I dette kapittelet utforsker vi mønstre i tall og figurer. Vi lærer å beskrive figurserier med formler, og vi blir kjent med partall, oddetall, kvadrattall, rektangeltall, trekanttall og Pascals trekant.
Partall og oddetall
De positive partallene er tallene 2, 4, 6, 8, … og de positive oddetallene er 1, 3, 5, 7, … Vi kan illustrere partallene som par av prikker og oddetallene som par pluss én ekstra prikk. Hvis vi kaller partall nummer $n$ for $p_n$ og oddetall nummer $n$ for $o_n$, får vi de generelle formlene:
$p_n = 2n \qquad o_n = 2n - 1$
Disse formlene gir oss en regneoppskrift for hvilket partall eller oddetall som står på en bestemt plass i rekkefølgen, og vi kan også løse den motsatte oppgaven: gitt et tall, finne hvilket nummer det har.
Figurtall
Mange tallfølger kan illustreres som geometriske figurer. De viktigste figurtallene er:
- Kvadrattall: $K_n = n^2$ — prikker organisert i et kvadrat med side $n$.
- Rektangeltall: $R_n = n \cdot (n+1)$ — prikker organisert i et rektangel med bredde $n$ og lengde $n+1$.
- Trekanttall: $T_n = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2}$ — prikker stablet som en trekant.
- Femkanttall: $F_n = \dfrac{n \cdot (3n-1)}{2}$.
Når vi skal lage en formel for antall prikker i figur nummer $n$, ser vi etter sammenhenger mellom plassnummer og antall: konstant tillegg, dobling, kvadrering, eller kombinasjoner av kjente figurtall.
Tallfølger
Tall som står etter hverandre i en bestemt rekkefølge, kalles en tallfølge. Vi skriver $y_n$ for tall nummer $n$ i en generell tallfølge. Eksempel: i tallfølgen 4, 8, 12, 16, 20, … er formelen $y_n = 4n$, fordi hvert tall er 4 ganger plassnummeret.
For å avgjøre om et bestemt tall finnes i en følge, setter vi $y_n$ lik tallet og løser for $n$. Hvis løsningen ikke er et positivt heltall, er ikke tallet med i følgen.
Pascals trekant og flere mønstre
Pascals trekant bygges ved at hvert tall er summen av de to tallene rett over det. I rad 0 står tallet 1, i rad 1 står 1 1, i rad 2 står 1 2 1, og slik fortsetter det. Trekanten skjuler mange mønstre: trekanttallene ligger på den tredje diagonalen, summen av tallene i rad $n$ er $2^n$, og potenser av 11 gir radene direkte (så lenge ingen siffer går over 9).
Programmering: while- og for-løkker
Vi bruker enkle Python-løkker til å skrive ut partall, oddetall og figurtall. En while-løkke fortsetter så lenge en betingelse er sann, mens en for-løkke går gjennom en sekvens. Funksjonen range(start, stopp, steg) gir oss en talllinje med valgfri steglengde.