Sannsynlighet – Matematikk 1P

Sannsynlighet i 1P: fra utfallsrom til riktig regneregel

Sannsynlighet beskriver hvor sannsynlig en hendelse er. I 1P arbeider du med utfallsrom, gunstige utfall, relative frekvenser, «eller»-hendelser, flere forsøk og enkle situasjoner med eller uten tilbakelegging. Det viktigste er å beskrive forsøket før du velger regneregel.

Bruk rekkefølgen forsøk → utfallsrom → hendelse → regneregel → svar → rimelighetskontroll. Et sannsynlighetssvar skal ligge mellom 0 og 1, eller mellom 0 % og 100 %.

Utfallsrom og gunstige utfall

Utfallsrommet er alle mulige utfall. Hvis alle utfall er like sannsynlige, kan du bruke P(A) = antall gunstige utfall / antall mulige utfall.

Eksempel 1: Én terning

Hva er sannsynligheten for å få et tall større enn 4 med en vanlig terning?

Steg 1: Utfallsrommet er {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Steg 2: Gunstige utfall er {5, 6}, altså 2 utfall.

Steg 3: P = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3 %.

Svar: Sannsynligheten er 1/3, omtrent 33,3 %.

«Eller»: legg sammen når hendelsene ikke overlapper

Når to hendelser ikke kan skje samtidig i samme forsøk, kan sannsynlighetene legges sammen. Hvis de kan overlappe, må du passe på at felles utfall ikke telles dobbelt.

Eksempel 2: Rød eller blå

En pose har 4 røde, 3 blå og 5 grønne kuler. Én kule trekkes.

Steg 1: Totalt antall kuler er 4 + 3 + 5 = 12.

Steg 2: Rød eller blå gir 4 + 3 = 7 gunstige kuler.

Steg 3: P(rød eller blå) = 7/12 ≈ 58,3 %.

Svar: Sannsynligheten er 7/12, omtrent 58,3 %.

Flere uavhengige forsøk: gang sannsynlighetene

Ved uavhengige forsøk påvirker ikke resultatet i ett forsøk det neste. To myntkast er et typisk eksempel. Sannsynligheten for en bestemt rekke finnes ved å gange sannsynlighetene langs rekken.

Eksempel 3: To kron på rad

En rettferdig mynt kastes to ganger.

Steg 1: P(kron) = 1/2 i hvert kast.

Steg 2: Kastene er uavhengige.

Steg 3: P(kron og kron) = 1/2 · 1/2 = 1/4.

Svar: Sannsynligheten er 25 %.

Rekkefølge kan gi flere veier til samme hendelse

Hvis hendelsen kan oppstå i flere rekkefølger, må du ta med alle relevante veier. «Én kron og én mynt» på to kast kan skje som kron–mynt eller mynt–kron.

Eksempel 4: Én av hver

En mynt kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for nøyaktig én kron?

Steg 1: Kron–mynt har sannsynlighet 1/2 · 1/2 = 1/4.

Steg 2: Mynt–kron har også sannsynlighet 1/4.

Steg 3: Legg sammen de to adskilte veiene: 1/4 + 1/4 = 1/2.

Svar: Sannsynligheten for nøyaktig én kron er 50 %.

Med og uten tilbakelegging

Eksempel 5: Uten tilbakelegging

En pose har 3 røde og 2 blå kuler. To kuler trekkes uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for to røde?

Steg 1: Første røde: 3/5.

Steg 2: Etter en rød er det 2 røde igjen av 4 kuler: 2/4.

Steg 3: P = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.

Svar: Sannsynligheten er 30 %.

Komplement: sannsynligheten for «ikke»

Hvis A er en hendelse, er sannsynligheten for at A ikke skjer lik 1 − P(A). Komplement er ofte raskt når oppgaven spør etter «minst én».

Eksempel 6: Minst én sekser

En terning kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for minst én sekser?

Steg 1: Det motsatte er ingen seksere.

Steg 2: P(ingen sekser) = 5/6 · 5/6 = 25/36.

Steg 3: P(minst én sekser) = 1 − 25/36 = 11/36.

Svar: Sannsynligheten er 11/36 ≈ 30,6 %.

Relativ frekvens og sannsynlighet

Relativ frekvens beskriver hva som faktisk har skjedd i et forsøk. Teoretisk sannsynlighet beskriver modellen vi forventer på lang sikt. Med mange forsøk vil relativ frekvens ofte nærme seg den teoretiske sannsynligheten, men små forsøk kan variere mye.

Eksempel 7: Forsøk mot teori

En mynt gir kron 27 ganger på 50 kast.

Steg 1: Relativ frekvens = 27/50 = 54 %.

Steg 2: Teoretisk sannsynlighet for en rettferdig mynt er 50 %.

Steg 3: Forskjellen er 4 prosentpoeng.

Svar: Resultatet avviker litt fra teorien, men 50 kast er ikke nok til å forvente nøyaktig 50 %.

Rimelighetskontroll

Sannsynligheter kan aldri være negative eller større enn 1. Hvis én hendelse er sjeldnere enn en annen, bør den normalt ha lavere sannsynlighet. Tegn gjerne et enkelt tre eller lag en tabell når flere trinn gjør situasjonen vanskelig å holde oversikt over.

Eksempel 8: Finn feilen

En elev regner sannsynligheten for «rød eller blå» som 4/12 · 3/12 = 1/12.

Steg 1: Oppgaven gjelder ett trekk og «eller».

Steg 2: Rød og blå kan ikke skje samtidig i ett trekk.

Steg 3: Sannsynlighetene skal derfor legges sammen: 4/12 + 3/12 = 7/12.

Svar: Eleven brukte multiplikasjon for en «eller»-hendelse. Riktig sannsynlighet er 7/12.

Sannsynlighetsverktøy og metodevalg

I den praktiske matte-laben kan du teste gunstige og mulige utfall og se hvordan sannsynligheten endres over flere uavhengige forsøk. Bruk også metodevalget for å trene på ord som «eller», «og», «minst én», «uten tilbakelegging» og «relativ frekvens».

Sjekkliste

• Jeg kan lage et utfallsrom og telle gunstige utfall.
• Jeg kan skille «eller» fra «og».
• Jeg kan gange sannsynligheter ved uavhengige forsøk.
• Jeg kan ta med flere rekkefølger når hendelsen kan skje på flere måter.
• Jeg kan regne uten tilbakelegging.
• Jeg kan bruke komplement for «minst én».
• Jeg kan skille relativ frekvens fra teoretisk sannsynlighet.

Tren selv

1. Finn sannsynligheten for partall på en vanlig terning.
2. En pose har 2 røde, 5 blå og 3 grønne kuler. Finn P(rød eller grønn).
3. En mynt kastes tre ganger. Finn P(kron, kron, kron).
4. Finn P(minst én sekser) ved tre terningkast ved å bruke komplement.
5. En pose har 4 røde og 3 blå kuler. To trekk gjøres uten tilbakelegging. Finn P(to blå).