Matematikk R1 eksamen høst 2022 - oppgaver og løsningsforslag

Ifingo-klar gjennomgang av R1 høst 2022 med oppgavekort, modellbesvarelser og forklaringer for høy måloppnåelse.

Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-09-08

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

Spørsmål / oppgavekort: Avgjør om f(x)=x4f(x)=x^{4}f(x)=x4 på R og g(x)=e(−(x−2)2)g(x)=e^(-(x-2)^{2})g(x)=e(−(x−2)2) på [2,→2, \to2,→) har omvendt funksjon.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Omvendt funksjon

📝 OppgaveAvgjør om f(x)=x4f(x)=x^{4}f(x)=x4 på R og g(x)=e(−(x−2)2)g(x)=e^(-(x-2)^{2})g(x)=e(−(x−2)2) på [2,→2, \to2,→) har omvendt funksjon. ✅ Modellbesvarelse
  1. f(x)=x4f(x)=x^{4}f(x)=x4 er ikke én-entydig på R, siden f(−1)=f(1)=1f(-1)=f(1)=1f(−1)=f(1)=1. Derfor har f ikke omvendt funksjon på hele R.
  2. g er synkende på definisjonsmengden. g′(x)=−2(x−2)e(−(x−2)2)g'(x)=-2(x-2)e^(-(x-2)^{2})g′(x)=−2(x−2)e(−(x−2)2), og for x≥2x\ge 2x≥2 er dette mindre enn eller lik 0. Dermed er g én-entydig og har omvendt funksjon.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker selve kriteriet for invers: én-entydighet.

Oppgave 2

2

Grenseverdi

📝 OppgaveBestem lim h→0((4+h)2−42)/hh\to 0 ((4+h)^{2}-4^{2})/hh→0((4+h)2−42)/h. ✅ Modellbesvarelse
  1. Utvid telleren: (4+h)2−16=16+8h+h2−16=8h+h2(4+h)^{2}-16=16+8h+h^{2}-16=8h+h^{2}(4+h)2−16=16+8h+h2−16=8h+h2.
  2. Brøken blir h(8+h)/h=8+hh(8+h)/h=8+hh(8+h)/h=8+h for h ulik 0. Når h går mot 0, blir grenseverdien 8.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser forkorting før innsetting, som er trygg føring i00i \tfrac{0}{0}i00​-situasjoner.

Oppgave 3

3

Sammenlikning av tall

📝 OppgaveAvgjør hvilke av tallene 311,103\sqrt{11}, 10311 ​,10lg9 og 5ln9 som er mindre enn 10. ✅ Modellbesvarelse
  1. 311=993\sqrt{11}=\sqrt{99}311 ​=99 ​, og 99<100=10\sqrt{99}<\sqrt{100}=1099 ​<100 ​=10.
  2. Siden lg9<lg10=1, er 10lg9<10.
  3. 5ln9=10ln3, og siden 3>e, er ln3>1. Dermed er 10ln3>10. De to første er mindre enn 10.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret begrunner uten kalkulator og bruker monotoni i logaritmer.

Oppgave 4

4

Vektorgeometri

📝 OppgaveA(1,1),B(9,7),P(5,9)A(1,1), B(9,7), P(5,9)A(1,1),B(9,7),P(5,9). Vis rett vinkel i P og finn et annet punkt Q på linja gjennom P parallell med AB. ✅ Modellbesvarelse
  1. AP=[4,8] og BP=[-4,2]. Skalarproduktet AP dot BP = -16+16=016+16=016+16=0, så vinkel APB er 90 grader.
  2. Linja gjennom P parallell med AB har retning [8,6]=2[4,3][8,6]=2[4,3][8,6]=2[4,3], altså Q=(5+4t,9+3t)Q=(5+4t,9+3t)Q=(5+4t,9+3t). Kravet AQ dot BQ=0 gir 5t(5t+6)=05t(5t+6)=05t(5t+6)=0. t=0t=0t=0 gir P, så det andre punktet er Q=(15,275)Q=(\tfrac{1}{5},\tfrac{27}{5})Q=(51​,527​).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen bruker parameterframstilling og skalarprodukt effektivt.

Oppgave 5

5

Python og tangent

📝 OppgaveProgrammet finner tangent til f(x)=(6x−3)/(x−1)f(x)=(6x-3)/(x-1)f(x)=(6x−3)/(x−1) der stigningstallet er -3. Bestem b. ✅ Modellbesvarelse
  1. Deriver f: f′(x)=−3/(x−1)2f'(x)=-3/(x-1)^{2}f′(x)=−3/(x−1)2. Kravet f′(x)=−3f'(x)=-3f′(x)=−3 gir (x−1)2=1(x-1)^{2}=1(x−1)2=1, altså x=0x=0x=0 eller x=2x=2x=2.
  2. Siden programmet starter på a=1,5a=1,5a=1,5 og øker, ender det ved x=2x=2x=2. Tangenten har form y=−3x+by=-3x+by=−3x+b, og b=f(2)−(−3)⋅2=9+6=15b=f(2)-(-3)\cdot 2=9+6=15b=f(2)−(−3)⋅2=9+6=15.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret oversetter programmet til matematikk og forklarer hvorfor riktig rot er x=2x=2x=2.

Oppgave 1

1

Energi i Norge

📝 OppgaveLag logistisk modell for energiproduksjon og vurder selvforsyning med energiforbruk. ✅ Modellbesvarelse
  1. Produksjonstabellen modelleres med logistisk regresjon der x er år etter 1950. Modellen har raskest vekst i vendepunktet.
  2. Løsningen finner at produksjonen økte raskest cirka 26,1 år etter 1950, altså rundt 1976.
  3. For forbruket lages en egen modell. Når produksjons- og forbruksmodellene sammenliknes grafisk, viser modellen at Norge etter omtrent 1965 produserer mer elektrisk energi enn landet bruker.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret tolker regresjon og vendepunkt i en samfunnsfaglig kontekst.

Oppgave 2

2

Omvendt funksjon for blitslading

📝 OppgaveQ(t)=Q0(1−e−2,3t)Q(t)=Q0(1-e^{-2,3t})Q(t)=Q0(1−e−2,3t). Finn invers og tid til 90 % ladning. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sett y=Q0(1−e−2,3t)y=Q0(1-e^{-2,3t})y=Q0(1−e−2,3t). Da er y/Q0=1−e−2,3ty/Q0=1-e^{-2,3t}y/Q0=1−e−2,3t, altså e−2,3t=1−y/Q0e^{-2,3t}=1-y/Q0e−2,3t=1−y/Q0.
  2. Ta ln⁡\lnln på begge sider: -2,3t=ln⁡(1−y/Q0)2,3t=\ln (1-y/Q0)2,3t=ln(1−y/Q0). Dermed Q−1(y)=−ln⁡(1−y/Q0)/2,3Q^{-1}(y)= -\ln (1-y/Q0)/2,3Q−1(y)=−ln(1−y/Q0)/2,3.
  3. For 90 % ladning setter vi y=0,9Q0y=0,9Q0y=0,9Q0. Da blir t=−ln⁡(0,1)/2,3t=-\ln (0,1)/2,3t=−ln(0,1)/2,3, omtrent 1,0 sekund.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser algebraen bak inversen og tolker svaret praktisk.

Oppgave 3

3

Parameterframstilling og areal

📝 OppgaveBruk linja l og trekantbetingelser til å finne punkt D og E. ✅ Modellbesvarelse
  1. Et punkt på linja kan skrives som D=(12t,5t)D=(12t,5t)D=(12t,5t). Betingelsen settes opp med skalarprodukt og løses digitalt.
  2. Løsningen gir D cirka (6,671, 2,78). For areal 11 og t>0 blir t=23t=\tfrac{2}{3}t=32​, og punktet E=(8,103)E=(8,\tfrac{10}{3})E=(8,310​).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser hvordan parameteren styrer punktet og hvordan skalarprodukt/areal brukes.

Oppgave 4

4

Påstander

📝 OppgaveVurder påstander om funksjonsverdier, logaritmer og deriverte logaritmeuttrykk. ✅ Modellbesvarelse
  1. Påstanden f(a)=f(b)=>a=bf(a)=f(b) => a=bf(a)=f(b)=>a=b er usann. Moteksempel: f(x)=x2,a=1f(x)=x^{2}, a=1f(x)=x2,a=1 og b=−1b=-1b=−1.
  2. Hvis 0<a<b, er ln⁡a<ln⁡b\ln a<\ln blna<lnb fordi ln⁡x\ln xlnx er voksende for x>0.
  3. For a>0 og x>0 er (ln⁡x)′=1/x(\ln x)'=1/x(lnx)′=1/x og (ln(ax))'=1/(ax)*a=1/x. Den siste påstanden er sann.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret bruker både moteksempel og generell regel.

Oppgave 5

5

Tangent og minste areal

📝 Oppgavef(x)=1−x2f(x)=1-x^{2}f(x)=1−x2 på [0,1]. Tangenten iP(a,f(a))i P(a,f(a))iP(a,f(a)) danner trekant med aksene. ✅ Modellbesvarelse
  1. Når a=12a=\tfrac{1}{2}a=21​, er f′(a)=−1f'(a)=-1f′(a)=−1 og P=(12,34)P=(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4})P=(21​,43​). Tangenten blir y=−x+54y=-x+\tfrac{5}{4}y=−x+45​. Skjæringene er A=(54,0)A=(\tfrac{5}{4},0)A=(45​,0) og B=(0,54)B=(0,\tfrac{5}{4})B=(0,45​), så arealet er 2532\tfrac{25}{32}3225​.
  2. Generelt blir x-skjæringen (a2+1)/(2a)(a^{2}+1)/(2a)(a2+1)/(2a) og y-skjæringen a2+1a^{2}+1a2+1. Arealfunksjonen minimeres digitalt/ved derivasjon. Minste areal er (43)/9(4\sqrt{3})/9(43 ​)/9.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen kobler tangentlikning, skjæringspunkter og optimering.

Oppgave 6

6

Tyngdepunkt i trekant

📝 OppgaveLag program som regner ut tyngdepunktet i trekant ABC. ✅ Modellbesvarelse
  1. Tyngdepunktet er T=(A+B+C)/3T=(A+B+C)/3T=(A+B+C)/3 koordinatvis.
  2. Et enkelt program kan lagre punktene som vektorer og skrive ut 1/3*(OA+OB+OC). For A=(1,3),B=(2,4),C=(5,2)A=(1,3), B=(2,4), C=(5,2)A=(1,3),B=(2,4),C=(5,2) blir T=(2,67,3,00)T=(2,67,3,00)T=(2,67,3,00).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser både formelen og en programmerbar struktur.

Oppgave 7

7

Derivert og symmetri

📝 Oppgavef(x)=2x+5+1/(x−1)f(x)=2x+5+1/(x-1)f(x)=2x+5+1/(x−1). Finn k-verdier for f′(x)=kf'(x)=kf′(x)=k og beskriv symmetri. ✅ Modellbesvarelse
  1. f′(x)=2−1/(x−1)2f'(x)=2-1/(x-1)^{2}f′(x)=2−1/(x−1)2. Siden brøken alltid er positiv, er f'(x)<2. Likningen f′(x)=kf'(x)=kf′(x)=k har løsning for k<2.
  2. For hver k<2 får vi to løsninger som ligger symmetrisk rundt asymptoten x=1x=1x=1. Summen av løsningene er 2.
  3. For g(x)g(x)g(x)=ax+b+1/(x+d)b+1/(x+d)b+1/(x+d) gjelder tilsvarende: g′(x)=a−1/(x+d)2g'(x)=a-1/(x+d)^{2}g′(x)=a−1/(x+d)2, så g′(x)=4g'(x)=4g′(x)=4 har løsning når a>4.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen forklarer ikke bare svaret, men også symmetrien. Matematikk R1R1R1 eksamen vår 2022

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveDeriver f(x)=x3+ln⁡xf(x)=x^{3}+\ln xf(x)=x3+lnx og g(x)=x⋅e2xg(x)=x\cdot e^{2x}g(x)=x⋅e2x. ✅ Modellbesvarelse
  1. f′(x)=3x2+1/xf'(x)=3x^{2}+1/xf′(x)=3x2+1/x.
  2. For g bruker vi produktregelen og kjerneregelen: g′(x)=1⋅e2x+x⋅e2x⋅2=e2x(1+2x)g'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot e^{2x}\cdot 2=e^{2x}(1+2x)g′(x)=1⋅e2x+x⋅e2x⋅2=e2x(1+2x).
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser både standardderivasjon og produktregel.

Oppgave 2

2

Eksponentiallikning

📝 OppgaveLøs e2x−ex=2e^{2x}-e^{x}=2e2x−ex=2. ✅ Modellbesvarelse
  1. Sett u=exu=e^{x}u=ex. Da blir u2−u−2=0u^{2}-u-2=0u2−u−2=0, altså (u−2)(u+1)=0(u-2)(u+1)=0(u−2)(u+1)=0.
  2. Siden ex>0e^{x}>0ex>0, forkastes u=−1u=-1u=−1. Dermed ex=2e^{x}=2ex=2 og x=ln2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSubstitusjonen gjør likningen oversiktlig og viser definisjonskontroll.

Oppgave 3

3

Grenseverdi

📝 OppgaveBestem lim x→3(x−3)/(x2+x−12)x\to 3 (x-3)/(x^{2}+x-12)x→3(x−3)/(x2+x−12). ✅ Modellbesvarelse
  1. Faktoriser nevneren: x2+x−12=(x−3)(x+4)x^{2}+x-12=(x-3)(x+4)x2+x−12=(x−3)(x+4).
  2. Etter forkorting får vi 1/(x+4)1/(x+4)1/(x+4), og når x går mot 3 blir grenseverdien 17\tfrac{1}{7}71​.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen håndterer 00\tfrac{0}{0}00​ ved faktorisering.

Oppgave 4

4

Vektorer med parameter

📝 OppgaveA(1,2),B(−1,5),C(t,4)A(1,2), B(-1,5), C(t,4)A(1,2),B(−1,5),C(t,4). Finn t for rett vinkel ved A og for kollinearitet. ✅ Modellbesvarelse
  1. For rett vinkel BAC må AB dot AC=0. AB=[-2,3] og AC=[t-1,2]. Da får vi -2(t−1)+6=02(t-1)+6=02(t−1)+6=0, altså t=4t=4t=4.
  2. For at A, B og C skal ligge på rett linje må AC være parallell med AB. Dette gir samme stigning/proporsjonalitet mellom komponentene og en egen t-verdi som kontrolleres i føringen.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser de to ulike kriteriene: skalarprodukt for rett vinkel og parallellitet for kollinearitet.

Oppgave 5

5

Program for maksimum

📝 OppgaveProgrammet bruker f(x)=x/(1+x2)f(x)=x/(1+x^{2})f(x)=x/(1+x2) og øker x så lenge f(x)≤f(x+h)f(x)\le f(x+h)f(x)≤f(x+h). ✅ Modellbesvarelse
  1. Programmet søker etter hvor funksjonen slutter å øke, altså et toppunkt.
  2. Analytisk: f′(x)=((1+x2)−2x2)/(1+x2)2=(1−x2)/(1+x2)2f'(x)=((1+x^{2})-2x^{2})/(1+x^{2})^{2}=(1-x^{2})/(1+x^{2})^{2}f′(x)=((1+x2)−2x2)/(1+x2)2=(1−x2)/(1+x2)2. f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 gir x=1ix=1 ix=1i relevant område. Eleven ønsker altså å finne x=1x=1x=1.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen forklarer både programidéen og eksakt matematisk kontroll.

Oppgave 1

1

Delt funksjon

📝 Oppgavef(x)=x2+1f(x)=x^{2}+1f(x)=x2+1 for x<2 og f(x)=x−tf(x)=x-tf(x)=x−t for x≥2x\ge 2x≥2. Finn t for kontinuitet og vurder deriverbarhet. ✅ Modellbesvarelse
  1. Venstre grenseverdi ved x=2x=2x=2 er 22+1=52^{2}+1=522+1=5. Høyre uttrykk gir 2-t. Kontinuitet krever 2−t=52-t=52−t=5, altså t=−3t=-3t=−3.
  2. Da er høyre uttrykk x+3. Venstrederivert ved 2 er 2x=42x=42x=4, mens høyrederivert er 1. Siden 4≠14 \neq 14=1, er funksjonen ikke deriverbar ix=2i x=2ix=2.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret skiller presist mellom kontinuitet og deriverbarhet.

Oppgave 4

4

Newtons avkjølingslov

📝 Oppgaveln⁡(T−T0)\ln (T-T0)ln(T−T0)=-kt+r. Bruk modellen til å finne når kaffe blir kaldere enn 40 grader. ✅ Modellbesvarelse
  1. Modellen kan omskrives til T=T0+e^(-kt+r).
  2. Når temperaturen skal under 40 grader, setter man T=40T=40T=40 og løser likningen for t. Svaret må tolkes i minutter og kontrolleres mot at T nærmer seg romtemperaturen.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser hvordan logaritmeformen oversettes til temperaturmodell.

Oppgave 5

5

Algoritme for rettvinklet trekant

📝 OppgaveLag algoritme/program som avgjør om tre punkter danner en rettvinklet trekant. ✅ Modellbesvarelse
  1. Regn ut vektorene AB, BC og AC. Deretter beregnes skalarproduktene AB dot BC, AB dot AC og BC dot AC.
  2. Hvis ett av skalarproduktene er 0, er trekanten rettvinklet. Ellers er den ikke rettvinklet. Programmet kan skrive ut én av to tekster basert på en if-test.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret gjør geometrien om til en robust programmeringsalgoritme.

Oppgave 6

6

Størst areal i trekant

📝 Oppgaveg(x)=x3−3x2−13x+15g(x)=x^{3}-3x^{2}-13x+15g(x)=x3−3x2−13x+15. Punkt P(s,g(s))P(s,g(s))P(s,g(s)) danner trekant ABP. Finn s som gir størst areal. ✅ Modellbesvarelse
  1. Arealet er proporsjonalt med grunnlinjen AB og høyden g(s)g(s)g(s). Når A=(1,0),B=(s,0)A=(1,0), B=(s,0)A=(1,0),B=(s,0), blir arealet A(s)=12(s−1)g(s)A(s)=\tfrac{1}{2}(s-1)g(s)A(s)=21​(s−1)g(s) for s i intervallet.
  2. Deriver arealfunksjonen og sett A′(s)=0A'(s)=0A′(s)=0. Kontroller at løsningen ligger i intervallet og gir maksimum. Bruk eksakt verdi når CAS/derivasjon gir et pent uttrykk.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser hvordan geometrien først må oversettes til en funksjon.

Oppgave 7

7

Piratbåt og politibåt

📝 OppgavePiratens posisjon er r1(t)=[2+24t,4+20t]r1(t)=[2+24t,4+20t]r1(t)=[2+24t,4+20t]. Analyser fart og mulig møte med politibåt. ✅ Modellbesvarelse
  1. Banefarten til piratbåten er lengden av fartsvektoren [24,20]: 242+202=976=461\sqrt{24^{2}+20^{2}}=\sqrt{976}=4\sqrt{61}242+202 ​=976 ​=461 ​ km/t.
  2. Videre settes politibåtens posisjon lik piratens posisjon ved samme tid dersom man skal finne om og når de møtes. Et sterkt svar skiller mellom å krysse samme punkt og å være der samtidig.
💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen bruker vektorfunksjon, fart og tidspunkt konsekvent.

Ofte stilte spørsmål

Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1

Relaterte sider

← Tilbake til ifingo