Matematikk R1 eksamen høst 2015 - REA3022 oppgaver og løsningsforslag

Arkivside for R1 høst 2015 med oppgavekort, modellbesvarelser, løsningsstrategier og forklaringer for sterke svar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

Hvorfor dette er sterkt: Svaret viser potensregel, kjerneregel og produktregel i samme oppgave.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=3x2+5x−2,g(x)=3(x2−2)4f(x)=3x^{2}+5x-2, g(x)=3(x^{2}-2)^{4}f(x)=3x2+5x−2,g(x)=3(x2−2)4 og h(x)=xln⁡(x2+3)h(x)=x \ln (x^{2}+3)h(x)=xln(x2+3). ✅ Modellbesvarelse
  1. For f brukes potensregelen: f′(x)=6x+5f'(x)=6x+5f′(x)=6x+5.
  2. For g brukes kjerneregelen: g′(x)=24x(x2−2)3g'(x)=24x(x^{2}-2)^{3}g′(x)=24x(x2−2)3.
  3. For h brukes produkt- og kjerneregel: h′(x)=ln⁡(x2+3)+2x2/(x2+3)h'(x)=\ln (x^{2}+3)+2x^{2}/(x^{2}+3)h′(x)=ln(x2+3)+2x2/(x2+3).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser potensregel, kjerneregel og produktregel i samme oppgave.

Oppgave 2

2

Maksimum for xe^(-x)

📝 OppgaveVis at f(x)f(x)f(x)=xe^(-x) har maksimum ved x=1x=1x=1. ✅ Modellbesvarelse
  1. Deriver: f′(x)=e−x+x(−e−x)=e−x(1−x)f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)f′(x)=e−x+x(−e−x)=e−x(1−x).
  2. Siden e−xe^{-x}e−x alltid er positiv, bestemmes fortegnet av 1-x.
  3. Den deriverte går fra positiv til negativ ved x=1x=1x=1, så funksjonen har maksimum der.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi fortegnet til den deriverte begrunnes, ikke bare nullpunktet.

Oppgave 3

3

og 4: Polynom og logaritmer

📝 OppgaveFinn k slik at x-1 er faktor, faktoriser polynomet og forenkle et logaritmeuttrykk. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f(x)=x3−2x2f(x)=x^{3}-2x^{2}f(x)=x3−2x2-kx+6 krever delelighet med x-1 at f(1)=0f(1)=0f(1)=0. Det gir k=5k=5k=5.
  2. Da faktoriseres polynomet som (x-1)(x+2)(x-3). Fortegnsskjema gir f(x)≥0f(x)\ge 0f(x)≥0 for x i [-2,1] union [3,uendelig).
  3. Logaritmeuttrykket lg⁡(a2b3)+lg⁡(1/b2)−lg⁡(b/a)\lg (a^{2}b^{3})+\lg (1/b^{2})-\lg (b/a)lg(a2b3)+lg(1/b2)−lg(b/a) forenkles til 3lg⁡a3\lg a3lga.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det kobler faktorteoremet, fortegn og logaritmeregler.

Oppgave 5

5

Funksjonsdrøfting

📝 OppgaveDrøft f(x)=−x4+4x3f(x)=-x^{4}+4x^{3}f(x)=−x4+4x3 på intervallet og finn nullpunkt, ekstremalpunkt og vendepunkt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Faktorisering gir f(x)=x3(4−x)f(x)=x^{3}(4-x)f(x)=x3(4−x). I det aktuelle intervallet er origo eneste nullpunkt.
  2. f′(x)=−4x3+12x2=−4x2(x−3)f'(x)=-4x^{3}+12x^{2}=-4x^{2}(x-3)f′(x)=−4x3+12x2=−4x2(x−3). Grafen har terrassepunkt i (0,0) og maksimum i (3,27).
  3. f′′(x)=−12x2+24x=−12x(x−2)f''(x)=-12x^{2}+24x=-12x(x-2)f′′(x)=−12x2+24x=−12x(x−2), så vendepunktene er (0,0) og (2,16).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven skiller mellom terrassepunkt, maksimum og vendepunkt.

Oppgave 6

6

og 7: Sirkelvinkler og sannsynlighet

📝 OppgaveFinn vinkler i sirkel og bruk tabell for sannsynlighet om blå øyne. ✅ Modellbesvarelse
  1. Periferivinkler som spenner over samme bue er like, og en vinkel over diameter er 90 grader. Løsningssiden gir u=50u=50u=50 grader og v=40v=40v=40 grader.
  2. I sannsynlighetsoppgaven gir 60 prosent jenter og 70 prosent blåøyde jenter 42 prosent jenter med blå øyne.
  3. Totalt er sannsynligheten for blå øyne 64 prosent, og blant dem uten blå øyne er sannsynligheten for gutt 0,5.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det oversetter tekst til en ryddig tabell og bruker sirkelsetninger presist.

Oppgave 9

9

Logaritmelikning

📝 OppgaveLøs lg⁡((x+2)2)=lg⁡(x4)\lg ((x+2)^{2})=\lg (x^{4})lg((x+2)2)=lg(x4). ✅ Modellbesvarelse
  1. Bruk logaritmeregler: 2lg⁡(x+2)=4lg⁡x2\lg (x+2)=4\lg x2lg(x+2)=4lgx kan omskrives som lg⁡(x+2)=lg⁡(x2)\lg (x+2)=\lg (x^{2})lg(x+2)=lg(x2), når uttrykkene er definert.
  2. Da får vi x+2=x2x+2=x^{2}x+2=x2, altså x2−x−2=0x^{2}-x-2=0x2−x−2=0.
  3. Løsningene er x=−1x=-1x=−1 og x=2x=2x=2, og begge er gyldige i den opprinnelige likningen.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den kontrollerer definisjonsmengden etter algebraen.

Oppgave 1

1

Eksponentiell regresjon

📝 OppgaveBruk en modell f(x)f(x)f(x)=Ce^(kx), finn parametere og tolk vekst. ✅ Modellbesvarelse
  1. Regresjon gir C=3C=3C=3 og k=0,01625k=0,01625k=0,01625.
  2. Modellen peker på år 74 etter 1960, altså 2034, for den aktuelle terskelen.
  3. f(x)=3e0,01625x=3⋅(1,01638)xf(x)=3e^{0,01625x}=3\cdot (1,01638)^{x}f(x)=3e0,01625x=3⋅(1,01638)x, som betyr en årlig økning på omtrent 1,64 prosent.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi modellparameterne tolkes i faktisk vekst, ikke bare oppgis.

Oppgave 2

2

og 3: Geometri og arealmodell

📝 OppgaveBruk vektorregning til normal fra C på AB, og modeller rektangelareal. ✅ Modellbesvarelse
  1. Normalpunktet på x-aksen finnes med AB=[8,-1] og [8,-1] dot [5−x,8]=0[5-x,8]=0[5−x,8]=0. Dette gir x=4x=4x=4.
  2. Arealmodellen for rektangelet er G(x)=x(4−0,125x3)=4x−0,125x4G(x)=x(4-0,125x^{3})=4x-0,125x^{4}G(x)=x(4−0,125x3)=4x−0,125x4.
  3. Arealet 5,0 fås for x=1,36x=1,36x=1,36 og x=2,53x=2,53x=2,53, mens største areal er 6 når x=2x=2x=2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den viser både geometrisk normalitet og optimalisering av areal.

Oppgave 4

4

Tredje skjæringspunkt og generell sum

📝 OppgaveBruk CAS/graf til å undersøke en funksjon og et generelt uttrykk for skjæringspunkter. ✅ Modellbesvarelse
  1. Fra grafen leses tredje skjæringspunkt som (5,8) i ett av delspørsmålene.
  2. For en generell linje gjennom to punkter brukes stigningstall a=(g(t)−g(s))/(t−s)a=(g(t)-g(s))/(t-s)a=(g(t)−g(s))/(t−s).
  3. CAS-uttrykket viser at x-koordinatene til tre skjæringspunkter kan summeres til -a.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi digital algebra brukes til å avdekke en generell sammenheng.

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=x3+2x2−3x,g(x)=ln⁡(x−2)f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x, g(x)=\ln (x-2)f(x)=x3+2x2−3x,g(x)=ln(x−2) og h(x)=(2x2−1)3h(x)=(2x^{2}-1)^{3}h(x)=(2x2−1)3. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f brukes potensregelen: f′(x)=3x2+4x−3f'(x)=3x^{2}+4x-3f′(x)=3x2+4x−3.
  2. For g blir g′(x)=1/(x−2)g'(x)=1/(x-2)g′(x)=1/(x−2).
  3. For h brukes kjerneregelen: h′(x)=12x(2x2−1)2h'(x)=12x(2x^{2}-1)^{2}h′(x)=12x(2x2−1)2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser potensregel, logaritmederivasjon og kjerneregel.

Oppgave 2

2

og 3: Polynom og algebraiske brøker

📝 OppgaveVis at x-2 er faktor iP(x)=x3+2x2−5x−6i P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6iP(x)=x3+2x2−5x−6, faktoriser og forenkle et brøkuttrykk. ✅ Modellbesvarelse
  1. P(2)=8+8−10−6=0P(2)=8+8-10-6=0P(2)=8+8−10−6=0, så polynomet er delelig med x-2.
  2. Polynomdivisjon gir P(x)=(x−2)(x+1)(x+3)P(x)=(x-2)(x+1)(x+3)P(x)=(x−2)(x+1)(x+3).
  3. I brøkoppgaven samles uttrykk på fellesnevner x(x+2)(x−2)x(x+2)(x-2)x(x+2)(x−2), og resultatet forenkles til x/((x+2)(x−2))x/((x+2)(x-2))x/((x+2)(x−2)).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det viser både faktorteorem, polynomdivisjon og kontrollert brøkregning.

Oppgave 4

4

og 5: Sirkel og vektorer

📝 OppgaveSkriv en sirkel på standardform og arbeid med parallelle, normale og skalerte vektorer. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sirkelen x2−2x+y2+4y−20=0x^{2}-2x+y^{2}+4y-20=0x2−2x+y2+4y−20=0 skrives som (x−1)2+(y+2)2=25(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=25(x−1)2+(y+2)2=25.
  2. Sentrum er (1,-2), og radius er 5.
  3. For v=[3,4]v=[3,4]v=[3,4] har v lengde 5. En vektor med samme retning og lengde 7 blir 75v=[215,285]\tfrac{7}{5}v=[\tfrac{21}{5},\tfrac{28}{5}]57​v=[521​,528​].
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det kobler fullstendige kvadrater og vektorbegreper presist.

Oppgave 6

6

og 7: Kombinatorikk og maksimum

📝 OppgaveBruk kombinasjoner og analyser f(x)=3f(x)=3f(x)=3xe^(-x). ✅ Modellbesvarelse
  1. C(12,2)=66C(12,2)=66C(12,2)=66, og C(n,1)=nC(n,1)=nC(n,1)=n.
  2. Likningen x(12−x)/66=611x(12-x)/66=\tfrac{6}{11}x(12−x)/66=116​ gir x=6x=6x=6.
  3. For f(x)=3f(x)=3f(x)=3xe^(-x) får vi f′(x)=3e−x(1−x)f'(x)=3e^{-x}(1-x)f′(x)=3e−x(1−x), så maksimumspunktet er (1,3/e)(1,3/e)(1,3/e).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den viser både tellemodell og fortegn for den deriverte.

Oppgave 8

8

og 9: Sinussetning og eksponentiallikning

📝 OppgaveVis sammenheng i trekant/sirkel og løs 9x−3x−12=09^{x}-3^{x}-12=09x−3x−12=0. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sirkelargumentet leder til 2R=b/sin⁡B2R=b/\sin B2R=b/sinB, og tilsvarende sammenheng kan vises for sidene a og c.
  2. I eksponentiallikningen settes u=3xu=3^{x}u=3x. Da blir u2−u−12=0u^{2}-u-12=0u2−u−12=0.
  3. u=−3u=-3u=−3 forkastes, og u=4u=4u=4 gir x=lg4/lg3.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det forkaster ugyldig eksponentialløsning og begrunner geometrien.

Oppgave 1

1

og 2: Sirkel og trafikkmodell

📝 OppgaveFinn sirkel med sentrum (3,3), radius 18\sqrt{18}18 ​, og tolk en trafikkgraf. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sirkelen skrives (x−3)2+(y−3)2=18(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=18(x−3)2+(y−3)2=18.
  2. Fra trafikkmodellen leses at farten må være omtrent 12-58 km/h i ett intervallspørsmål.
  3. Det passerer flest biler, omtrent 30 per minutt, når farten er ca. 26 km/h.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi grafiske avlesninger knyttes til tydelig matematisk tolkning.

Oppgave 3

3

Båter og fartsvektorer

📝 OppgaveDeriver posisjonsvektorer og finn farten til to båter. ✅ Modellbesvarelse
  1. For båt A gir rA(t)=[18t−8,10−3t]r_A(t)=[18t-8,10-3t]rA​(t)=[18t−8,10−3t], så vA=[18,−3]v_A=[18,-3]vA​=[18,−3] og farten er 182+(−3)2\sqrt{18^{2}+(-3)^{2}}182+(−3)2 ​, omtrent 18,2 km/h.
  2. For båt B gir rB(t)=[10t,20−6t]r_B(t)=[10t,20-6t]rB​(t)=[10t,20−6t], så vB=[10,−6]v_B=[10,-6]vB​=[10,−6] og farten er omtrent 11,6 km/h.
  3. Avstanden mellom båtene behandles som lengden av differansevektoren.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det skiller posisjon, fartsvektor, fart og avstand.

Ofte stilte spørsmål

Hva bør jeg øve på før R1 høst 2015?Derivasjon, polynom, logaritmer, funksjonsdrøfting, sirkelgeometri, sannsynlighet, regresjon, vektorer og arealmodeller.Er høst 2015 relevant for dagens R1?Ja som trening, men fagkoden er gammel. Bruk den som arkiv og suppler med REA3056-sett.Hva kjennetegner et sterkt svar i dette settet?At metodevalget forklares før regning, og at svarene tolkes i geometri, sannsynlighet eller modellkontekst.Hva er hovedtemaene i R1 vår 2015?Derivasjon, polynom, algebraiske brøker, sirkel, vektorer, kombinatorikk, eksponentiallikninger, trafikkmodell og fartsvektorer.Hvordan bør jeg bruke denne siden?Les oppgavekortet først, prøv selv, og bruk modellbesvarelsen til å sammenlikne metode, ikke bare sluttresultat.Er REA3022 fortsatt aktiv?Nei. REA3022 er arkiv/gammel læreplan og er erstattet av REA3056. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1EksamensoppgaverMatematikk

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo