Matematikk R1 eksamen høst 2019 - REA3022 oppgaver og løsningsforslag

Arkivside for R1 høst 2019 med oppgavekort, modellbesvarelser, løsningsstrategier og forklaringer for sterke svar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

For h brukes kvotientregelen og kjerneregelen. Resultatet kan skrives h′(x)=(1−2ln⁡(2x))/x3h'(x)=(1-2\ln (2x))/x^{3}h′(x)=(1−2ln(2x))/x3.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=x4−2x+ln⁡x,g(x)=x7exf(x)=x^{4}-2x+\ln x, g(x)=x^{7} e^{x}f(x)=x4−2x+lnx,g(x)=x7ex og h(x)=ln⁡(2x)/x2h(x)=\ln (2x)/x^{2}h(x)=ln(2x)/x2. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f brukes potensregelen og logaritmeregelen: f′(x)=4x3−2+1/xf'(x)=4x^{3}-2+1/xf′(x)=4x3−2+1/x.
  2. For g brukes produktregelen: g′(x)=7x6ex+x7ex=x6ex(7+x)g'(x)=7x^{6} e^{x}+x^{7} e^{x}=x^{6} e^{x}(7+x)g′(x)=7x6ex+x7ex=x6ex(7+x).
  3. For h brukes kvotientregelen og kjerneregelen. Resultatet kan skrives h′(x)=(1−2ln⁡(2x))/x3h'(x)=(1-2\ln (2x))/x^{3}h′(x)=(1−2ln(2x))/x3.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser tre ulike derivasjonstyper og holder kontroll på både produkt, kvotient og kjerne.

Oppgave 2

2

Logaritmeregler

📝 OppgaveForenkle 4ln(ab^3)-3ln(ab^2)-ln(a/b). ✅ Modellbesvarelse
  1. Bruk ln(ab)=ln a+ln b, ln(b^3)=3ln b og ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln (a/b)=\ln a-\ln bln(a/b)=lna−lnb.
  2. Uttrykket blir 4ln⁡a+12ln⁡b−3ln⁡a−6ln⁡b−ln⁡a+ln⁡b4\ln a+12\ln b-3\ln a-6\ln b-\ln a+\ln b4lna+12lnb−3lna−6lnb−lna+lnb.
  3. ln⁡a\ln alna-leddene går bort, og svaret blir 7ln⁡b7\ln b7lnb.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det viser hver logaritmeregel og rydder leddene systematisk.

Oppgave 3

3

Polynom og ulikhet

📝 OppgaveFinn k slik at P(x)=x3+6x2P(x)=x^{3}+6x^{2}P(x)=x3+6x2+kx-30 er delelig med x-2, faktoriser og løs ulikheten. ✅ Modellbesvarelse
  1. Delelighet med x-2 betyr P(2)=0P(2)=0P(2)=0. Da får vi 8+24+2k−30=08+24+2k-30=08+24+2k−30=0, altså k=−1k=-1k=−1.
  2. Når k=−1k=-1k=−1, faktoriseres P(x)=(x−2)(x+3)(x+5)P(x)=(x-2)(x+3)(x+5)P(x)=(x−2)(x+3)(x+5).
  3. Ulikheten (x−2)(x+3)(x+5)≤0(x-2)(x+3)(x+5)\le 0(x−2)(x+3)(x+5)≤0 løses med fortegnsskjema og gir x i (-uendelig,-5] union [-3,2].
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser sammenhengen mellom faktor, nullpunkt og fortegn.

Oppgave 4

4

Vektorer og trapes

📝 OppgaveBruk punkter og vektorer til å undersøke normalitet og finne t-verdier som gir trapes. ✅ Modellbesvarelse
  1. Vektorene AB=[4,-2] og BC=[2,3]. Skalarproduktet blir 8−6=28-6=28−6=2, så de står ikke normalt.
  2. For at AB skal stå normalt på AD=[t+2,2], setter vi AB dot AD=0. Det gir 4(t+2)−4=04(t+2)-4=04(t+2)−4=0 og t=−1t=-1t=−1.
  3. Trapes kan oppstå ved AB parallell CD eller BC parallell DA. Løsningssiden gir t=2t=2t=2 og t=−23t=-\tfrac{2}{3}t=−32​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det sjekker begge parallelle muligheter og bruker skalarprodukt presist.

Oppgave 5

5

Komiteer og sannsynlighet

📝 OppgaveSett sammen komiteer og finn sannsynlighet for bestemte personer. ✅ Modellbesvarelse
  1. Antall komiteer med 3 av 7 og 2 av 5 er C(7,3)C(5,2)=35⋅10=350C(7,3)C(5,2)=35\cdot 10=350C(7,3)C(5,2)=35⋅10=350.
  2. Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med blir 37⋅25=635\tfrac{3}{7}\cdot \tfrac{2}{5}=\tfrac{6}{35}73​⋅52​=356​.
  3. Sannsynligheten for at akkurat én av dem blir med blir 37⋅35+47⋅25=1735\tfrac{3}{7}\cdot \tfrac{3}{5}+\tfrac{4}{7}\cdot \tfrac{2}{5}=\tfrac{17}{35}73​⋅53​+74​⋅52​=3517​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi tellerne tolkes som roller i utvalget, ikke bare som tilfeldige brøker.

Oppgave 6

6

og 7: Areal, tangent og Pytagoras

📝 OppgaveArbeid med skravert areal i en sirkel og en geometrisk tangentkonstruksjon. ✅ Modellbesvarelse
  1. For arealoppgaven brukes Pytagoras til å skrive rektangelhøyden som 4−x2\sqrt{4-x^{2}}4−x2 ​, og skravert areal som π−x⋅4−x2\pi -x\cdot \sqrt{4-x^{2}}π−x⋅4−x2 ​.
  2. Maksimum/minimum undersøkes ved derivasjon; løsningssiden peker på x=2x=\sqrt{2}x=2 ​ som sentral verdi.
  3. I tangentoppgaven brukes like tangentlengder, formlikhet og areal til å komme frem til a2+b2=c2a^{2}+b^{2}=c^{2}a2+b2=c2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det kombinerer geometri, algebra og derivasjon i samme resonnement.

Oppgave 1

1

Bayes og spamfilter

📝 OppgaveFinn sannsynligheter i et spamfilter med informasjon om ord fra en liste. ✅ Modellbesvarelse
  1. Total sannsynlighet for at et ord fra listen forekommer: P(L)=P(S)P(L|S)+P(ikke S)P(L|ikke S)=0,8*0,85+0,2*0,03=0,686.
  2. Bayes gir P(S∣L)=P(S)P(L∣S)/P(L)P(S|L)=P(S)P(L|S)/P(L)P(S∣L)=P(S)P(L∣S)/P(L), omtrent 0,991.
  3. Når ordet ikke står i listen, får vi P(S|ikke L)=0,8*0,15/(1-0,686), omtrent 0,382.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den bruker et valgtre og skiller mellom P(L∣S)P(L|S)P(L∣S) og P(S∣L)P(S|L)P(S∣L).

Oppgave 2

2

Parameterfunksjon og ekstremalpunkt

📝 OppgaveAnalyser f(x)=−x3+x2f(x)=-x^{3}+x^{2}f(x)=−x3+x2+kx+2 og finn betingelser, ekstremalpunkter og vendepunkt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Den deriverte er f′(x)=−3x2+2x+kf'(x)=-3x^{2}+2x+kf′(x)=−3x2+2x+k. For to ekstremalpunkter må diskriminanten være positiv, som gir k>−13k>-\tfrac{1}{3}k>−31​.
  2. Hvis toppunktet har x=2x=2x=2, settes f′(2)=0f'(2)=0f′(2)=0. Da blir k=8k=8k=8 og toppunktet er (2,14).
  3. Vendepunkt finnes med f′′(x)=−6x+2f''(x)=-6x+2f′′(x)=−6x+2, altså x=13x=\tfrac{1}{3}x=31​. Når stigning i vendepunktet skal være 2, gir dette k=53k=\tfrac{5}{3}k=35​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser hvordan første- og andrederivert brukes til ulike typer informasjon.

Oppgave 3

3

og 4: Bevegelse og tangenter

📝 OppgaveAnalyser ballbaner og en funksjon med tangenter som står normalt på hverandre. ✅ Modellbesvarelse
  1. For ballbaner brukes posisjonsfunksjon, fartsvektor og banefart. Løsningssiden oppgir blant annet flytidene 6,4 s og 5,7 s.
  2. Banefart idet ballene forlater taket er omtrent 33,6m/s33,6 m/s33,6m/s og 34,7m/s34,7 m/s34,7m/s, og lik fartsretning finnes etter omtrent 3,87 s.
  3. I tangentoppgaven viser man normalitet ved at produktet av stigningstallene er -1, eller ved å bruke skalarprodukt.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven dokumenterer digital metode og tolker tallene fysisk/geometrisk.

Oppgave 1

1

Derivasjon med rot, logaritme og eksponential

📝 OppgaveDeriver f(x)=x3+2x2−x,g(x)=x2ln⁡(2x−1)f(x)=x^{3}+2x^{2}-\sqrt{x}, g(x)=x^{2} \ln (2x-1)f(x)=x3+2x2−x ​,g(x)=x2ln(2x−1) og h(x)=4x/e2xh(x)=4x/e^{2x}h(x)=4x/e2x. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f får vi f′(x)=3x2+4x−1/(2x)f'(x)=3x^{2}+4x-1/(2\sqrt{x})f′(x)=3x2+4x−1/(2x ​).
  2. For g brukes produkt- og kjerneregel: g′(x)=2xln⁡(2x−1)+2x2/(2x−1)g'(x)=2x \ln (2x-1)+2x^{2}/(2x-1)g′(x)=2xln(2x−1)+2x2/(2x−1).
  3. For h kan vi skrive h(x)=4xe−2xh(x)=4x e^{-2x}h(x)=4xe−2x. Da blir h′(x)=4e−2x−8xe−2x=(4−8x)/e2xh'(x)=4e^{-2x}-8x e^{-2x}=(4-8x)/e^{2x}h′(x)=4e−2x−8xe−2x=(4−8x)/e2x.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser fleksibilitet: omskriving gjør særlig eksponentialoppgaven renere.

Oppgave 2

2

Algebraiske brøker og logaritmeuttrykk

📝 OppgaveForenkle rasjonale uttrykk og et uttrykk med ln⁡\lnln og e. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fellesnevneren i brøkuttrykket er x(x−1)(x+1)x(x-1)(x+1)x(x−1)(x+1). Etter samling står x i teller, og uttrykket blir 1/(x2−1)1/(x^{2}-1)1/(x2−1).
  2. I logaritme-/eksponentialuttrykket brukes ln⁡(e3)=3\ln (e^{3})=3ln(e3)=3 og eln⁡3=3e^{\ln 3}=3eln3=3.
  3. Dermed blir ((3+1)2)/(3+1)3=42/43=14((3+1)^{2})/(3+1)^{3}=4^{2}/4^{3}=\tfrac{1}{4}((3+1)2)/(3+1)3=42/43=41​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi eleven både forenkler og viser gyldig bruk av inverse funksjoner.

Oppgave 3

3

Polynomdivisjon og ulikhet

📝 OppgaveVis at f(x)f(x)f(x) er delelig med 2x−12x-12x−1, faktoriser og løs en ulikhet. ✅ Modellbesvarelse
  1. Nullpunktet til 2x−12x-12x−1 er x=12x=\tfrac{1}{2}x=21​. Ved innsetting får vi f(12)=0f(\tfrac{1}{2})=0f(21​)=0, så divisjonen går opp.
  2. Polynomdivisjon gir f(x)=(2x−1)(x−3)(x+2)f(x)=(2x-1)(x-3)(x+2)f(x)=(2x−1)(x−3)(x+2).
  3. Ulikheten kan omskrives til (2x−1)(x+2)(x−4)≥0(2x-1)(x+2)(x-4)\ge 0(2x−1)(x+2)(x−4)≥0. Fortegnsskjema gir xi[−2,12]x i [-2,\tfrac{1}{2}]xi[−2,21​] union [4,uendelig).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen binder sammen divisjon, faktorisering og fortegnsanalyse.

Oppgave 4

4

og 5: Algebra, implikasjon og resonnering

📝 OppgaveArbeid med uttrykk og logiske påstander der pilretning eller vilkår må begrunnes. ✅ Modellbesvarelse
  1. Når en påstand formuleres som implikasjon, må man sjekke om den ene løsningsmengden er delmengde av den andre.
  2. Hvis en betingelse er tilstrekkelig, men ikke nødvendig, går pilen bare én vei.
  3. Et sterkt svar bruker eksempel eller moteksempel når en ekvivalens ikke gjelder.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette viser matematisk modenhet: eleven vurderer logikk, ikke bare regner.

Oppgave 6

6

og 7: Derivert og bunnpunkt

📝 OppgaveVurder utsagn om f'(3), f''(3) og bunnpunkt i(3,f(3))i (3,f(3))i(3,f(3)). ✅ Modellbesvarelse
  1. Hvis f′(3)=0f'(3)=0f′(3)=0 og f''(3)>0, har grafen et lokalt bunnpunkt i(3,f(3))i (3,f(3))i(3,f(3)).
  2. Det motsatte er ikke alltid sant: en funksjon kan ha bunnpunkt selv om andrederivert er 0 i punktet.
  3. Et klassisk moteksempel er en partallspotens av (x-3) med høyere grad, der bunnpunktet er flatt.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det skiller mellom tilstrekkelig og nødvendig betingelse.

Oppgave 1

1

Ballbane og fartsvektor

📝 OppgaveGitt r(t)=[28t−3t2,10t−5t2]r(t)=[28t-3t^{2},10t-5t^{2}]r(t)=[28t−3t2,10t−5t2]. Finn fartsvektor, startfart, landingstid og fart i toppunkt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fartsvektoren er r′(t)=[28−6t,10−10t]r'(t)=[28-6t,10-10t]r′(t)=[28−6t,10−10t]. Ved t=0t=0t=0 er fartsvektoren [28,10], og banefarten er 282+102=29,7m/s\sqrt{28^{2}+10^{2}}=29,7 m/s282+102 ​=29,7m/s.
  2. Ballen treffer bakken når y-komponenten er 0. Det gir t=2t=2t=2 sekunder i løsningssiden.
  3. I toppunktet er y-komponenten til farten 0: 10−10t=010-10t=010−10t=0, altså t=1t=1t=1. Farten er da x-komponenten 22m/s22 m/s22m/s.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den skiller tydelig mellom posisjon, fartsvektor og banefart.

Oppgave 2

2

Hypergeometrisk og binomisk sannsynlighet

📝 OppgaveTre vinnere trekkes blant 20 ansatte, der 8 er menn. Analyser flere lotterier. ✅ Modellbesvarelse
  1. For ett lotteri brukes hypergeometrisk fordeling. Sannsynligheten for nøyaktig 2 menn blant 3 vinnere er omtrent 0,2947.
  2. For 12 lotterier kan antallet lotterier med akkurat 2 menn modelleres binomisk med p=0,2947p=0,2947p=0,2947. Sannsynligheten for akkurat 6 slike lotterier er omtrent 0,0745.
  3. Sannsynligheten for at alle tre har samme kjønn i minst ett av 12 lotterier er omtrent 0,9641.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser korrekt overgang fra hypergeometrisk enkelttrekk til binomisk repetisjon.

Oppgave 3

3

Funksjonsdrøfting med parameter

📝 OppgaveDrøft en tredjegradsfunksjon og en parameterfunksjon g. ✅ Modellbesvarelse
  1. For en konkret funksjon finner løsningssiden toppunkt (-2,2), bunnpunkt (−23,2227)(-\tfrac{2}{3},\tfrac{22}{27})(−32​,2722​) og vendepunkt (−43,3827)(-\tfrac{4}{3},\tfrac{38}{27})(−34​,2738​).
  2. For parameterfunksjonen g får grafen toppunkt og bunnpunkt når a<−23a<-2\sqrt{3}a<−23 ​ eller a>23a>2\sqrt{3}a>23 ​.
  3. Vendepunktet til g kan sammenliknes med grafen til h ved å sette inn x-koordinaten og vise at y-verdien stemmer uansett parameter.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bruker CAS/graf som støtte, men beholder matematisk begrunnelse.

Oppgave 4

4

Kongruens og Thales

📝 OppgaveVis kongruens mellom trekanter og bruk Thales setning i en geometrisk konstruksjon. ✅ Modellbesvarelse
  1. Toppvinkler gir like vinkler, og kvadrater gir parvis like sider. Da kan trekantene vises kongruente med side-vinkel-side.
  2. Med H som sentrum i en sirkel med diameter AB ligger C på sirkelen når vinkel ACB er 90 grader.
  3. Da er AH og HC radier i samme sirkel, og trekanten AHC er likebeint.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi geometriske setninger navngis og brukes presist.

Ofte stilte spørsmål

Hva bør jeg øve på før R1 høst 2019?Derivasjon, logaritmer, polynomfaktorisering, vektorer, kombinatorikk, Bayes og modellering med fartsvektorer.Er høst 2019 relevant for dagens R1?Ja som trening, men fagkoden er gammel. Bruk den som arkiv og suppler med REA3056-sett.Hva kjennetegner et sterkt svar i dette settet?At metodevalget forklares før regning, og at svarene tolkes i geometri, sannsynlighet eller modellkontekst.Hva er hovedtemaene i R1 vår 2019?Derivasjon, algebraiske brøker, polynomdivisjon, logikk, fartsvektorer, sannsynlighet, funksjonsdrøfting og geometri.Hvordan bør jeg bruke denne siden?Les oppgavekortet først, prøv selv, og bruk modellbesvarelsen til å sammenlikne metode, ikke bare sluttresultat.Er REA3022 fortsatt aktiv?Nei. REA3022 er arkiv/gammel læreplan og er erstattet av REA3056. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1Eksamensoppgave

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo