Prosent og prosentpoeng

🎯 Læringsmål – kapittel 3

Dette skal du mestre i prosent og prosentpoeng

Prosentregning handler ikke bare om å flytte et komma eller bruke en kalkulator. Du må forstå hva helheten er, hva prosenten sammenlignes med, og hvordan flere endringer virker sammen. I dette kapittelet lærer du derfor både raske metoder og grundige metoder som kan begrunnes matematisk.

• tolke prosent som hundredeler og veksle sikkert mellom brøk, desimaltall, prosent og promille
• finne prosentdelen, prosentsatsen og helheten i praktiske situasjoner
• beregne prosentvis økning og nedgang, og forklare hvilket grunnlag endringen regnes fra
• skille presist mellom prosent og prosentpoeng
• bruke vekstfaktor ved én eller flere prosentvise endringer
• finne opprinnelig verdi ved omvendt prosentregning
• regne med promille, avgifter, rabatt, påslag, rente, indeks og realverdi
• beskrive gjentatt prosentvis endring med eksponentialfunksjoner
• bruke tabell, graf, GeoGebra, regneark og Python til å utforske og kontrollere modeller
• vurdere om en matematisk modell og et prosentutsagn er rimelig, presist og gyldig

📘 MAT08-01 og LK20

Offisiell læreplankobling

Kapittelet er særlig knyttet til kompetansemålet om å bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utregninger og presentere og begrunne løsninger. Innholdet trener samtidig modellering, funksjoner, digitale verktøy, kritisk vurdering av premisser og matematikk i tekster fra samfunnsliv og arbeidsliv.

Det betyr at høy måloppnåelse krever mer enn et korrekt tall. Eleven må kunne forklare hvilket grunnlag prosenten gjelder, vise en sammenhengende løsning, tolke resultatet i situasjonen og vurdere om svaret er rimelig.

Innhold i kapittelet

1. Startdiagnose
2. Hva er prosent?
3. Brøk, desimal, prosent og promille
4. De tre prosentproblemene
5. Hoderegning og 1 %-metoden
6. Prosentvis endring
7. Prosentpoeng eller prosent?
8. Promille
9. Vekstfaktor
10. Omvendt prosentregning
11. Flere endringer etter hverandre
12. Mva, rabatt, påslag og margin
13. Rente og rente på rente
14. Eksponentiell vekst og nedgang
15. Modellering med eksponentialfunksjoner
16. Eksponentiell regresjon
17. Indeks og realverdi
18. GeoGebra, regneark og Python
19. Prosent i medier og statistikk
20. Metodevelger
21. Hvorfor formlene virker
22. Sammenligne tilbud
23. Lineær eller eksponentiell?
24. Eksamensverksted
25. Begrepsordbok
26. Utvidet eksempelbank
27. Uten hjelpemidler
28. Med hjelpemidler
29. Repetisjonsplan
30. Oppgavetyper som forveksles
31. Svarmaler
32. Vanlige feil
33. Vurderingskriterier
34. Samlet formelark
35. Kapittelsammendrag
36. Diagnostisk kapitteltest
37. FAQ

1. Startdiagnose: Hva kan du fra før?

Prøv å løse spørsmålene uten hjelpemidler. Hensikten er ikke å få alt riktig, men å finne ut hvilke deler du bør prioritere.

Diagnose A

Skriv som desimaltall: 35 %, 2,5 % og 125 %.

Vis svar 0,35, 0,025 og 1,25.

Diagnose B

En vare til 800 kr settes ned 20 %. Hva er ny pris?

Vis svar Vekstfaktor 0,80. Ny pris er 800 · 0,80 = 640 kr.

Diagnose C

Andelen øker fra 12 % til 15 %. Hvor mange prosentpoeng og hvor mange prosent er økningen?

Vis svar 3 prosentpoeng. Relativ økning er 3/12 · 100 % = 25 %.

Diagnose D

Et beløp øker 10 % og synker deretter 10 %. Er sluttbeløpet lik startbeløpet?

Vis svar Nei. Samlet vekstfaktor er 1,10 · 0,90 = 0,99, altså 1 % nedgang.

2. Hva er prosent?

Prosent betyr per hundre. En prosentsats forteller hvor mange hundredeler en del utgjør av en helhet. Når 37 % av en gruppe har valgt et alternativ, betyr det 37 av 100 i en like stor tenkt gruppe. Prosent gjør det mulig å sammenligne grupper med ulik størrelse.

p % = p 100

Prosent kan være mindre enn 1 %, lik 100 % eller større enn 100 %. 0,4 % er fire tideler av én prosent, mens 160 % betyr 1,6 ganger helheten.

Figur 1. Prosent er en standardisert måte å beskrive en del av en helhet på.

Hva er helheten?

Det viktigste spørsmålet i en prosentoppgave er ofte: Hva er 100 %? I en rabattoppgave er den opprinnelige prisen vanligvis 100 %. I en oppgave om andelen elever er hele elevgruppen 100 %. I en oppgave om pris inkludert en avgift kan totalprisen være mer enn 100 % av prisen før avgift.

Vanlig feil: Elever finner riktig prosentsats, men bruker feil grunnlag. Skriv derfor alltid en kort setning: «100 % er ...» før du begynner å regne.

Prosent over 100 og prosent under 1

Tolkning av ulike prosentsatser

Prosentsats	Desimaltall	Tolkning	Eksempel
0,2 %	0,002	to tusendeler av helheten	0,2 % av 5000 er 10
25 %	0,25	en firedel	25 % av 80 er 20
100 %	1	hele verdien	100 % av 80 er 80
125 %	1,25	hele verdien pluss en firedel	125 % av 80 er 100
300 %	3	tre ganger helheten	300 % av 80 er 240

3. Brøk, desimaltall, prosent og promille

Brøk, desimaltall, prosent og promille er ulike representasjoner av samme type størrelse: et forhold. Å kunne veksle mellom representasjonene gjør det lettere å velge den formen som passer oppgaven best.

Viktige omregninger

Brøk	Desimaltall	Prosent	Promille	Hoderegningsidé
1/2	0,5	50 %	500 ‰	halvparten
1/4	0,25	25 %	250 ‰	halvparten av halvparten
3/4	0,75	75 %	750 ‰	100 % − 25 %
1/5	0,2	20 %	200 ‰	del på 5
1/10	0,1	10 %	100 ‰	del på 10
1/8	0,125	12,5 %	125 ‰	halver tre ganger
1/3	0,333...	33,333... %	333,333... ‰	periodisk verdi

Figur 2. Velg representasjonen som gjør sammenligningen eller regningen enklest.

Eksempel 1: Fra brøk til prosent

Hvor mange prosent er 7 av 20?

1. Skriv forholdet som brøk: 7/20.
2. Gjør om til desimaltall: 7 ÷ 20 = 0,35.
3. Gjør om til prosent: 0,35 · 100 % = 35 %.

Svar: 7 av 20 er 35 %.

Rask kontroll: 5 av 20 er 25 %, og 10 av 20 er 50 %. 35 % ligger rimelig mellom disse.

4. De tre grunnleggende prosentproblemene

Nesten alle enkle prosentoppgaver kan sorteres i én av tre typer. Finn først ut hva som er kjent og hva som er ukjent.

Tre spørsmål – tre formler

Oppgavetype	Spørsmål	Formel	Kontroll
Finn delen	Hva er 30 % av 400?	del = helhet · prosentsats som desimal	delen bør være mindre enn helheten når prosenten er under 100
Finn prosentsatsen	120 er hvor mange prosent av 400?	prosent = del/helhet · 100 %	120 er omtrent en tredel av 400, så svaret bør være rundt 30 %
Finn helheten	120 er 30 % av hva?	helhet = del/prosentsats som desimal	helheten må være større enn 120 når prosenten er 30 %

Del = p 100 · helhet p = del helhet · 100 % Helhet = del p / 100 Figur 3. Trekanten kan brukes som huskehjelp, men oppgaven må fortsatt tolkes.

Eksempel 2: Finn delen

18 % av 750:

750 · 0 , 18 = 135

Svaret er 135.

Eksempel 3: Finn prosenten

42 av 120:

42 120 · 100 % = 35 %

Svaret er 35 %.

Eksempel 4: Finn helheten

84 er 24 % av en helhet:

84 0 , 24 = 350

Svaret er 350.

5. Prosentregning uten kalkulator: 1 %-metoden og hoderegning

Prosentregning kan ofte løses raskt ved å bygge svaret av kjente prosenter. Metoden er nyttig både uten hjelpemidler og som kontroll av et kalkulatorsvar. …