Matematikk R1 eksempel 2015 - REA3022 oppgaver og løsningsforslag

Arkivside for R1 eksempel 2015 med oppgavekort, modellbesvarelser, løsningsstrategier og forklaringer for sterke svar.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

Spørsmål / oppgavekort: Deriver tre funksjoner: et polynom, et produkt med exe^{x}ex og en logaritme med lineær kjerne.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver tre funksjoner: et polynom, et produkt med exe^{x}ex og en logaritme med lineær kjerne. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f(x)=2x3+x−1f(x)=2x^{3}+x-1f(x)=2x3+x−1 brukes potensregelen direkte: f′(x)=6x2+1f'(x)=6x^{2}+1f′(x)=6x2+1.
  2. For g(x)=x2exg(x)=x^{2}e^{x}g(x)=x2ex brukes produktregelen: g′(x)=2g'(x)=2g′(x)=2xe^x+x2ex=ex(x2+2x)x+x^{2}e^{x}=e^{x}(x^{2}+2x)x+x2ex=ex(x2+2x).
  3. For h(x)=ln⁡(2x−3)h(x)=\ln (2x-3)h(x)=ln(2x−3) brukes kjerneregelen: h′(x)=2/(2x−3)h'(x)=2/(2x-3)h′(x)=2/(2x−3), med definisjonskrav x>32x>\tfrac{3}{2}x>23​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser riktig regelvalg og tar med definisjonsmengde der logaritmen krever det.

Oppgave 2

2

Logaritmer og polynom

📝 OppgaveLøs en logaritmelikning og faktoriser et tredjegradspolynom. ✅ Modellbesvarelse
  1. Likningen lg⁡(x2)−lg⁡(4x)=0\lg (x^{2})-\lg (4x)=0lg(x2)−lg(4x)=0 gir lg⁡(x2/(4x))=0\lg (x^{2}/(4x))=0lg(x2/(4x))=0. Siden x>0, får vi lg⁡(x/4)=0\lg (x/4)=0lg(x/4)=0, altså x=4x=4x=4.
  2. For P(x)=x3−2x2−13x−10P(x)=x^{3}-2x^{2}-13x-10P(x)=x3−2x2−13x−10 viser kontrollen P(−1)=0P(-1)=0P(−1)=0 at x+1 er faktor.
  3. Faktorisering gir P(x)=(x+1)(x−5)(x+2)P(x)=(x+1)(x-5)(x+2)P(x)=(x+1)(x−5)(x+2). Nullpunktene er derfor x=−2,x=−1x=-2, x=-1x=−2,x=−1 og x=5x=5x=5.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi logaritmeregler, definisjonskrav og faktorteorem behandles ryddig.

Oppgave 3

3

Vektorer

📝 OppgaveArbeid med vektorene a=[4,−3]a=[4,-3]a=[4,−3] og b=[5,12]b=[5,12]b=[5,12]. Finn lengde, lineærkombinasjon og skalarprodukt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Lengden av a er |a∣=42+(−3)2=5a|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5a∣=42+(−3)2 ​=5.
  2. Lineærkombinasjonen blir 2a−b=2[4,−3]−[5,12]=[8,−6]−[5,12]=[3,−18]2a-b=2[4,-3]-[5,12]=[8,-6]-[5,12]=[3,-18]2a−b=2[4,−3]−[5,12]=[8,−6]−[5,12]=[3,−18].
  3. Skalarproduktet er a dot b=4⋅5+(−3)⋅12=20−36=−16b=4\cdot 5+(-3)\cdot 12=20-36=-16b=4⋅5+(−3)⋅12=20−36=−16.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser både regneoperasjoner og geometrisk presisjon i vektorregning.

Oppgave 4

4

Sannsynlighet og tabell

📝 OppgaveBruk en undersøkelsestabell om trening og finn andeler for kjønn og treningshyppighet. ✅ Modellbesvarelse
  1. Summen som trener minst en gang per uke, er 200 personer.
  2. Andelen kvinner som trener en gang per uke, blir 15 prosent i den aktuelle totalen.
  3. Blant dem som trener minst en gang per uke, er andelen kvinner 55 prosent.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi svaret skiller mellom prosent av hele utvalget og prosent innenfor en betinget gruppe.

Oppgave 5

5

Funksjonsdrøfting fra graf

📝 OppgaveLes nullpunkter og form ut fra en graf og koble grafen til et polynomuttrykk. ✅ Modellbesvarelse
  1. Grafen viser nullpunktene x=−1,x=1x=-1, x=1x=−1,x=1 og x=3x=3x=3.
  2. Når polynomet skrives på faktorform, gir grafen koeffisienten a=−1a=-1a=−1.
  3. Et sterkt svar beskriver også ekstremalpunkter og vendepunkt med fortegn og grafisk begrunnelse, ikke bare med avlesning.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen er sterk fordi den kombinerer grafisk informasjon med algebraisk modell.

Oppgave 6

6

Sirkel og linje

📝 OppgaveSkriv sirkel på standardform, finn sentrum/radius og bestem en linje gjennom sentrum. ✅ Modellbesvarelse
  1. x2+y2−4x+2y−20=0x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0x2+y2−4x+2y−20=0 skrives som (x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25(x−2)2+(y+1)2=25.
  2. Sirkelen har sentrum S=(2,−1)S=(2,-1)S=(2,−1) og radius r=5r=5r=5.
  3. Linjen gjennom S og P=(6,2)P=(6,2)P=(6,2) har stigningstall 34\tfrac{3}{4}43​. Dermed er y=34x−52y=\tfrac{3}{4}x-\tfrac{5}{2}y=43​x−25​, og skjæringen med x-aksen er (103,0)(\tfrac{10}{3},0)(310​,0).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi fullstendige kvadrater, punkt-stigningstall og koordinatgeometri henger sammen.

Oppgave 7

7

Eksponentialfunksjon

📝 OppgaveDrøft f(x)=3e2x−6ex+4f(x)=3e^{2x}-6e^{x}+4f(x)=3e2x−6ex+4 og finn ekstremalpunkt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Derivasjon gir f′(x)=6e2x−6ex=6ex(ex−1)f'(x)=6e^{2x}-6e^{x}=6e^{x}(e^{x}-1)f′(x)=6e2x−6ex=6ex(ex−1).
  2. Siden exe^{x}ex er positiv, er f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 bare når ex=1e^{x}=1ex=1, altså x=0x=0x=0.
  3. f(0)=3−6+4=1f(0)=3-6+4=1f(0)=3−6+4=1. Fortegnet til f' går fra negativt til positivt, så (0,1) er et minimumspunkt.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den begrunner typen ekstremalpunkt med fortegn, ikke bare CAS eller nullpunkt.

Oppgave 2

2

Vektorpunkt og avstand

📝 OppgaveBruk parameterframstilling for et punkt D og finn avstand til et midtpunkt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Vektoren AD kan skrives AD=[t,3−2t][t,3-2t][t,3−2t].
  2. Betingelsen i oppgaven gir t=56t=\tfrac{5}{6}t=65​.
  3. Avstanden til punktet M blir 18=32\sqrt{18}=3\sqrt{2}18 ​=32 ​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi parameteren settes inn igjen i geometrien og sluttresultatet gis eksakt.

Oppgave 3

3

og 4: Båtmodell og parameterfunksjon

📝 OppgaveTolk fart i en båtmodell og undersøk en funksjonsfamilie fk(x)=x3−3f_k(x)=x^{3}-3fk​(x)=x3−3kx^2+3k2x2+3k^{2}x2+3k2x. ✅ Modellbesvarelse
  1. Farten til båt A blir omtrent 22,4 km/h, mens farten til båt B er 18 km/h.
  2. Avstanden mellom båtene minker med 5 km/h i den aktuelle modellen, og kollisjonstiden kan derfor vurderes til omtrent 2 timer i den gitte situasjonen.
  3. For f_k brukes derivasjon til å undersøke når grafen har maksimum/minimum, og arealuttrykket A(k)A(k)A(k) behandles som en egen modell som kan analyseres med CAS eller symbolsk regning.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven viser modellforståelse: fart, avstand og parameterdrøfting tolkes i kontekst.

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver et polynom, et produkt med exe^{x}ex og en logaritme med kvadratisk kjerne. ✅ Modellbesvarelse
  1. For f(x)=x4+3xf(x)=x^{4}+3xf(x)=x4+3x blir f′(x)=4x3+3f'(x)=4x^{3}+3f′(x)=4x3+3.
  2. For g(x)=x3exg(x)=x^{3}e^{x}g(x)=x3ex brukes produktregelen: g′(x)=3x2ex+x3ex=x2ex(3+x)g'(x)=3x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}=x^{2}e^{x}(3+x)g′(x)=3x2ex+x3ex=x2ex(3+x).
  3. For h(x)=ln⁡(x2+1)h(x)=\ln (x^{2}+1)h(x)=ln(x2+1) brukes kjerneregelen: h′(x)=2x/(x2+1)h'(x)=2x/(x^{2}+1)h′(x)=2x/(x2+1).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser effektiv faktorisering etter derivasjon og korrekt kjerneregel.

Oppgave 2

2

Eksponential- og logaritmelikninger

📝 OppgaveLøs 3x+2=92x−13^{x+2}=9^{2x-1}3x+2=92x−1 og lg⁡(x2)−3\lg (x^{2})-3lg(x2)−3lgx+2=02=02=0. ✅ Modellbesvarelse
  1. Skriv 9 som 323^{2}32: 3x+2=34x−23^{x+2}=3^{4x-2}3x+2=34x−2. Dermed er x+2=4x−2x+2=4x-2x+2=4x−2, og x=43x=\tfrac{4}{3}x=34​.
  2. For logaritmelikningen settes u=lg⁡xu=\lg xu=lgx. Da blir u2−3u+2=0u^{2}-3u+2=0u2−3u+2=0, altså u=1u=1u=1 eller u=2u=2u=2. Dermed er x=10x=10x=10 eller x=100x=100x=100.
  3. Begge logaritmeløsningene kontrolleres mot kravet x>0.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi eleven bytter base/variabel uten å miste definisjonskravet.

Oppgave 3

3

Polynom

📝 OppgaveBruk faktorteoremet på P(x)=x3+3x2−4x−12P(x)=x^{3}+3x^{2}-4x-12P(x)=x3+3x2−4x−12 og faktoriser. ✅ Modellbesvarelse
  1. P(2)=8+12−8−12=0P(2)=8+12-8-12=0P(2)=8+12−8−12=0, så x-2 er faktor.
  2. Polynomdivisjon eller faktorisering gir P(x)=(x+3)(x+2)(x−2)P(x)=(x+3)(x+2)(x-2)P(x)=(x+3)(x+2)(x−2).
  3. Nullpunktene er x=−3,x=−2x=-3, x=-2x=−3,x=−2 og x=2x=2x=2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den dokumenterer både faktorvalg og full faktorisering.

Oppgave 4

4

Vektorer

📝 OppgaveRegn med u=[3,−4]u=[3,-4]u=[3,−4] og v=[−7,1]v=[-7,1]v=[−7,1], og vurder vinkel med en tredje vektor. ✅ Modellbesvarelse
  1. Lineærkombinasjonen blir 2u−v=2[3,−4]−[−7,1]=[13,−9]2u-v=2[3,-4]-[-7,1]=[13,-9]2u−v=2[3,−4]−[−7,1]=[13,−9].
  2. Lengden av u er |u∣=32+(−4)2=5u|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5u∣=32+(−4)2 ​=5.
  3. En vektor som står normalt på v=[−7,1]v=[-7,1]v=[−7,1], er for eksempel [1,7], fordi v dot [1,7]=(−7)⋅1+1⋅7=0[1,7]=(-7)\cdot 1+1\cdot 7=0[1,7]=(−7)⋅1+1⋅7=0. Vinkelen mellom disse er derfor 90 grader.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser både lineærkombinasjon, lengde og normalitet med skalarprodukt.

Oppgave 5

5

og 6: Sirkelvinkler og sannsynlighet

📝 OppgaveFinn vinkler i en sirkel og bruk et sannsynlighetstre for iskremvalg. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sirkelsetningene gir u=37u=37u=37 grader, v=74v=74v=74 grader og w=127w=127w=127 grader.
  2. For iskremmodellen gir total sannsynlighet P(jordbær)=0,35.
  3. Betinget sannsynlighet gir P(jente | jordbær)=3/7.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi det viser både geometriske setninger og betinget sannsynlighet i korrekt kontekst.

Oppgave 7

7

Tangent til 2x ln x

📝 OppgaveDeriver f(x)=2xln⁡xf(x)=2x \ln xf(x)=2xlnx, finn tangent og bruk tangentinformasjon videre. ✅ Modellbesvarelse
  1. Produktregelen gir f′(x)=2ln⁡x+2f'(x)=2\ln x+2f′(x)=2lnx+2.
  2. Ix=1I x=1Ix=1 er f(1)=0f(1)=0f(1)=0 og f′(1)=2f'(1)=2f′(1)=2, så tangenten er y=2x−2y=2x-2y=2x−2.
  3. En videre tangentbetingelse i oppgaven gir et punkt med x=110x=\tfrac{1}{10}x=101​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det viser sammenheng mellom derivert, punkt på grafen og tangentlikning.

Oppgave 8

8

og 9: Geometri

📝 OppgaveVis en sinussetningssammenheng og arbeid med median-/høydepunkt i trekant. ✅ Modellbesvarelse
  1. Geometrien leder til 1/sin⁡A=2R/a1/\sin A=2R/a1/sinA=2R/a, som er en omskrevet form av sinussetningen.
  2. Ved å bruke formlikhet og forhold i trekanten kan man vise HM=25h\tfrac{2}{5}h52​h.
  3. Tilsvarende gir forholdsargumentet BM=25m\tfrac{2}{5}m52​m.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den bruker geometrisk argumentasjon, ikke bare numerisk avlesning.

Oppgave 1

1

Kandidatutvalg og sannsynlighet

📝 OppgaveBruk kombinatorikk/sannsynlighet til å finne sannsynligheter i et utvalg. ✅ Modellbesvarelse
  1. Løsningssiden oppgir sentrale sannsynligheter som 0,619, 0,144, 0,415 og 0,743 for delspørsmålene.
  2. Et fullstendig svar bør vise hvilken hendelse hvert tall hører til, for eksempel minst én, nøyaktig antall eller betinget sannsynlighet.
  3. Skriv gjerne mellomregningen med komplementregel når 'minst én' inngår.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi tallene knyttes til hendelser og metode, ikke bare listes som fasit.

Oppgave 2

2

Funksjon, tangent og areal

📝 OppgaveDrøft f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^{3}-6x^{2}+9xf(x)=x3−6x2+9x, finn tangent og undersøk arealverdier. ✅ Modellbesvarelse
  1. Nullpunktene er x=0x=0x=0 og x=3x=3x=3, siden f(x)=x(x−3)2f(x)=x(x-3)^{2}f(x)=x(x−3)2.
  2. Ekstremalpunktene finnes fra f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3). Dette gir topp/bunn ved x=1x=1x=1 og x=3x=3x=3.
  3. Tangentdelen gir y=−15x+27y=-15x+27y=−15x+27, en annen tangentbetingelse gir a=7a=7a=7, og arealverdier fra løsningssiden er A(1)=20A(1)=20A(1)=20 og A(2)=4A(2)=4A(2)=4.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi graf, derivert, tangent og areal behandles som ett sammenhengende resonnement.

Oppgave 3

3

Lufttrykk og skiturmodell

📝 OppgaveBruk eksponentialmodellen L(h)=101,3e−0,12hL(h)=101,3e^{-0,12h}L(h)=101,3e−0,12h og en tredjegradsmodell for skitur. ✅ Modellbesvarelse
  1. Når L(h)=80,3L(h)=80,3L(h)=80,3, gir modellen h omtrent 1,9 km.
  2. Trykket halveres ved omtrent h=5,7h=5,7h=5,7 km.
  3. For skiturmodellen V(t)=1,25t3−7,5t2+10t+30V(t)=1,25t^{3}-7,5t^{2}+10t+30V(t)=1,25t3−7,5t2+10t+30 gir totalen 390 km over 12 år i den oppgitte perioden.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er sterkt fordi modellverdiene tolkes med enheter og praktisk betydning.

Oppgave 4

4

Geometrisk arealmodell

📝 OppgaveUndersøk areal knyttet til kvadrat og sirkel. ✅ Modellbesvarelse
  1. Arealmodellen kan skrives A(x)=x2(4−π)A(x)=x^{2}(4-\pi )A(x)=x2(4−π).
  2. Parameteren x styrer størrelsen, mens faktoren 4-pi viser differansen mellom kvadrat- og sirkelareal i modellen.
  3. Et sterkt svar forklarer hvorfor uttrykket blir positivt og hvordan radius/sideforhold leses fra figuren.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi formelen blir forklart geometrisk, ikke bare satt opp.

Ofte stilte spørsmål

Hva er R1 eksempel 2015?Et eksempelsett for gammel R1R1R1-fagkode REA3022, brukt som arkiv og trening før eksamen.Hvilke temaer går igjen i eksempelsettet?Derivasjon, logaritmer, polynom, vektorer, sannsynlighet, sirkel, eksponentialfunksjoner og modellering.Hvordan bruker jeg dette til karakter 6-trening?Prøv oppgaven først, sammenlikn med modellbesvarelsen, og sjekk om du også har forklart metodevalg og gyldighet.Hva er de viktigste temaene i R1 høst 2014?Derivasjon, eksponentiallikninger, logaritmer, polynom, vektorer, sirkelvinkler, sannsynlighet, tangent, funksjonsdrøfting og modellering.Er høst 2014 nyttig selv om fagkoden er gammel?Ja. Mange R1R1R1-metoder er fortsatt nyttige, men settet bør merkes som REA3022-arkiv og kobles til nyere REA3056-sider.Hva bør en modellbesvarelse vise?Tydelig metodevalg, mellomregning, gyldighetskontroll og en kort forklaring av hva svaret betyr i oppgaven. Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1Eksamensoppgaver

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo