Bevegelsesmengde og støt – Fysikk 2

🎯 Læringsmål – Kapittel 4

Etter å ha arbeidet med dette kapitlet skal du kunne:

• Definere bevegelsesmengde og beregne den for enkeltlegemer og systemer
• Forklare og bruke begrepet impuls, og koble det til endring i bevegelsesmengde
• Anvende prinsippet om bevaringen av bevegelsesmengde ved støt og eksplosjoner
• Skille mellom elastiske og uelastiske støt, og bruke riktige bevaringslovene i hvert tilfelle
• Beregne massesenteret for systemer av legemer
• Forklare rakettprinsippet ved hjelp av bevegelsesmengde

1. Bevegelsesmengde (p = mv)

Bevegelsesmengde (impulsmengde) er et vektormål for «mengde bevegelse» i et legeme. Det er produktet av masse og hastighet:

p⃗ = m · v⃗

p [kg·m/s], m [kg], v [m/s]  –  retningen til p⃗ er lik retningen til v⃗

🚂 Eksempel – tog

Tog: m = 500 000 kg, v = 20 m/s
p = 500 000 · 20 = 10 000 000 kg·m/s = 10 Mg·m/s

🏃 Eksempel – sprinter

Sprinter: m = 75 kg, v = 11 m/s
p = 75 · 11 = 825 kg·m/s

💡 Merk: Bevegelsesmengde er en vektorstørrelse. I en dimensjon kan vi bruke fortegn: positiv retning til høyre gir positiv p for et legeme som beveger seg til høyre. I 2D og 3D må vi bruke komponentform.

2. Impuls (J = FΔt)

Impuls er produktet av en kraft og tidsintervallet kraften virker. Impuls er lik endringen i bevegelsesmengde:

J⃗ = F⃗ · Δt = Δp⃗ = m·v⃗₂ − m·v⃗₁

J [N·s = kg·m/s], F [N], Δt [s]

2.1 Gjennomsnittskraft ved støt

Ved et støt virker kraften over kort tid Δt. Impuls-momentumteoremet lar oss beregne gjennomsnittlig støtkraft:

F⃗_avg = Δp⃗ / Δt

📝 Eksempel: En fotball (m = 0,45 kg) sparkes fra v₁ = 0 til v₂ = 25 m/s på Δt = 0,012 s.
Impuls: J = 0,45 · 25 = 11,25 N·s
Gjennomsnittskraft: F = 11,25 / 0,012 ≈ 938 N ≈ 94 kgf – nesten 100 ganger fotballens vekt!

2.2 Kraft-tid-diagram

Arealet under en F-t-kurve tilsvarer impulsen. Selv om kraften varierer, kan vi integrere (eller estimere arealet grafisk) for å finne total impuls = endring i bevegelsesmengde.

3. Bevaringen av bevegelsesmengde

I et isolert system (ingen ytre krefter) er den totale bevegelsesmengden bevart:

p⃗_total,før = p⃗_total,etter

m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂ + … = m₁v⃗₁' + m₂v⃗₂' + …

🔍 Hvorfor er bevegelsesmengde bevart?

Newtons 3. lov: ved støt mellom A og B er F⃗_AB = −F⃗_BA. Kreftene virker i like lang tid Δt. Dermed er impulsene like store og motsatt rettet, og de ytre bidragene kansellerer: Σp⃗ = konstant.

📝 Eksempel – eksplosjon: En kanon (M = 800 kg) avfyrer en kule (m = 5 kg) med v_kule = 600 m/s fremover. Kanon og kule er i ro før avfyringen.
Bevaring: 0 = 5 · 600 + 800 · V_kanon → V_kanon = −3000/800 = −3,75 m/s (bakover)

4. Støttyper

4.1 Elastisk støt

Både bevegelsesmengde og kinetisk energi er bevart:

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'  (bevegelsesmengde)

½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁v₁'² + ½m₂v₂'²  (kinetisk energi)

For en elastisk støt mellom to legemer med v₂ = 0 (legeme 2 i ro) finnes:

v₁' = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) · v₁

v₂' = 2m₁/(m₁ + m₂) · v₁

Spesialtilfeller: Like masser (m₁ = m₂): v₁' = 0, v₂' = v₁ – kulen stopper, og den andre tar over all hastigheten (som i billard). Veldig tung mot lett: den tunge fortsetter nesten uendret, den lette spretter tilbake med nesten dobbelt hastighet.

4.2 Uelastisk støt

Bare bevegelsesmengde er bevart; kinetisk energi er ikke bevart (noe omdannes til varme, lyd, deformasjonsenergi):

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂' (E_k bevares IKKE)

4.3 Fullstendig uelastisk støt (klisterkuler)

Legemene klistrer seg sammen etter støtet og beveger seg som én enhet:

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)·V

V = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂)

📝 Eksempel: En vogn (m₁ = 2 kg, v₁ = 4 m/s) klistrer seg til en stasjonær vogn (m₂ = 3 kg, v₂ = 0).
V = (2·4 + 3·0) / (2+3) = 8/5 = 1,6 m/s
E_k,før = ½·2·16 = 16 J, E_k,etter = ½·5·1,6² = 6,4 J. Tapt: 9,6 J → varme/lyd.

Støttype	Bevegelsesmengde	Kinetisk energi	Eksempel
Elastisk	✅ Bevart	✅ Bevart	Billardkuler, atomer
Uelastisk	✅ Bevart	❌ Ikke bevart	Biler i kollisjon
Fullstendig uelastisk	✅ Bevart	❌ Maks tap	Leire, klebe-støt

5. Massesenter

Massesenteret (tyngdepunktet) til et system av legemer er det veide gjennomsnittet av posisjonene, vektet med massene:

x_cm = (m₁x₁ + m₂x₂ + …) / (m₁ + m₂ + …)

Tilsvarende for y_cm og z_cm

Den viktigste egenskapen: den resulterende ytre kraften på systemet er lik total masse ganger massesentrets akselerasjon – ΣF⃗_ext = M·a⃗_cm. Uten ytre krefter beveger massesenteret seg med konstant hastighet.

📝 Eksempel: To baller: m₁ = 3 kg ved x₁ = 1 m, m₂ = 1 kg ved x₂ = 5 m.
x_cm = (3·1 + 1·5) / (3+1) = (3+5)/4 = 8/4 = 2 m fra origo.

6. Rakettprinsippet

En rakett drives frem ved å kaste masse bakover (eksosgass) i høy hastighet. Bevegelsesmengde er bevart i det isolerte systemet (rakett + gass):

Δp_rakett = −Δp_gass

Skyvekraft T = v_rel · |dm/dt|  –  v_rel: gassens utstrømningshastighet, dm/dt: masseflyt

Jo raskere gassen strømmer ut og jo mer masse som forbrennes per sekund, desto større er skyvekraften. Tsiolkovskij-ligningen beskriver endelig hastighetsøkning:

Δv = v_rel · ln(m₀/m_f)

m₀: startmasse, m_f: sluttmasse (etter utbrenning)

7. Oppsummering

📋 Nøkkelformler – Kapittel 4

Bevegelsesmengde

p⃗ = m · v⃗

Impuls

J⃗ = F⃗·Δt = Δp⃗

Bevaring (isolert system)

Σp⃗_før = Σp⃗_etter

Fullstendig uelastisk

V = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁+m₂)

Massesenter

x_cm = Σ(mᵢxᵢ)/Σmᵢ

Skyvekraft (rakett)

T = v_rel · |dm/dt|

---

Fordypning: bevegelsesmengde, impuls og støt Komplett eksamensdel for Kapittel 4 – dyp teori, figurer, gjennomgåtte regneeksempler, øvingsoppgaver med løsninger og programmering. Bygd på kompetansemålene i Fysikk 2 (LK20). 📌 Kompetansemål (LK20, Fysikk 2)

• gjøre rede for konsekvenser av at bevegelsesmengde og energi er bevart, og bruke dette i beregninger
• utforske, beskrive og modellere bevegelse i to dimensjoner (støt i planet)
• bruke numeriske metoder og programmering til å utforske og modellere fysiske fenomener

Bevegelsesmengde er fysikkens bokføring av «mengde bevegelse». Den er kraftig fordi den er bevart: i et system uten ytre krefter er den totale bevegelsesmengden den samme før og etter en hendelse – selv en voldsom kollisjon. Det lar oss regne på sammenstøt der vi umulig kunne fulgt alle kreftene i detalj. I dette kapittelet definerer vi bevegelsesmengde og impuls, viser bevaringsloven, og bruker den på elastiske og uelastiske støt – også i to dimensjoner. Under: dyp teori, figurer, gjennomregnede eksempler og oppgaver.

A · Bevegelsesmengde

Bevegelsesmengde (engelsk: momentum) er produktet av masse og hastighet, p = m·v. Den er en vektor – den peker samme vei som farten – og det er helt avgjørende: i regnestykker må du holde styr på fortegn og retning. En lastebil i sakte fart kan ha like stor bevegelsesmengde som en racerbil, fordi massen er så mye større.

p = m·v  •  enhet: kg·m/s ✏️ Eksempel A1 – sammenlign bevegelsesmengde

En 1500 kg bil i 20 m/s og en 0,045 kg golfball i 70 m/s. Hvilken har størst bevegelsesmengde?

Bil: p = 1500·20 = 30 000 kg·m/s
Golfball: p = 0,045·70 = 3,2 kg·m/s

Bilen har nesten 10 000 ganger så stor bevegelsesmengde – massen dominerer fullstendig. Det er derfor en kollisjon med en stor masse er så mye farligere.

B · Impuls og impulsloven

Impuls er kraft ganger tid, og den er lik endringen i bevegelsesmengde. Dette er impulsloven, og den er egentlig bare Newtons andre lov skrevet på en ny måte (F = ma = m·Δv/Δt).

J = F·Δt = Δp = m·v − m·v₀

For en kraft som varierer (som under et sammenstøt) er impulsen arealet under kraft-tid-grafen. Det gir en dyp innsikt: for en gitt endring i bevegelsesmengde kan du enten ha en stor kraft i kort tid eller en liten kraft i lang tid. Det er hele ideen bak sikkerhetsutstyr.

Impuls = areal under kraft-tid-grafen. Samme areal (samme Δp) kan oppnås med stor kraft og kort tid, eller liten kraft og lang tid – prinsippet bak kollisjonsputer. ✏️ Eksempel B1 – kollisjonspute

En 70 kg person i 14 m/s stoppes i en kollisjon. Sammenlign kraften ved stopptid 0,02 s (hardt ratt) og 0,20 s (kollisjonspute). …