tfrac{1}{14}C(3,3)C(5,1)/C(8,4)=141​.
  3. Sannsynligheten for minst to riktige kan regnes med komplement: 1−P(0)−P(1)1-P(0)-P(1)1−P(0)−P(1). Løsningen ender med 0,5.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser at trekking uten tilbakelegging krever hypergeometrisk modell.

Oppgave 6

6

Areal og optimalisering

📝 OppgaveFinn arealfunksjonen F(x)=((6+2x)/2)(9−x2)F(x)=((6+2x)/2)(9-x^{2})F(x)=((6+2x)/2)(9−x2) og bestem størst areal. ✅ Modellbesvarelse
  1. Arealfunksjonen forenkles til F(x)=−x3−3x2+9x+27F(x)=-x^{3}-3x^{2}+9x+27F(x)=−x3−3x2+9x+27.
  2. Deriver: F′(x)=−3x2−6x+9F'(x)=-3x^{2}-6x+9F′(x)=−3x2−6x+9. Likningen F′(x)=0F'(x)=0F′(x)=0 gir x=−3x=-3x=−3 eller x=1x=1x=1.
  3. I relevant geometrisk område velges x=1x=1x=1. Da blir F(1)=−1−3+9+27=32F(1)=-1-3+9+27=32F(1)=−1−3+9+27=32, så størst areal er 32.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen bygger modellen før den optimaliserer, og forkaster irrelevant løsning.

Oppgave 7

7

Sirkelgeometri

📝 OppgaveFinn vinklene u, v og w ved hjelp av sentralvinkel, periferivinkel og vinkelsum. ✅ Modellbesvarelse
  1. Når en sentralvinkel og en periferivinkel spenner over samme bue, er sentralvinkelen dobbelt så stor.
  2. Løsningssiden gir u=65u=65u=65 grader, w=130w=130w=130 grader, vinkel E=80E=80E=80 grader og dermed v=100v=100v=100 grader.
  3. Begrunnelsen må vise hvilke buer og trekanter vinklene hører til.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det bruker sirkelsetninger eksplisitt, ikke bare talljakt.

Oppgave 8

8

Parameterframstilling og vektorgeometri

📝 OppgaveLinjen l har parameterframstilling x=t,y=2t+1x=t, y=2t+1x=t,y=2t+1. Vis AD=[t+1,2t][t+1,2t][t+1,2t] og finn punktet D og B. ✅ Modellbesvarelse
  1. Når A=(−1,1)A=(-1,1)A=(−1,1) og D=(t,2t+1)D=(t,2t+1)D=(t,2t+1), får vi AD=[t−(−1),(2t+1)−1]=[t+1,2t][t-(-1),(2t+1)-1]=[t+1,2t][t−(−1),(2t+1)−1]=[t+1,2t].
  2. Bruk |AD|=|CD|. Da gir kvadrering (t+1)2+4t2=(t−7)2+(2t−4)2(t+1)^{2}+4t^{2}=(t-7)^{2}+(2t-4)^{2}(t+1)2+4t2=(t−7)2+(2t−4)2, som fører til t=2t=2t=2 og D=(2,5)D=(2,5)D=(2,5).
  3. Videre gir vektorregning B=(4,1)iB=(4,1) iB=(4,1)i løsningssiden.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den bruker vektorer systematisk og unngår unødvendig rot med kvadratrøtter.

Oppgave 1

1

Binomisk modell for elbil-telling

📝 OppgaveVurder når en situasjon kan regnes som binomisk, og løs sannsynlighetsspørsmål digitalt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Situasjonen er egentlig hypergeometrisk hvis biler trekkes fra en endelig mengde uten tilbakelegging.
  2. Den kan likevel modelleres binomisk dersom populasjonen er stor og hvert observerte kjøretøy ikke påvirker neste observasjon nevneverdig.
  3. Et sterkt svar dokumenterer forutsetningen før CAS eller sannsynlighetskalkulator brukes.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarModellkritikk gir høy uttelling fordi eleven viser forståelse av vilkårene bak formelen.

Oppgave 3

3

Vektorfunksjoner og banefart

📝 OppgaveTo partikler har posisjonsvektorer. Finn fartsvektorer, banefart og tidspunkter med samme fartsretning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Deriver posisjonsvektorene komponentvis: v1(t)=[2t,3t2−2]v_1(t)=[2t,3t^{2}-2]v1​(t)=[2t,3t2−2] og v2(t)=[2,4−8t]v_2(t)=[2,4-8t]v2​(t)=[2,4−8t].
  2. Ved t=−1t=-1t=−1 blir banefarten for partikkel 151 \sqrt{5}15 ​, og for partikkel 2148=2372 \sqrt{148}=2\sqrt{37}2148 ​=237 ​, omtrent 12,2.
  3. Samme fartsretning finnes ved å sette forholdet mellom komponentene likt. Løsningssiden gir omtrent t=−0,28t=-0,28t=−0,28 og t=0,65t=0,65t=0,65.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det skiller mellom fartsvektor, banefart og retning.

Oppgave 4

4

Formlikhet i geometri

📝 OppgaveVis formlikhet mellom flere trekanter og bruk det til arealresonnement. ✅ Modellbesvarelse
  1. Trekantene ABC, ADC og BCD er formlike fordi de har 90 grader og en felles/spiss vinkel.
  2. Speilede trekanter beholder vinkler og sideforhold, og er derfor formlike med de opprinnelige trekantene.
  3. Når flikene brettes inn i trekanten ABC, kan arealene sammenliknes: arealet av to mindre trekanter dekker samme areal som den tredje i den aktuelle konstruksjonen.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarEt sterkt svar forklarer både vinkellikhet og arealargumentet visuelt og algebraisk.

Ofte stilte spørsmål

Avslutt med en kontroll: ligger løsningen i riktig intervall, og gir den mening i konteksten?Hvorfor dette er sterkt: Et høyt nivå kjennetegnes av tydelig modell, digital kontroll og presis sluttsetning.Hva bør jeg øve på før R1 høst 2020?Sannsynlighet, funksjonsdrøfting, positiv derivert, vektorfunksjoner og modellering med digitale verktøy.Er høst 2020 komplett løst her?Dette er et publiserbart Ifingo-utkast med konkrete kildestøttede temaer. Hvert oppgavekort bør kontrolleres mot original-PDF før endelig publisering.Hvorfor er høstdelen mer forsiktig formulert?Fordi den åpne løsningssiden peker videre til PDF/video, mens vår 2020 har en mer detaljert tekstløsning.Hva er de viktigste temaene i R1 vår 2020?Derivasjon, logaritmer, vektorer, polynom, sannsynlighet, optimalisering, sirkelgeometri, parameterframstilling og formlikhet.Hvorfor er vår 2020 nyttig å øve på?Settet dekker mange klassiske R1R1R1-teknikker og har flere oppgaver der metodevalg er like viktig som svaret.Er dette dagens R1-fagkode?Nei. REA3022 er gammel fagkode. Dagens R1R1R1 ligger under REA3056. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1EksamensoppgaverMatematikk

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo