Matematikk 2P eksamen vår 2023 – oppgaver og løsningsforslag

ifingo › Eksamen › Matematikk 2P

Oppgaver med fullstendige modellbesvarelser

Oppgave 1

1

Indeks og prisstigning

📝 OppgaveOppgavekort: Bruk prisindeks og prisendring på brød til å vurdere prosentvis økning og sammenlikne et bestemt brød med generell prisindeks. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: prosent, prisindeks, vekstfaktor
2. En økning fra 100 til 113,3 tilsvarer vekstfaktor 1,133 og dermed 13,3 % økning.
3. For brødpris fra 40 til 42 kr er vekstfaktoren 4240=1,05\tfrac{42}{40} = 1,054042​=1,05, altså 5 % økning.
4. Prisindeksen for brød fra 2017 til 2019 øker fra 104,5 til 109,2.
5. Relativ indeksøkning er 109,2104,5=1,045109,\tfrac{2}{104},5 = 1,045109,1042​,5=1,045, altså ca. 4,5 %.
6. Dette brødet har derfor økt litt mer enn prisindeksen for brød generelt.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen skiller tydelig mellom prosentpoeng, vekstfaktor og relativ prosentvis endring.

Oppgave 2

2

Formlikhet og areal

📝 OppgaveOppgavekort: Forklar hvordan sidelengder endres når to formlike trekanter har arealforhold 4. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: formlikhet, areal, geometri
2. Arealet til en trekant er grunnlinje*høyde/2.
3. Hvis alle lengder dobles, dobles både grunnlinje og høyde.
4. Da blir arealet (2g⋅2h)/2=2(2g\cdot 2h)/2 = 2(2g⋅2h)/2=2gh.
5. Opprinnelig areal er gh/2. Forholdet blir 2gh/(gh/2)=4.
6. Lengdeforholdet er derfor 2 når arealforholdet er 4.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen viser både intuisjonen og regningen bak sammenhengen mellom lengde og areal.

Oppgave 3

3

Nominell lønn, prisstigning og kjøpekraft

📝 OppgaveOppgavekort: Vurder om en lønnsøkning gir økt kjøpekraft når prisstigningen varierer. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: reallønn, nominell lønn, indeks
2. Nominell lønn er beløpet man får utbetalt, uten justering for prisnivå.
3. Reallønn tar hensyn til prisstigning og viser faktisk kjøpekraft.
4. Sammenhengen kan skrives reallønn = nominell lønn * 100/indeks.
5. Hvis prisene har steget mindre enn lønna, har kjøpekraften økt.
6. Dersom prisstigningen er større enn lønnsøkningen, får man redusert kjøpekraft.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvarformen bruker fagbegrepene riktig og knytter formel til praktisk tolkning.

Oppgave 4

4

Grafer, likninger og ulikheter

📝 OppgaveOppgavekort: Bruk tre grafer til å lage en likning med to løsninger og en ulikhet som bare har positive løsninger. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: funksjoner, grafisk løsning, ulikhet
2. Identifiser grafene: en lineær graf med stigningstall 1 og konstantledd 1, en andregradsfunksjon og en synkende lineær graf.
3. En likning med to løsninger kan være f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x).
4. Dette kan gi x+1=x2−4x+5x+1 = x^{2} - 4x + 5x+1=x2−4x+5.
5. Grafisk leses skjæringspunktene til x=1x=1x=1 og x=4x=4x=4.
6. En ulikhet med bare positive løsninger kan være f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x), som gir intervallet 1<x<4.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser hvordan grafisk informasjon kan oversettes til algebra og intervallnotasjon.

Oppgave 5

5

Klær og likningssett

📝 OppgaveOppgavekort: Bruk to handlekurver med t-skjorter og bukser til å finne pris per vare. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: likningssett, økonomi, algebra
2. La x være prisen på en t-skjorte og y prisen på en bukse.
3. Fra figurene kan vi sette opp 2x+2y=14962x + 2y = 14962x+2y=1496 og 3x+y=10463x + y = 10463x+y=1046.
4. Del første likning på 2: x+y=748x+y=748x+y=748.
5. Trekk dette fra andre likning: (3x+y)−(x+y)=1046−748(3x+y)-(x+y)=1046-748(3x+y)−(x+y)=1046−748, altså 2x=2982x=2982x=298.
6. Da er x=149x=149x=149 og y=599y=599y=599. En t-skjorte koster 149 kr og en bukse 599 kr.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen modellerer situasjonen med variabler og løser systematisk med eliminasjon.

Oppgave 6

6

Kaffeflekk og gjennomsnitt

📝 OppgaveOppgavekort: Finn hvilket tall som kan skjule seg bak kaffeflekken når gjennomsnittet skal bli større enn eller lik 4. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: statistikk, gjennomsnitt, regneark
2. Sett inn de kjente verdiene i et regneark eller en sumformel.
3. Gjennomsnitt er sum dividert på antall observasjoner.
4. Prøv mulige verdier for det skjulte tallet og kontroller gjennomsnittet.
5. Løsningsforslaget viser at tallet 2 gir gjennomsnitt akkurat 4.
6. Gjennomsnittet blir større enn 4 dersom tallet bak flekken er 3 eller større.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen viser både grenseverdien og hvordan endring i én observasjon påvirker gjennomsnittet.

Oppgave 7

7

Vekstfaktorer over flere måneder

📝 OppgaveOppgavekort: Sammenlikn prisutvikling for to varer når den ene øker 7 % per måned og den andre har falt 7 % per måned. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: vekstfaktor, prosent, eksponentiell utvikling
2. For vare A tre måneder fram: samlet vekstfaktor er 1,073=1,2251,07^{3} = 1,2251,073=1,225.
3. Dette betyr ca. 22,5 % høyere pris om tre måneder.
4. For vare B tre måneder tilbake må vi dele på nedgangsfaktoren tre ganger, altså 0,93−30,93^{-3}0,93−3.
5. 0,93−3=1,2430,93^{-3} = 1,2430,93−3=1,243, som betyr ca. 24,3 % høyere pris for tre måneder siden.
6. Malins påstand om like stor prosentvis endring er derfor ikke riktig.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser at motsatt retning i tid ved prosentvis nedgang ikke gir samme prosent som en økning.

Oppgave 8

8

Digital grafanalyse

📝 OppgaveOppgavekort: Bruk digitale verktøy til å undersøke en modell/graf i originaloppgaven. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: digital matematikk, graf, modell
2. Skriv inn funksjonen eller datasettet i GeoGebra, regneark eller CAS.
3. Velg passende vindu på aksene slik at relevante skjæringspunkter og ekstremalpunkter synes.
4. Bruk verktøy som Skjæring, Ekstremalpunkt eller Regresjon dersom oppgaven ber om det.
5. Les av verdier med riktige enheter og avrund etter konteksten.
6. Skriv en kort konklusjon som tolker den digitale løsningen, ikke bare skjermbildet.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarDette er en sterk digital besvarelse fordi metode, avlesning og tolkning er synlige.

Oppgave 9

9

Lønn: gjennomsnitt og median

📝 OppgaveOppgavekort: Bruk et datamateriale for lønn til å beregne gjennomsnitt og median og forklare hvilket mål som representerer best. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: statistikk, median, gjennomsnitt, lønn
2. Legg lønningene inn i regneark og bruk funksjoner for gjennomsnitt og median.
3. Løsningsforslaget gir gjennomsnittslønn ca. 575 000 kr.
4. Medianlønnen er ca. 479 000 kr.
5. Gjennomsnittet trekkes opp av ansatte med svært høy lønn.
6. Medianen representerer derfor den typiske ansatte bedre i et skjevt lønnsdatasett.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarBesvarelsen kombinerer beregning med statistisk vurdering av skjevfordeling.

Oppgave 10

10

Areal ved prosentvis endring av lengde og bredde

📝 OppgaveOppgavekort: Vis at en parkeringsplass får mindre areal når lengden økes med p % og bredden reduseres med p %. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: prosent, algebra, areal, generalisering
2. Vekstfaktor for lengde er 1+p/1001+p/1001+p/100.
3. Vekstfaktor for bredde er 1−p/1001-p/1001−p/100.
4. Samlet arealfaktor er (1+p/100)(1−p/100)(1+p/100)(1-p/100)(1+p/100)(1−p/100).
5. Dette blir 1−p2/100001 - p^{2}/100001−p2/10000.
6. Siden p2p^{2}p2 er positivt for p>0, blir faktoren mindre enn 1. Arealet blir derfor mindre.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarLøsningen generaliserer med algebra og forklarer hvorfor resultatet gjelder for alle positive p.

Oppgave 11

11

Annuitetslån og restgjeld

📝 OppgaveOppgavekort: Bruk programmering eller regneark til å undersøke hvor lenge et lån varer når terminbeløpet er fast. ✅ Modellbesvarelse

1. Fagbegreper: annuitetslån, rente, programmering, regneark
2. Identifiser at lånet er et annuitetslån fordi terminbeløpet er likt hver måned.
3. For hver måned beregnes rente av restgjelden.
4. Avdraget er terminbeløp minus rente og eventuelle gebyr.
5. Ny restgjeld er gammel restgjeld minus avdrag.
6. Løsningsforslaget viser at etter 19 måneder er restgjelden praktisk talt nedbetalt.

💡 Hvorfor dette er et sterkt svarSvaret viser riktig struktur for lån og kobler program/regneark til økonomisk tolkning.

Ofte stilte spørsmål

Klar for eksamen?
Øv på flere oppgaver med fasit og modellbesvarelser.
Gå til Matematikk 2P

Relaterte sider

Matematikk 2PEksamensoppgaverMatematikk