R1 eksamen 2020 - oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk R1

Eksamensoppgaver og -løsninger for Matematikk R1R1R1. Siden lister eksamen våren 2020 og høsten 2020 med oppgave- og løsningsfiler.

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Derivasjon

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Deriver f(x)=x6+3x5+ln⁡(x),g(x)=2x2⋅e2x−1f(x)=x^{6}+3x^{5}+\ln (x), g(x)=2x^{2}\cdot e^{2x-1}f(x)=x6+3x5+ln(x),g(x)=2x2⋅e2x−1 og h(x)=(4x−1)/(x+2)h(x)=(4x-1)/(x+2)h(x)=(4x−1)/(x+2). ✅ Modellbesvarelse

1. a) f′(x)=6x5+15x4+1/xf'(x)=6x^{5}+15x^{4}+1/xf′(x)=6x5+15x4+1/x.
2. b) Bruk produktregelen og kjerneregelen: g′(x)=4xe2x−1+4x2e2x−1=4x(1+x)e2x−1g'(x)=4x e^{2x-1}+4x^{2} e^{2x-1}=4x(1+x)e^{2x-1}g′(x)=4xe2x−1+4x2e2x−1=4x(1+x)e2x−1.
3. c) Bruk brøkregelen: h′(x)=[4(x+2)−(4x−1)]/(x+2)2=9/(x+2)2h'(x)=[4(x+2)-(4x-1)]/(x+2)^{2}=9/(x+2)^{2}h′(x)=[4(x+2)−(4x−1)]/(x+2)2=9/(x+2)2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret er sterkt fordi det velger riktig derivasjonsregel i hver del og viser mellomregning for produkt- og brøkregelen.

Oppgave 2

2

Logaritme- og eksponentiallikninger

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Løs ln⁡(x2)+ln⁡(x)=12\ln (x^{2})+\ln (x)=12ln(x2)+ln(x)=12 og e2x−ex=6e^{2x}-e^{x}=6e2x−ex=6. ✅ Modellbesvarelse

1. a) For x>0 er ln⁡(x2)=2ln⁡(x)\ln (x^{2})=2\ln (x)ln(x2)=2ln(x). Da får vi 3ln⁡(x)=12,ln⁡(x)=43\ln (x)=12, \ln (x)=43ln(x)=12,ln(x)=4 og x=e4x=e^{4}x=e4.
2. b) Sett u=exu=e^{x}u=ex. Da blir u2−u−6=0=(u−3)(u+2)u^{2}-u-6=0=(u-3)(u+2)u2−u−6=0=(u−3)(u+2). Siden ex>0e^{x}>0ex>0, forkastes u=−2u=-2u=−2. Derfor ex=3e^{x}=3ex=3 og x=ln⁡(3)x=\ln (3)x=ln(3).

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser definisjonskrav, substitusjon og hvorfor den negative løsningen må forkastes.

Oppgave 3

3

Vektorer med parameter

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Gitt u⋅v=−2,∣u∣=3,∣v∣=2,a=2u+3vu·v=-2, |u|=3, |v|=2, a=2u+3vu⋅v=−2,∣u∣=3,∣v∣=2,a=2u+3v og b=tu+5vb=t u+5vb=tu+5v. Finn t når a og b er parallelle, og når de står normalt. ✅ Modellbesvarelse

1. a) Parallelle vektorer: k(2u+3v)=tu+5vk(2u+3v)=t u+5vk(2u+3v)=tu+5v. Da er 3k=53k=53k=5, altså k=53k=\tfrac{5}{3}k=35​, og t=2k=103t=2k=\tfrac{10}{3}t=2k=310​.
2. b) Normale vektorer: a⋅b=0a·b=0a⋅b=0. Regn ut (2u+3v)·(tu+5v)=2t|u|^2+10u·v+3t u·v+15|v|^2.
3. Sett inn: 18t−20−6t+60=018t-20-6t+60=018t−20−6t+60=0, altså 12t+40=012t+40=012t+40=0 og t=−103t=-\tfrac{10}{3}t=−310​.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det bruker både koefficientsammenlikning og skalarprodukt presist, med alle gitte verdier satt inn.

Oppgave 4

4

Polynomer og rasjonale uttrykk

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Vis at P(x)=6x3−5x2−2x+1P(x)=6x^{3}-5x^{2}-2x+1P(x)=6x3−5x2−2x+1 kan faktoriseres, drøft F(x)=P(x)/(x2−1)F(x)=P(x)/(x^{2}-1)F(x)=P(x)/(x2−1) og finn aktuelle grenser. ✅ Modellbesvarelse

1. a) P(1)=6−5−2+1=0P(1)=6-5-2+1=0P(1)=6−5−2+1=0, derfor er x-1 en faktor.
2. b) Divisjon/faktorisering gir P(x)=(x−1)(2x+1)(3x−1)P(x)=(x-1)(2x+1)(3x-1)P(x)=(x−1)(2x+1)(3x−1).
3. c) F(x)=P(x)/(x2−1)=[(x−1)(2x+1)(3x−1)]/[(x−1)(x+1)]F(x)=P(x)/(x^{2}-1)=[(x-1)(2x+1)(3x-1)]/[(x-1)(x+1)]F(x)=P(x)/(x2−1)=[(x−1)(2x+1)(3x−1)]/[(x−1)(x+1)], men F er ikke definert for x=1x=1x=1 eller x=−1x=-1x=−1. For x ulik 1 kan uttrykket skrives ((2x+1)(3x−1))/(x+1)((2x+1)(3x-1))/(x+1)((2x+1)(3x−1))/(x+1).
4. d) lim x→1F(x)=((3)(2))/2=3x\to 1 F(x)=((3)(2))/2=3x→1F(x)=((3)(2))/2=3. Når x→−1x\to -1x→−1 går nevneren mot 0 mens telleren går mot 4, så grensen eksisterer ikke som endelig tall.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen skiller mellom forenklet uttrykk og opprinnelig definisjonsmengde. Det er typisk karakter 6-presisjon.

Oppgave 5

5

Kombinatorikk og hypergeometrisk sannsynlighet

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Velg bøker fra en samling på 8, der 3 er riktige. Regn antall valg og sannsynligheter. ✅ Modellbesvarelse

1. a) Antall måter å velge 3 av 8 på er C(8,3)=56C(8,3)=56C(8,3)=56.
2. b) Sannsynligheten for at alle de 3 riktige er med når 4 bøker velges er C(3,3)C(5,1)/C(8,4)=570=114C(3,3)C(5,1)/C(8,4)=\tfrac{5}{70}=\tfrac{1}{14}C(3,3)C(5,1)/C(8,4)=705​=141​.
3. c) P(minst to riktige)=1-P(0 riktige)-P(1 riktig)=1-1/14-3/7=1/2.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det identifiserer hypergeometrisk modell og bruker komplement for effektiv beregning.

Oppgave 6

6

Maksimering av areal

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Et trapes/område har arealfunksjon F(x)=((6+2x)/2)(9−x2)F(x)=((6+2x)/2)(9-x^{2})F(x)=((6+2x)/2)(9−x2). Finn største areal. ✅ Modellbesvarelse

1. F(x)=3(9−x2)+x(9−x2)=−x3−3x2+9x+27F(x)=3(9-x^{2})+x(9-x^{2})=-x^{3}-3x^{2}+9x+27F(x)=3(9−x2)+x(9−x2)=−x3−3x2+9x+27.
2. F′(x)=−3x2−6x+9=−3(x+3)(x−1)F'(x)=-3x^{2}-6x+9=-3(x+3)(x-1)F′(x)=−3x2−6x+9=−3(x+3)(x−1).
3. Det relevante kritiske punktet er x=1x=1x=1. Siden den deriverte går fra positiv til negativ, får vi maksimum.
4. F(1)=−1−3+9+27=32F(1)=-1-3+9+27=32F(1)=−1−3+9+27=32.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser modell, derivasjon, fortegn/tolkning og svar i kontekst.

Oppgave 7

7

Sirkelvinkler

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Finn vinkler i en sirkelgeometrisk figur med periferi- og sentralvinkler. ✅ Modellbesvarelse

1. Bruk at en sentralvinkel er dobbelt så stor som periferivinkelen over samme bue, og at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. Dette gir blant annet at en gitt vinkel på 65 grader gir tilhørende sentralvinkel 130 grader, og at resterende vinkler finnes ved vinkelsum. I trekant BCE blir vinkelen ved E lik 180−35−65=80180-35-65=80180−35−65=80 grader, og supplementvinkelen blir 100 grader.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSterkt svar fordi det begrunner hvert vinkelsteg med en setning, ikke bare skriver tall i figuren.

Oppgave 8

8

Analytisk geometri og vektorer

📝 OppgaveOppgave/spørsmål: Linjen l har parameterframstilling x=t,y=2t+1x=t, y=2t+1x=t,y=2t+1. Finn punkter og bruk like lengder til å bestemme D og B. ✅ Modellbesvarelse

1. Et punkt D på linjen kan skrives D=(t,2t+1)D=(t,2t+1)D=(t,2t+1). Med A=(−1,1)A=(-1,1)A=(−1,1) får vi AD=(t+1,2t)(t+1,2t)(t+1,2t).
2. Dersom |AD|=|CD|, setter vi kvadratene like: (t+1)2+4t2=(t−7)2+(2t−4)2(t+1)^{2}+4t^{2}=(t-7)^{2}+(2t-4)^{2}(t+1)2+4t2=(t−7)2+(2t−4)2.
3. Dette gir 32t=6432t=6432t=64, altså t=2t=2t=2. Da er D=(2,5)D=(2,5)D=(2,5). Videre kan B finnes med vektorlikning og blir B=(4,1)B=(4,1)B=(4,1).

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen bruker parameterframstilling, avstandsformel og vektorregning i samme koordinerte argumentasjon.

Ofte stilte spørsmål

Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk R1

Relaterte sider

Matematikk R1EksamensoppgaverMatematikk