Matematikk R1 eksamen høst 2018 - REA3022 oppgaver og løsningsforslag

Arkivside for R1 høst 2018 med oppgavekort, modellbesvarelser, løsningsstrategier og forklaringer for sterke svar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

For h brukes kvotientregelen eller omskriving med e(−(2x+1))e^(-(2x+1))e(−(2x+1)). Et ryddig svar er h′(x)=(−2x+3)/e2x+1h'(x)=(-2x+3)/e^{2x+1}h′(x)=(−2x+3)/e2x+1.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=x2+2x+ex,g(x)=x2ln⁡xf(x)=x^{2}+2x+e^{x}, g(x)=x^{2} \ln xf(x)=x2+2x+ex,g(x)=x2lnx og h(x)=(x−1)/e2x+1h(x)=(x-1)/e^{2x+1}h(x)=(x−1)/e2x+1. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f brukes potensregelen og eksponentialregelen: f′(x)=2x+2+exf'(x)=2x+2+e^{x}f′(x)=2x+2+ex.
  2. For g brukes produktregelen: g′(x)=2xln⁡x+xg'(x)=2x \ln x+xg′(x)=2xlnx+x.
  3. For h brukes kvotientregelen eller omskriving med e(−(2x+1))e^(-(2x+1))e(−(2x+1)). Et ryddig svar er h′(x)=(−2x+3)/e2x+1h'(x)=(-2x+3)/e^{2x+1}h′(x)=(−2x+3)/e2x+1.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser riktig regelvalg og holder eksponentialnevneren samlet på en lesbar måte.

Oppgave 2

2

Eksponential- og logaritmelikninger

📝 OppgaveLøs e2x+7ex−8=0e^{2x}+7e^{x}-8=0e2x+7ex−8=0 og ln⁡(x2−5x−1)−ln⁡(3−2x)=0\ln (x^{2}-5x-1)-\ln (3-2x)=0ln(x2−5x−1)−ln(3−2x)=0. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sett u=exiu=e^{x} iu=exi første likning. Da blir u2+7u−8=0u^{2}+7u-8=0u2+7u−8=0, altså u=1u=1u=1 eller u=−8u=-8u=−8. Siden exe^{x}ex ikke kan være negativ, får vi x=0x=0x=0.
  2. I logaritmelikningen settes argumentene like etter at vi har kontroll på definisjonsmengden: x2−5x−1=3−2xx^{2}-5x-1=3-2xx2−5x−1=3−2x.
  3. Dette gir x=−1x=-1x=−1 eller x=4x=4x=4, men x=4x=4x=4 forkastes fordi logaritmeargumentene blir negative. Løsningen er x=−1x=-1x=−1.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den kontrollerer ugyldige logaritme- og eksponentialløsninger.

Oppgave 3

3

Vektorer

📝 OppgaveGitt a=[2,3]a=[2,3]a=[2,3] og b=[−5,3]b=[-5,3]b=[−5,3]. Regn ut 2b−3a2b-3a2b−3a, vurder lengden av a og avgjør om vinkelen er stump. ✅ Modellbesvarelse
  1. 2b−3a=2[−5,3]−3[2,3]=[−10,6]−[6,9]=[−16,−3]2b-3a=2[-5,3]-3[2,3]=[-10,6]-[6,9]=[-16,-3]2b−3a=2[−5,3]−3[2,3]=[−10,6]−[6,9]=[−16,−3].
  2. |a∣=22+32=13a|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}a∣=22+32 ​=13 ​, og siden 13<16\sqrt{13}<\sqrt{16}13 ​<16 ​, er |a|<4.
  3. Skalarproduktet a dot b=2⋅(−5)+3⋅3=−1b=2\cdot (-5)+3\cdot 3=-1b=2⋅(−5)+3⋅3=−1. Siden cosinus blir negativ, er vinkelen mellom vektorene stump.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det bruker både koordinatregning, lengde og skalarprodukt riktig.

Oppgave 4

4

Polynom og ulikhet

📝 OppgaveVis at f(x)=x3+6x2−x−30f(x)=x^{3}+6x^{2}-x-30f(x)=x3+6x2−x−30 har x=2x=2x=2 som nullpunkt, faktoriser og løs -2f(x)≥02f(x)\ge 02f(x)≥0. ✅ Modellbesvarelse
  1. f(2)=8+24−2−30=0f(2)=8+24-2-30=0f(2)=8+24−2−30=0, så x-2 er en faktor.
  2. Polynomdivisjon gir f(x)=(x+5)(x+3)(x−2)f(x)=(x+5)(x+3)(x-2)f(x)=(x+5)(x+3)(x−2).
  3. Fortegnsskjema for -2(x+5)(x+3)(x−2)≥02(x+5)(x+3)(x-2)\ge 02(x+5)(x+3)(x−2)≥0 gir x i (-uendelig,-5] union [-3,2].
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser hvordan nullpunkt, faktorisering og fortegnsskjema henger sammen.

Oppgave 5

5

Bayes med juletrevalg

📝 OppgaveFinn sannsynligheten for edelgran og sannsynligheten for kvinne gitt edelgran. ✅ Modellbesvarelse
  1. Total sannsynlighet: P(E)=P(E∣M)P(M)+P(E∣K)P(K)=0,60⋅0,70+0,40⋅0,30=0,54P(E)=P(E|M)P(M)+P(E|K)P(K)=0,60\cdot 0,70+0,40\cdot 0,30=0,54P(E)=P(E∣M)P(M)+P(E∣K)P(K)=0,60⋅0,70+0,40⋅0,30=0,54.
  2. Bayes gir P(K∣E)=P(K)P(E∣K)/P(E)=0,30⋅0,400,54=29P(K|E)=P(K)P(E|K)/P(E)=0,30\cdot 0,\tfrac{40}{0},54=\tfrac{2}{9}P(K∣E)=P(K)P(E∣K)/P(E)=0,30⋅0,040​,54=92​.
  3. Et sterkt svar merker hendelsene tydelig, for eksempel E for edelgran, K for kvinne og M for mann.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den skiller mellom P(E∣K)P(E|K)P(E∣K) og P(K∣E)P(K|E)P(K∣E), som ofte blandes.

Oppgave 7

7

Funksjonsdrøfting

📝 OppgaveDrøft g(x)=x−2ln⁡(x2+3)g(x)=x-2\ln (x^{2}+3)g(x)=x−2ln(x2+3), finn ekstremalpunkter og vendepunkter. ✅ Modellbesvarelse
  1. Den deriverte blir g′(x)=1−4x/(x2+3)=(x2−4x+3)/(x2+3)g'(x)=1-4x/(x^{2}+3)=(x^{2}-4x+3)/(x^{2}+3)g′(x)=1−4x/(x2+3)=(x2−4x+3)/(x2+3).
  2. g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0 gir x=1x=1x=1 og x=3x=3x=3. Fortegnsanalyse viser toppunkt ved x=1x=1x=1 og bunnpunkt ved x=3x=3x=3.
  3. Andrederivert kan skrives g′′(x)=4(x2−3)/(x2+3)2g''(x)=4(x^{2}-3)/(x^{2}+3)^{2}g′′(x)=4(x2−3)/(x2+3)2. Vendepunktene ligger ved x=+−3x=+-\sqrt{3}x=+−3 ​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det begrunner både ekstremalpunkt og vendepunkt med deriverte.

Oppgave 8

8

Konstruksjon og sirkelgeometri

📝 OppgaveKonstruer trekant ABC med AB=8, AC=5 og BC=7, innskrevet sirkel og et punkt D med vinkelbetingelse. ✅ Modellbesvarelse
  1. Trekanten konstrueres med linjestykke og sirkelbuer fra A og B med de gitte radiene.
  2. Sentrum i innskrevet sirkel finnes som skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene.
  3. I siste del brukes periferivinkel/sentralvinkel: en periferivinkel som spenner over samme bue som en sentralvinkel på 60 grader, er 30 grader.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi konstruksjonstrinnene forklares, ikke bare tegnes.

Oppgave 1

1

Binomisk sannsynlighet og kombinasjoner

📝 OppgaveArbeid med blomster der sannsynligheten for gul blomst er 0,4, og finn antall plasseringer. ✅ Modellbesvarelse
  1. For 10 planter og p=0,4p=0,4p=0,4 brukes binomisk fordeling. Sannsynligheten for akkurat fem gule blomster er omtrent 0,20.
  2. Sannsynligheten for flere enn fem gule blomster er omtrent 0,1662.
  3. Antall måter å plassere 4 gule blomster på 10 plasser er C(10,4)=210C(10,4)=210C(10,4)=210.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser forskjellen mellom sannsynlighet og ren kombinatorisk telling.

Oppgave 2

2

Formlikhet og vinkelhalvering

📝 OppgaveVis formlikhet i en trekantfigur og finn AD når a=6,b=7a=6, b=7a=6,b=7 og c=10c=10c=10. ✅ Modellbesvarelse
  1. Samsvarende vinkler og toppvinkler viser at trekantene AED og BCD er formlike.
  2. Vinkelhalvering gir at trekant AEC er likebeint, slik at AE=AC=b.
  3. Forholdet AD/DB=b/ab/ab/a og AD+DB=c gir AD=7013\tfrac{70}{13}1370​ når a=6,b=7a=6, b=7a=6,b=7 og c=10c=10c=10.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den bygger likningen fra geometri før CAS/likningsløsning.

Oppgave 3

3

og 4: Parameterkurve og arealforhold

📝 OppgaveFinn linje gjennom A(3,0),B(5,5)A(3,0), B(5,5)A(3,0),B(5,5), analyser en parameterkurve og undersøk arealforhold. ✅ Modellbesvarelse
  1. Retningsvektoren AB=[2,5], så linjen kan skrives x=3+2t,y=5tx=3+2t, y=5tx=3+2t,y=5t.
  2. For kurven brukes r′(t)=[1,2t]r'(t)=[1,2t]r′(t)=[1,2t]. Samme stigningstall som linjen gir 2t=522t=\tfrac{5}{2}2t=25​, altså t=54t=\tfrac{5}{4}t=45​.
  3. Minste avstand fra linjen til kurven er 329/83\sqrt{29}/8329 ​/8. I siste oppgave brukes CAS til å vise at et arealforhold er uavhengig av parameteren r.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven oversetter mellom vektor, stigningstall, avstand og digital verifikasjon.

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=x4−x+2,g(x)=x3ln⁡xf(x)=x^{4}-x+2, g(x)=x^{3} \ln xf(x)=x4−x+2,g(x)=x3lnx og h(x)=e2x2+xh(x)=e^{2x^{2}+x}h(x)=e2x2+x. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f brukes potensregelen: f′(x)=4x3−1f'(x)=4x^{3}-1f′(x)=4x3−1.
  2. For g brukes produktregelen: g′(x)=3x2ln⁡x+x2g'(x)=3x^{2} \ln x+x^{2}g′(x)=3x2lnx+x2.
  3. For h brukes kjerneregelen. Kjernen er 2x2+x2x^{2}+x2x2+x, og den deriverte er 4x+14x+14x+1. Dermed blir h′(x)=(4x+1)e2x2+xh'(x)=(4x+1)e^{2x^{2}+x}h′(x)=(4x+1)e2x2+x.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser korrekt bruk av potensregel, produktregel og kjerneregel.

Oppgave 2

2

Algebraiske brøker

📝 OppgaveForenkle 1/(2x−2)+2/(x−3)−(x−2)/(x2−4x+3)1/(2x-2)+2/(x-3)-(x-2)/(x^{2}-4x+3)1/(2x−2)+2/(x−3)−(x−2)/(x2−4x+3). ✅ Modellbesvarelse
  1. Faktoriser nevnerne: 2x−2=2(x−1)2x-2=2(x-1)2x−2=2(x−1) og x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)x2−4x+3=(x−1)(x−3).
  2. Fellesnevner kan velges som 2(x-1)(x-3).
  3. Når tellerne samles, får vi 3x−3=3(x−1)3x-3=3(x-1)3x−3=3(x−1). Etter forkorting blir svaret 3/(2x−6)3/(2x-6)3/(2x−6).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det viser fellesnevner, faktorisering og forkorting med definisjonskontroll.

Oppgave 3

3

og 4: Ulikheter og vektorer

📝 OppgaveLøs algebraiske ulikheter og bruk vektorregning i plan. ✅ Modellbesvarelse
  1. I ulikheter bør alle ledd flyttes til én side før faktorisering eller fortegnsskjema.
  2. I vektoroppgaver settes koordinater inn komponentvis, og lengder regnes med Pytagoras.
  3. For vinkelspørsmål brukes skalarprodukt: u dot v=∣u∣∣v∣cos⁡vv=|u||v|\cos vv=∣u∣∣v∣cosv.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi metoden er generell og etterprøvbar, også når tallene er krevende.

Oppgave 6

6

Eksponentialfunksjon

📝 OppgaveDrøft f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^{x}+3f(x)=e2x−4ex+3: nullpunkter, bunnpunkt, vendepunkt og skisse. ✅ Modellbesvarelse
  1. Nullpunktene finnes med u=exu=e^{x}u=ex: u2−4u+3=0u^{2}-4u+3=0u2−4u+3=0, altså u=1u=1u=1 eller u=3u=3u=3. Dermed x=0x=0x=0 og x=ln3.
  2. f′(x)=2e2x−4exf'(x)=2e^{2x}-4e^{x}f′(x)=2e2x−4ex. f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 gir x=ln2, og f(ln⁡2)=−1f(\ln 2)=-1f(ln2)=−1. Bunnpunktet er (ln⁡2,−1)(\ln 2,-1)(ln2,−1).
  3. f′′(x)=4e2x−4exf''(x)=4e^{2x}-4e^{x}f′′(x)=4e2x−4ex. Vendepunktet er ved x=0x=0x=0, og f(0)=0f(0)=0f(0)=0.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det bruker substitusjon, første- og andrederivert i riktig rekkefølge.

Oppgave 7

7

Formlikhet

📝 OppgaveVis formlikhet i en sammensatt figur og begrunn at punkter ligger på rett linje. ✅ Modellbesvarelse
  1. Trekanter er formlike når de har parvis like vinkler og samme forhold mellom samsvarende sider.
  2. Vinkelsum i trekant ABD gir vinkel DAB + BDA + ABD = 180 grader.
  3. Ved å bruke samsvarende vinkler kan man erstatte vinklene og vise at E, D og C ligger på én rett linje.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den bruker vinkelsum og samsvarende vinkler som bevis, ikke bare figurlesing.

Oppgave 1

1

Digital modellering

📝 OppgaveBruk digitalt verktøy til å analysere en funksjon eller modell fra del 2. ✅ Modellbesvarelse
  1. Definer funksjonen i CAS eller GeoGebra før du løser. Bruk deretter nullpunkt-, ekstremalpunkt- eller skjæringskommandoer etter behov.
  2. Når et digitalt svar gis, må enheten og konteksten forklares i en setning.
  3. Et karakter 6-svar viser både kommando/metode og en matematisk tolkning av resultatet.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi digital metode dokumenteres og ikke bare brukes som fasitmaskin.

Oppgave 2

2

Samlet del 2-strategi

📝 OppgaveLøs en større del 2-oppgave med flere ledd, der graf, algebra og tolkning må kombineres. ✅ Modellbesvarelse
  1. Start med å skille mellom det som skal regnes eksakt og det som kan undersøkes digitalt.
  2. Bruk grafen til oversikt, men begrunn konklusjoner med likninger, deriverte eller målinger fra verktøyet.
  3. Avslutt hvert delspørsmål med en klar konklusjon, slik at sensor ser svaret uten å lete gjennom skjermbilder.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterk besvarelse handler her om dokumentert arbeidsflyt og presis tolkning.

Ofte stilte spørsmål

Hva bør jeg øve på før R1 høst 2018?Derivasjon, eksponential- og logaritmelikninger, vektorer, polynom, Bayes, funksjonsdrøfting, konstruksjon og parameterkurver.Er høst 2018 relevant for dagens R1?Ja som trening, men fagkoden er gammel. Bruk den som arkiv og suppler med REA3056-sett.Hva kjennetegner et sterkt svar i dette settet?At metodevalget forklares før regning, og at svarene tolkes i geometri, sannsynlighet eller modellkontekst.Hva er hovedtemaene i R1 vår 2018?Derivasjon, algebraiske brøker, ulikheter, vektorer, eksponentialfunksjoner, formlikhet og digital modellering.Hvordan bør jeg bruke denne siden?Les oppgavekortet først, prøv selv, og bruk modellbesvarelsen til å sammenlikne metode, ikke bare sluttresultat.Er REA3022 fortsatt aktiv?Nei. REA3022 er arkiv/gammel læreplan og er erstattet av REA3056. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1Eksamensoppgaver

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo