R1 eksamen høst 2021 - oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

Eksamensoppgaver og løsninger for Matematikk R1R1R1. Siden viser at løsningene er fyldigere enn det som kreves for å svare godt.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Deriver funksjonene f(x)=ln⁡(x)+x2+2,g(x)=(x2+2)7f(x)=\ln (x)+x^{2}+2, g(x)=(x^{2}+2)^{7}f(x)=ln(x)+x2+2,g(x)=(x2+2)7 og h(x)=3x⋅e2xh(x)=3x\cdot e^{2x}h(x)=3x⋅e2x. ✅ Modellbesvarelse

1. a) f′(x)=1/x+2xf'(x)=1/x+2xf′(x)=1/x+2x. Konstantleddet 2 deriveres til 0.
2. b) g′(x)=7(x2+2)6⋅2x=14x(x2+2)6g'(x)=7(x^{2}+2)^{6}\cdot 2x=14x(x^{2}+2)^{6}g′(x)=7(x2+2)6⋅2x=14x(x2+2)6. Her brukes kjerneregelen.
3. c) h′(x)=3⋅e2x+3x⋅2e2x=3e2x(1+2x)h'(x)=3\cdot e^{2x}+3x\cdot 2e^{2x}=3e^{2x}(1+2x)h′(x)=3⋅e2x+3x⋅2e2x=3e2x(1+2x). Her brukes produktregelen og kjerneregelen.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser riktig regelvalg i hver del og forenkler svaret uten å hoppe over kjernen i sammensatte funksjoner.

Oppgave 2

2

Algebra og logaritmer

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Skriv uttrykkene så enkelt som mulig. a) Rasjonalt uttrykk med felles faktorer. b) ln⁡(4x)+3ln⁡(x/2)+ln⁡(2x2)\ln (4x)+3\ln (x/2)+\ln (2x^{2})ln(4x)+3ln(x/2)+ln(2x2). ✅ Modellbesvarelse

1. a) Faktoriser nevnerne: x2−x=x(x−1),x2−1=(x−1)(x+1),x2+x=x(x+1)x^{2}-x=x(x-1), x^{2}-1=(x-1)(x+1), x^{2}+x=x(x+1)x2−x=x(x−1),x2−1=(x−1)(x+1),x2+x=x(x+1). Etter fellesnevner og sammentrekking får vi 2/(x−1)2/(x-1)2/(x−1).
2. b) 3ln⁡(x/2)=ln⁡((x/2)3)3\ln (x/2)=\ln ((x/2)^{3})3ln(x/2)=ln((x/2)3). Dermed blir uttrykket ln⁡(4x⋅(x/2)3⋅(2x2))=ln⁡(x6)=6ln⁡(x)\ln (4x\cdot (x/2)^{3}\cdot (2x^{2}))=\ln (x^{6})=6\ln (x)ln(4x⋅(x/2)3⋅(2x2))=ln(x6)=6ln(x), for x>0.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det viser både faktoriseringsidéen og logaritmereglene, ikke bare sluttresultatet.

Oppgave 3

3

Parameterframstilling og skjæring

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Punktene A(2,2),B(6,1),C(6,5)A(2,2), B(6,1), C(6,5)A(2,2),B(6,1),C(6,5) og D(2,6)D(2,6)D(2,6) er gitt. Linjen l går gjennom A og C, og linjen m går gjennom B og D. ✅ Modellbesvarelse

1. a) AC=(4,3), så l: (x,y)=(2,2)+s(4,3)(x,y)=(2,2)+s(4,3)(x,y)=(2,2)+s(4,3). BD=(-4,5), så m: (x,y)=(6,1)+t(−4,5)(x,y)=(6,1)+t(-4,5)(x,y)=(6,1)+t(−4,5).
2. b) Løs 2+4s=6−4t2+4s=6-4t2+4s=6−4t og 2+3s=1+5t2+3s=1+5t2+3s=1+5t. Dette gir s=t=12s=t=\tfrac{1}{2}s=t=21​. Skjæringspunktet er (4,72)(4, \tfrac{7}{2})(4,27​).
3. c) Skalarproduktet (4,3)⋅(−4,5)=−16+15=−1(4,3)\cdot (-4,5)=-16+15=-1(4,3)⋅(−4,5)=−16+15=−1. Siden produktet ikke er 0, står linjene ikke normalt på hverandre.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen bruker vektorer konsekvent og kontrollerer normalitet med skalarprodukt, som er presis R1R1R1-metode.

Oppgave 4

4

Maksimalt areal

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Funksjonen f(x)=5/(x2+4)f(x)=5/(x^{2}+4)f(x)=5/(x2+4). Et rektangel har hjørner (-t,0), (t,0), og øvre hjørner på grafen. Finn største areal. ✅ Modellbesvarelse

1. Bredden er 2t2t2t og høyden er f(t)=5/(t2+4)f(t)=5/(t^{2}+4)f(t)=5/(t2+4). Arealet er A(t)=10t/(t2+4)A(t)=10t/(t^{2}+4)A(t)=10t/(t2+4).
2. A′(t)=10(4−t2)/(t2+4)2A'(t)=10(4-t^{2})/(t^{2}+4)^{2}A′(t)=10(4−t2)/(t2+4)2. A′(t)=0A'(t)=0A′(t)=0 gir t=2t=2t=2 siden t>0.
3. A(2)=208=52A(2)=\tfrac{20}{8}=\tfrac{5}{2}A(2)=820​=25​. Største areal er 2,5.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det definerer variabel, setter opp funksjon, deriverer og tolker maksimum i konteksten.

Oppgave 5

5

Implikasjon og ekvivalens

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Avgjør hvilket av symbolene ⇐, ⇒ eller ⇔ som passer i utsagnene. ✅ Modellbesvarelse

1. a) lg⁡(x2)=2\lg (x^{2})=2lg(x2)=2 betyr x2=100x^{2}=100x2=100, altså x=10x=10x=10 eller x=−10x=-10x=−10. Utsagnet x=10x=10x=10 er derfor sterkere. Riktig symbol: lg⁡(x2)=2\lg (x^{2})=2lg(x2)=2 ⇐ x=10x=10x=10.
2. b) x2−2x<0x^{2}-2x<0x2−2x<0 gir x(x−2)<0x(x-2)<0x(x−2)<0, altså 0<x<2. Utsagnet x∈(0,1) er sterkere. Riktig symbol: x2−2x<0x^{2}-2x<0x2−2x<0 ⇐ x∈(0,1).

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser løsningsmengdene før symbol velges. Det hindrer typiske feil med bare å teste ett tall.

Oppgave 6

6

Kombinatorikk og sannsynlighet

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Siv, Audun og fire venner skal først stå i ring og deretter på linje. Finn antall plasseringer og sannsynlighet for naboskap. ✅ Modellbesvarelse

1. a) I ring regnes roteringer som samme plassering. Antall er (6−1)≠120(6-1)\neq 120(6−1)=120.
2. b) Når Siv er plassert, har hun 2 naboplasser blant de 5 mulige plassene for Audun. Sannsynligheten er 25\tfrac{2}{5}52​.
3. c) På linje kan Siv og Audun behandles som én blokk. Antall gunstige er 2!*5!, totalt 6!. Sannsynligheten er 2!*5!/6≠136\neq \tfrac{1}{3}6=31​.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det skiller tydelig mellom sirkelplassering og linjeplassering, som er hovedpoenget i oppgaven.

Oppgave 7

7

Syklisk firkant og Ptolemaios

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Bevis Ptolemaios’ setning for en syklisk firkant og bruk den til å vise Pytagoras’ setning. ✅ Modellbesvarelse

1. a) Vinklene ∠BAC og ∠BDC spenner over samme bue BC i sirkelen. Derfor er de like.
2. b) Når E velges slik at ∠DCE=∠ACB, får trekantene DEC og ABC to par like vinkler. De er derfor formlike. Forholdstall gir ED/AB=DC/AC, altså ED*AC=AB*DC.
3. c) Tilsvarende gir vinkellikhet at ACD og BCE er formlike. Da får vi BE/BC=AD/AC, altså BE*AC=BC*AD.
4. d) Siden BD=BE+ED, får vi AC*BD=AC*(BE+ED)=AC*BE+AC*ED=BC*AD+AB*DC.
5. e) I et rektangel er alle hjørnene på en sirkel. Setter vi sidene lik a og b og diagonalene lik c i Ptolemaios, får vi c⋅c=a⋅a+b⋅bc\cdot c=a\cdot a+b\cdot bc⋅c=a⋅a+b⋅b. Dermed følger Pytagoras: c2=a2+b2c^{2}=a^{2}+b^{2}c2=a2+b2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen er sterk fordi den binder sammen sirkelteori, formlikhet og algebraisk summering i en ren beviskjede.

Ofte stilte spørsmål

Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1EksamensoppgaverMatematikk

P�