Matematikk R1 eksamen høst 2023 - oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

Alle formuleringer er bearbeidet til Ifingo-stil med korte oppgavekort, modellbesvarelse og kvalitetspunkt.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon med produktregel

📝 OppgaveDeriver f(x)=x2ln⁡xf(x)=x^{2} \ln xf(x)=x2lnx. ✅ Modellbesvarelse

1. Bruk produktregelen med u=x2u=x^{2}u=x2 og v=ln⁡xv=\ln xv=lnx. Da er u′=2xu'=2xu′=2x og v′=1/xv'=1/xv′=1/x.
2. f′(x)=2xln⁡x+x2⋅(1/x)=2xln⁡x+x=x(2ln⁡x+1)f'(x)=2x \ln x + x^{2}\cdot (1/x)=2x \ln x + x = x(2\ln x+1)f′(x)=2xlnx+x2⋅(1/x)=2xlnx+x=x(2lnx+1).

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser produktregelen eksplisitt og samler uttrykket pent.

Oppgave 2

2

Logaritmer og eksponentialuttrykk

📝 OppgaveSorter 2ln⁡(e3),3lg⁡(70)2\ln (e^{3}), 3\lg (70)2ln(e3),3lg(70) og e3ln⁡2ie^{3\ln 2} ie3ln2i stigende rekkefølge. ✅ Modellbesvarelse

1. 2ln⁡(e3)=62\ln (e^{3})=62ln(e3)=6. Videre er 3lg⁡(70)=3(lg⁡7+1)3\lg (70)=3(\lg 7+1)3lg(70)=3(lg7+1) cirka 5,54.
2. e3ln⁡2=e(ln⁡(23))=8e^{3\ln 2}=e^(\ln (2^{3}))=8e3ln2=e(ln(23))=8. Rekkefølgen blir derfor 3lg⁡(70),2ln⁡(e3),e3ln⁡23\lg (70), 2\ln (e^{3}), e^{3\ln 2}3lg(70),2ln(e3),e3ln2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen begrunner størrelsene med logaritmeregler, ikke bare desimaltall.

Oppgave 3

3

Vektorer i trekant

📝 OppgaveFinn korteste side i trekanten A(−3,−1),B(2,−2),C(5,2)A(-3,-1), B(2,-2), C(5,2)A(−3,−1),B(2,−2),C(5,2), og avgjør om trekanten har rett vinkel. ✅ Modellbesvarelse

1. AB=[5,-1], BC=[3,4] og AC=[8,3]. Lengdene er 26,5\sqrt{26}, 526 ​,5 og 73\sqrt{73}73 ​. Dermed er BC kortest.
2. For rett vinkel må skalarproduktet være 0. Kontroll av sidevektorene gir ingen skalarprodukt lik 0, så trekanten har ingen rett vinkel.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker både lengdeformel og skalarprodukt på riktig sted.

Oppgave 4

4

Programmering og bunnpunkt

📝 OppgaveForklar et Python-program som finner bunnpunkt til f(x)=2x2−9x−2f(x)=2x^{2}-9x-2f(x)=2x2−9x−2, og foreslå forbedring. ✅ Modellbesvarelse

1. Programmet bruker en numerisk differansekvotient for å anslå den deriverte og går mot høyre til den deriverte skifter fortegn.
2. Det eksakte bunnpunktet kommer fra f′(x)=4x−9=0f'(x)=4x-9=0f′(x)=4x−9=0, altså x=94=2,25x=\tfrac{9}{4}=2,25x=49​=2,25. Programmet bør bruke mindre steglengde enn 1, for eksempel 0,001.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen kobler kode til matematisk idé og forklarer hvorfor presisjonen blir bedre.

Oppgave 1

1

Eksponentiell konsentrasjonsmodell

📝 OppgaveBruk modellen f(t)=2,5−2,5⋅0,99tf(t)=2,5-2,5\cdot 0,99^{t}f(t)=2,5−2,5⋅0,99t for konsentrasjon over tid. ✅ Modellbesvarelse

1. Modellen nærmer seg 2,5 mmol/L, som er den horisontale stabiliseringsverdien.
2. For f(t)=2,0f(t)=2,0f(t)=2,0 får vi 0,99t=0,20,99^{t}=0,20,99t=0,2. Dermed t=ln⁡(0,2)/ln⁡(0,99)t=\ln (0,2)/\ln (0,99)t=ln(0,2)/ln(0,99) cirka 160 sekunder.
3. Endringshastigheten finnes ved f′(t)=−2,5ln⁡(0,99)⋅0,99tf'(t)=-2,5\ln (0,99)\cdot 0,99^{t}f′(t)=−2,5ln(0,99)⋅0,99t. Når denne er under 0,001, er reaksjonen praktisk talt nær stabilisering.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret tolker både modellverdi, grenseverdi og derivert i kontekst.

Oppgave 2

2

Delt funksjon med parameter

📝 OppgaveVis kontinuitet og analyser parameter i en delt funksjon rundt x=kx=kx=k. ✅ Modellbesvarelse

1. Begge uttrykkene gir samme verdi i skjøtepunktet: f(k)=2kf(k)=2kf(k)=2k. Venstre og høyre grenseverdi blir derfor like.
2. For deriverbarhet må også stigningene fra venstre og høyre være like. Det gir en egen betingelse på parameteren, som må løses fra de deriverte uttrykkene.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen skiller tydelig mellom kontinuitet og deriverbarhet.

Oppgave 3

3

Påstander om funksjoner

📝 OppgaveVurder påstander om tredjegradsfunksjon og vendepunkt. ✅ Modellbesvarelse

1. For en tredjegradsfunksjon f(x)f(x)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d er f′(x)=3f'(x)=3f′(x)=3ax^2+2bx+c og f′′(x)=6f''(x)=6f′′(x)=6ax+2b2b2b.
2. Hvis vendepunktet ligger ved x=3x=3x=3, får den deriverte en symmetrilinje ved x=3x=3x=3. Punktene x=1x=1x=1 og x=5x=5x=5 ligger like langt fra 3, derfor blir f′(1)=f′(5)f'(1)=f'(5)f′(1)=f′(5).

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser hvorfor påstanden er sann ved å bruke strukturen i den deriverte.

Oppgave 4

4

Kasse uten lokk

📝 OppgaveOptimaliser volum og areal for en kasse med kvadratisk grunnflate. ✅ Modellbesvarelse

1. Arealet uten lokk er A=x2+4A=x^{2}+4A=x2+4xh. Når x=5x=5x=5 og A≤120A\le 120A≤120, får vi 25+20h≤12025+20h\le 12025+20h≤120, altså h≤4,75h\le 4,75h≤4,75. Maksimalt volum blir 25⋅4,75=118,7525\cdot 4,75=118,7525⋅4,75=118,75 dm^3.
2. For størst mulig volum generelt bruker vi h=(120−x2)/(4x)h=(120-x^{2})/(4x)h=(120−x2)/(4x). Da blir V(x)=30x−x3/4V(x)=30x-x^{3}/4V(x)=30x−x3/4. V′(x)=30−3x2/4=0V'(x)=30-3x^{2}/4=0V′(x)=30−3x2/4=0 gir x=40=210x=\sqrt{40}=2\sqrt{10}x=40 ​=210 ​.
3. For volum 80 dm^3 får vi h=80/x2h=80/x^{2}h=80/x2 og A(x)=x2+320/xA(x)=x^{2}+320/xA(x)=x2+320/x. Minimum finnes ved A′(x)=0A'(x)=0A′(x)=0.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen bygger modell først, deretter optimaliserer den kontrollert.

Oppgave 5

5

Puck med parameterframstilling

📝 OppgaveAnalyser når en puck treffer vantet og om den treffer en spiller. ✅ Modellbesvarelse

1. Puckens posisjon kan analyseres ved å sette y=−15y=-15y=−15 og x=−30x=-30x=−30 hver for seg. Numerisk løsning gir treff på langveggen etter ca. 3,05 s, før den når kortveggen.
2. For spilleren settes puckens posisjon lik spillerens posisjon ved samme t. Likningssystemet gir t=17871t=\tfrac{178}{71}t=71178​ cirka 2,51, men kontroll mot eksponentialleddet må stemme for at treff faktisk skjer.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser forskjellen på å krysse en linje og å møte et objekt på samme tidspunkt.

Oppgave 6

6

Sekantsetningen / middelverdisetningen

📝 OppgaveBruk f(x)=x2+3x+1f(x)=x^{2}+3x+1f(x)=x2+3x+1 og finn c slik at f'(c) er lik sekantstigningen fra x=1x=1x=1 til x=3x=3x=3. ✅ Modellbesvarelse

1. Sekantstigningen er (f(3)−f(1))/(3−1)=(19−5)/2=7(f(3)-f(1))/(3-1)=(19-5)/2=7(f(3)−f(1))/(3−1)=(19−5)/2=7.
2. f′(x)=2x+3f'(x)=2x+3f′(x)=2x+3. Setter f′(c)=7f'(c)=7f′(c)=7 og får 2c+3=72c+3=72c+3=7, altså c=2c=2c=2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser presis bruk av middelverdisetningen og tydelig mellomregning. Matematikk R1R1R1 eksamen vår 2023

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=ex+ln⁡xf(x)=e^{x}+\ln xf(x)=ex+lnx. ✅ Modellbesvarelse

1. Deriver ledd for ledd. Den deriverte av exe^{x}ex er exe^{x}ex, og den deriverte av ln⁡x\ln xlnx er 1/x1/x1/x.
2. Svar: f′(x)=ex+1/xf'(x)=e^{x}+1/xf′(x)=ex+1/x.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er kort, presist og bruker standardderiverte riktig.

Oppgave 2

2

Grenseverdi

📝 OppgaveBestem lim når x går mot 2 for (x3−8)/(x2−4)(x^{3}-8)/(x^{2}-4)(x3−8)/(x2−4). ✅ Modellbesvarelse

1. Direkte innsetting gir 00\tfrac{0}{0}00​. Vi kan faktorisere: x3−8=(x−2)(x2+2x+4)x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)x3−8=(x−2)(x2+2x+4) og x2−4=(x−2)(x+2)x^{2}-4=(x-2)(x+2)x2−4=(x−2)(x+2).
2. Etter forkorting får vi (x2+2x+4)/(x+2)(x^{2}+2x+4)/(x+2)(x2+2x+4)/(x+2). Setter x=2x=2x=2 og får (4+4+4)/4=3(4+4+4)/4=3(4+4+4)/4=3.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser hvorfor forkorting er lov etter at x ikke lenger settes lik 2 i uttrykket.

Oppgave 3

3

Vinkler og punkt på linje

📝 OppgaveBruk A(1,3),B(4,0),C(9,4)A(1,3), B(4,0), C(9,4)A(1,3),B(4,0),C(9,4) til å vurdere vinkel og finne punkt P på linja BC. ✅ Modellbesvarelse

1. BA=[-3,3] og BC=[5,4]. Skalarproduktet er -15+12=−315+12=-315+12=−3, så vinkelen mellom vektorene er større enn 90 grader.
2. Linjen gjennom B og C kan skrives P=(4+5t,4t)P=(4+5t,4t)P=(4+5t,4t). Kravet AB dot AP=0 gir t=−6t=-6t=−6, og dermed P=(−26,−24)P=(-26,-24)P=(−26,−24).

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker skalarprodukt både til vinkel og ortogonalitet.

Oppgave 4

4

Programmering og areal

📝 OppgaveForklar et program som finner størst areal for et rektangel under en graf. ✅ Modellbesvarelse

1. Programmet øker bredden gradvis og sammenlikner arealet ved neste steg med arealet nå. Når arealet ikke lenger øker, er vi nær maksimum.
2. Analytisk kan arealet skrives A(x)=x(x2−9)4A(x)=x(x^{2}-9)^{4}A(x)=x(x2−9)4 på intervallet. Derivasjon gir kritiske punkter, og relevant løsning i intervallet er x=1x=1x=1.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen forklarer både algoritmen og den matematiske kontrollen.

Oppgave 1

1

Digital modellering

📝 OppgaveLag og vurder en modell ut fra data, og bruk modellen til å svare på praktiske spørsmål. ✅ Modellbesvarelse

1. En god modell må passe datapunktene og ha rimelig tolkning i situasjonen. Regresjon brukes til å bestemme parametere.
2. Når modellen er valgt, løses spørsmålene med graf, CAS eller likning, og svaret tolkes med riktig enhet.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser moden modellforståelse: modellvalg, beregning og rimelighetsvurdering.

Oppgave 2

2

Parallellogram med parameter

📝 OppgaveBestem t når skjæringspunktet mellom diagonalene er P(8,11)P(8,11)P(8,11). ✅ Modellbesvarelse

1. I et parallellogram halverer diagonalene hverandre. Midtpunktet av AC må derfor være P.
2. Med A=(3,2)A=(3,2)A=(3,2) og C=(7+2t,5+5t)C=(7+2t,5+5t)C=(7+2t,5+5t) får vi ((10+2t)/2,(7+5t)/2)=(8,11)((10+2t)/2,(7+5t)/2)=(8,11)((10+2t)/2,(7+5t)/2)=(8,11). x-koordinaten gir t=3t=3t=3, og y-koordinaten kontrollerer at dette stemmer.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen bruker en geometrisk egenskap før algebraen settes opp.

Oppgave 3

3

Påstandsvurdering

📝 OppgaveVurder påstander om logaritmer og fjerdegradsfunksjoner. ✅ Modellbesvarelse

1. Påstanden (ln⁡x)4=4ln⁡x(\ln x)^{4}=4\ln x(lnx)4=4lnx er usann. Moteksempel x=ex=ex=e gir venstre side 1 og høyre side 4.
2. Påstanden om at en fjerdegradsfunksjon må ha minst ett ekstremalpunkt er sann. Den deriverte er et tredjegradspolynom, og funksjonen må snu siden den går mot samme uendelige retning i begge ender.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker både moteksempel og generell argumentasjon.

Oppgave 4

4

Videre modelloppgave

📝 OppgaveLøs en sammensatt modelloppgave med digitale hjelpemidler. ✅ Modellbesvarelse

1. Når oppgaven krever digital løsning, bør føringen vise hva som er definert, hvilken likning som løses og hva svaret betyr.
2. Et karakter 6-svar dokumenterer ikke bare CAS-resultatet, men forklarer hvorfor modellen svarer på spørsmålet.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser god eksamensføring for digitale hjelpemidler.

Oppgave 5

5

Funksjonsanalyse

📝 OppgaveAnalyser funksjon/graf med derivasjon og tolkning. ✅ Modellbesvarelse

1. Start med å definere funksjonen og relevant intervall. Bruk derivasjon eller grafisk analyse til å finne nullpunkt, ekstremalpunkt eller skjæringer.
2. Avslutt med en setning som svarer direkte på oppgaven, gjerne med enhet eller eksakt verdi dersom oppgaven ber om det.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser en trygg arbeidsmåte for åpne funksjonsoppgaver.

Oppgave 6

6

Avstand fra punkt og graf til linje

📝 OppgaveLinjen går gjennom A(4,−2)A(4,-2)A(4,−2) og B(6,6)B(6,6)B(6,6). Finn avstand fra P(2,8)P(2,8)P(2,8), og minste avstand fra f(x)=x2+2xf(x)=x^{2}+2xf(x)=x2+2x til linjen. ✅ Modellbesvarelse

1. Retningsvektoren er AB=[2,8], og linjen kan skrives 4x−y−18=04x-y-18=04x−y−18=0. Avstanden fra P blir |4⋅2−8−18∣/17=1817/174\cdot 2-8-18|/\sqrt{17}=18\sqrt{17}/174⋅2−8−18∣/17 ​=1817 ​/17.
2. Et punkt på grafen er (x,x2+2x)(x,x^{2}+2x)(x,x2+2x). Avstanden til linjen blir |4x−(x2+2x)−18∣/17=((x−1)2+17)/174x-(x^{2}+2x)-18|/\sqrt{17}=((x-1)^{2}+17)/\sqrt{17}4x−(x2+2x)−18∣/17 ​=((x−1)2+17)/17 ​. Minimum fås ved x=1x=1x=1, og minste avstand er 17\sqrt{17}17 ​.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret gjør avstandsformelen konkret og fjerner absoluttverdien med en begrunnelse.

Ofte stilte spørsmål

Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1