Komplett og avansert læremateriale om lineære funksjoner, stigning, konstantledd og praktiske modeller - bedre enn læreboka
Kapittel 10: Lineære funksjoner
Matematikk 1P (VG1, LK20)
Kompetansemål (utdrag fra LK20, 1P)
- Modellere og utforske kvantitative sammenhenger gjennom funksjoner, med vekt på lineære modeller.
- Bruke og tolke ulike representasjoner av funksjoner: tekst, tabell, formel og graf.
- Løse problemer som innebærer endring, stigningstall og skjæringspunkter i praktiske situasjoner.
- Bruke digitale verktøy til å undersøke og vurdere modeller og resultater.
Faglig fokus i kapittelet: forstå og bruke formen \( f(x) = ax + b \), beregne stigningstall, finne likninger for rette linjer, tolke skjæringspunkter og bygge enkle lineære modeller.
Innholdsfortegnelse
- 10.1 Introduksjon: Koordinatsystem og lineær funksjon
- 10.2 Stigning og konstantledd
- 10.3 Finne likningen for en rett linje
- 10.4 Parallelle og vinkelrette linjer
- 10.5 Lineære modeller: temperatur, kostnader og fart
- 10.6 Skjæringspunkt mellom linjer
- Gjennomarbeidede eksempler
- Øvelsesoppgaver (4 nivåer)
- Eksamenslignende oppgaver + fasit
10.1 Introduksjon: Koordinatsystem og lineær funksjon
På 1600-tallet beskrev René Descartes hvordan vi kan knytte tall til punkter i et plan ved hjelp av et koordinatsystem. Hvert punkt angis med et par \((x, y)\), der \(x\) er avstanden horisontalt (x-aksen) og \(y\) er avstanden vertikalt (y-aksen). Dette danner grunnlaget for å studere funksjoner grafisk.
En lineær funksjon beskriver en rett linje i koordinatsystemet. Den generelle formen er
\[ f(x) = ax + b \]
Her er \(a\) stigningstallet (hvor bratt linja er), og \(b\) kalles konstantleddet (verdien når \(x = 0\), altså skjæringspunktet med y-aksen). Grafen til \(f(x)\) er en rett linje der hvert økningstrinn på x-aksen gir en fast endring i y-retning lik \(a\).
Merk: En lineær funksjon er en-til-en-modell mellom input \(x\) og output \(f(x)\). En vertikal linje er ikke en funksjon av \(x\), fordi én \(x\)-verdi da kan gi flere \(y\)-verdier.
Eksempel 10.1
La \(f(x) = 2x + 3\). Da er \(a = 2\) og \(b = 3\). Når \(x\) øker med \(1\), øker \(f(x)\) med \(2\). Punktet der grafen krysser y-aksen er \((0, 3)\).
\[ f(0) = 2\cdot 0 + 3 = 3, \quad f(2) = 2\cdot 2 + 3 = 7 \]
10.2 Stigning og konstantledd
Stigningstallet \(a\) måler hvor mye \(y\) endrer seg når \(x\) øker med én enhet. Det kan beregnes fra to punkter \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\) på linja:
\[ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad x_2 \ne x_1 \]
Konstantleddet \(b\) er y-verdien når \(x = 0\). Geometrisk er \(b\) skjæringspunktet med y-aksen. Hvis vi kjenner ett punkt og stigningstallet, kan vi finne \(b\) ved å sette inn i \(y = ax + b\).
Tolkning:- Hvis \(a > 0\): linja stiger mot høyre.
- Hvis \(a < 0\): linja synker mot høyre.
- Hvis \(a = 0\): horisontal linje \(y = b\).
Eksempel 10.2
Finn stigningstallet til linja gjennom punktene \((1, 2)\) og \((4, 8)\).
\[ a = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \]
Stigningstallet er \(2\). For hvert skritt til høyre går vi to opp. …